☆ 熱機関 ☆

《 uzお勉強しよう  力学  剛体  解析力学  特殊相対性理論  電磁気  量子力学  物理学一般 》

《 数学  複素数  行列  変分法  Python 》

〇   2011.11 , 13.11 , 16.5 , 24.4  ★  Yuji.W 

◇ 2*3=6  Ten(3)=10^3=1000  微分 ;  偏微分 :  積分 $  e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>  縦ベクトル <A)  単位ベクトル <xu>  内積 *  外積 #   000 

〓  理想気体.準静的過程(可逆過程)  〓 《理想気体.準静的過程24.4》

● 1モルあたりの定積比熱 Cv=R/(Γ-1)  1モルあたりの定圧比熱 Cp=R*Γ/(Γ-1)
..  Cp/Cv=Γ 比熱比  Cp-Cv=R
単原子分子 Γ=5/3  2原子分子 Γ=7/5  3原子分子や光子 Γ=4/3

〇 1モルの理想気体  準静的過程

① 温度一定  Qin=Wout=R*T0*ln(V2/V1) 

② 体積一定  1モルあたりの定積比熱 Cv=Qin/(T2-T1)=R/(Γ-1) 

..  ΔU=Qin=Cv*(T2-T1)=(P2-P1)*V0/(Γ-1)=R*(T2-T1)/(Γ-1) 

③ 圧力一定 

1モルあたりの定圧比熱 Cp=Qin/(T2-T1)=R*Γ/(Γ-1)=Γ*Cv  比熱比 Γ=Cp/Cv 

..  Qin=Cp*(T2-T1)=Cv*(T2-T1)*Γ 

..  Wout=P0*(V2-V1)=R*(T2-T1)=Cv*(T2-T1)*(Γ-1) 

..  ΔU=Cv*(T2-T1) 

〓  理想気体.準静的断熱過程  〓  《理想気体.準静的断熱過程24.4》

● 比熱比 Γ  単原子分子 Γ=5/3  2原子分子 Γ=7/5  3原子分子,光子 Γ=4/3 

▢ 1モルの理想気体  準静的断熱過程  気体の比熱比 Γ 気体の内部エネルギー U

▷ P*V^Γ=一定  V^(Γ-1)*T=一定  P^(Γ-1)/T^Γ=一定  ポアソンの関係式

▷ P2/P1=@P , V2/V1=@V , T2/T1=@T とすると、

..  @P=1/@V^Γ=@T^[Γ/(Γ-1)]   @V=1/@P^(1/Γ)=1/@T^[1/(Γ-1)]

..  @T=@P^[(Γ-1)/Γ]=1/@V^(Γ-1)

▷ 2原子分子  Γ=7/5 
..  1/Γ=5/7~0.714   Γ-1=2/5   Γ/(Γ-1)=(7/5)*(5/2)=7/2   (Γ-1)/Γ=2/7~0.286

..  @P=1/@V^1.4=@T^3.5   @V=1/@P^0.714=1/@T^2.5

..  @T=@P^0.286=1/@V^0.4

〓  熱機関  〓  

◎ 熱機関とは? ここがわからないで、カルノーサイクルをいきなり勉強するから、? という事になる{!}

〇 クラウジウスの原理  熱は、低熱源から高熱源に、ひとりでに、流れない。

トムソンの原理  熱は、ひとりでに、力学的な仕事に変わらない。

〇 熱機関 heat engine 次の3つを用意する  高熱源 低熱源 気体が入ったピストン

以下のような制約がある。

・気体の数は増えたり減ったりしない。気体は化学変化をしない。

・高熱源から気体へ熱を移動させることができる。そのとき、熱源は十分大きいものとし、熱源の温度は変わらない。

・気体から低熱源へ熱を移動させることができる。そのとき、熱源は十分大きいものとし、熱源の温度は変わらない。

・気体から、高熱源に熱を移動することはできない。

・低熱源から、気体や高熱源に熱を移動することはできない。低熱源に移った熱は、捨てた熱、無駄な熱となる。

・気体から外部へ熱が逃げることなく、膨張や圧縮をさせることができる。

・気体は膨張すると、外部に仕事をすることができる。エネルギーが外部に移ることになる。逆に、外部からエネルギーをもらい、仕事をしてもらい、気体を圧縮させることもできる。

・複数の過程を行うことによって、気体の最初の状態、すなわち、同じ圧力、同じ体積、同じ温度に戻るようにする。そのサイクルを繰り返し行うことができる。外部に仕事をすることができる。熱は、高熱源から低熱源へ移ることになる。

・低熱源に移った熱(捨てた熱、無駄な熱)はなるべく少なく、外部にする仕事はなるべく大きくしたい{!}

▢ 気体の内部エネルギー U  その増加量 ΔU

外部に対する仕事 Wout 気体にされる仕事 Win  W=Wout-Win

高熱源(温度 Th)から気体に移る熱量 Qin

気体から低熱源(温度 Tl)に移る熱量 Qout Q=Qin-Qout

▷ エネルギーの損失はないとして ΔU=Q-W  ★  熱力学の原理 第1法則

1サイクルで、気体は元の状態(同じ P,V,T)に戻る  ΔU=0

1サイクルで  Wout-Win がなるべく大きくなるようにしたい  Qin はなるべく小さくしたい

..  (熱機関の効率)=(Wout-Win)/Qin

▷ 熱機関の原理を、PV図(縦軸P、横軸V)で表すと、

PV上の一点 (V0,P0) からスタートし、ぐるっと一周して、元の (V0,P0) に戻って来る。温度も同じ値に戻る。その一周の間に、高熱源から熱をもらい、低熱源に捨て、外部に仕事をする。

その仕事量は、ぐるっと一周した図形に囲まれた面積に対応する。  ★ 
(V0,P0) から、ある軌跡をたどって、(V1,P1) に達し、その軌跡を逆戻りした場合、外部への仕事量は、正味 0 になる。熱機関として意味がない。
外部への仕事量が正であるためには、その図形は右回りでなくてはならない。  ★ 
熱機関としては、その図形の面積(外部への仕事量)をなるべく大きくしたい。

一方、高熱源からの熱量はなるべく小さくしたいわけだ。  ★ 

{以上、まるでわかってなかった!2013/11}

〓  サイクル1  〓  

▢ 比熱比 Γ  2原子分子の理想気体 Γ=7/5

次のサイクルを考える。1周して元の P,V,T に戻るようにする。
①定圧圧縮 ②定積変化 ③定圧膨張 ④定積変化

..  (P0,V0,T0,U0)->①定圧圧縮->(P0,V1,T1,U1)->②定積変化->(P1,V1,T2,U2)->
③定圧膨張->(P1,V0,T3,U3)->④定積変化->(P0,V0,T0,U0)
▷【 状態方程式 】
P0*V0=N*kB*T0=(2/5)*U0
P0*V1=N*kB*T1=(Γ-1)*U1 V0>V1 T0>T1 U0>U1
P1*V1=N*kB*T2=(Γ-1)*U2 P0<P1 T1<T2 U1<U2
P1*V0=N*kB*T3=(Γ-1)*U3 V1<V0 T2<T3 U2<U3
P0*V0=N*kB*T0=(Γ-1)*U0 P1>P0 T3>T0 U3>U0
▷【 それぞれの過程で 】
①定圧圧縮
U1-U0=-(5/2)*P0*(V0-V1) W1in=P0*(V0-V1) Q1out=(7/2)*P0*(V0-V1)
②定積変化 Q2in=U2-U1=(5/2)*(P1-P0)*V1
③定圧膨張
U3-U2=(5/2)*P1*(V0-V1) W3out=P1*(V0-V1) Q3in=(7/2)*P1*(V0-V1)
④定積変化 Q4out=U3-U0=(5/2)*(P1-P0)*V0
▷【 サイクルに与えた熱量 】
Q2in+Q3in
=(5/2)*(P1-P0)*V1+(7/2)*P1*(V0-V1)
=(5*P1*V1-5*P0*V1+7*P1*V0-7*P1*V1)/2
=(7*P1*V0-5*P0*V1-2*P1*V1)/2
▷【 全仕事 】
W3out-W1in=P1*(V0-V1)-P0*(V0-V1)=(P1-P0)*(V0-V1)
▷【 熱効率 】
熱効率=(W3out-W1in)/(Q2in+Q3in)
★ P0=1*Ten(5) V0=3*Ten(-3) V1=1*Ten(-3) P1=2*Ten(5)
P1*V0=600 P0*V1=100 P1*V1=200
Q2in+Q3in
=(7*P1*V0-5*P0*V1-2*P1*V1)/2
=(4200-500-400)/2
=1650_J
W3out-W1in=(P1-P0)*(V0-V1)=[1*Ten(5)]*[2*Ten(-3)]=200_J
熱効率=200/1650~0.12

〓  サイクル1  〓  

▢ 2原子分子の理想気体 Γ=7/5

次のサイクルを考える。1周して元の P,V,T に戻るようにする。
①定圧圧縮 ②定積変化 ③定圧膨張 ④定積変化

..  (P0,V0,T0,U0)->①定圧圧縮->(P0,V1,T1,U1)->②定積変化->(P1,V1,T2,U2)->
③定圧膨張->(P1,V0,T3,U3)->④定積変化->(P0,V0,T0,U0)
▷【 状態方程式 】
P0*V0=N*kB*T0=(2/5)*U0
P0*V1=N*kB*T1=(2/5)*U1 V0>V1 T0>T1 U0>U1
P1*V1=N*kB*T2=(2/5)*U2 P0<P1 T1<T2 U1<U2
P1*V0=N*kB*T3=(2/5)*U3 V1<V0 T2<T3 U2<U3
P0*V0=N*kB*T0=(2/5)*U0 P1>P0 T3>T0 U3>U0
▷【 それぞれの過程で 】
①定圧圧縮
U1-U0=-(5/2)*P0*(V0-V1) W1in=P0*(V0-V1) Q1out=(7/2)*P0*(V0-V1)
②定積変化 Q2in=U2-U1=(5/2)*(P1-P0)*V1
③定圧膨張
U3-U2=(5/2)*P1*(V0-V1) W3out=P1*(V0-V1) Q3in=(7/2)*P1*(V0-V1)
④定積変化 Q4out=U3-U0=(5/2)*(P1-P0)*V0
▷【 サイクルに与えた熱量 】
Q2in+Q3in
=(5/2)*(P1-P0)*V1+(7/2)*P1*(V0-V1)
=(5*P1*V1-5*P0*V1+7*P1*V0-7*P1*V1)/2
=(7*P1*V0-5*P0*V1-2*P1*V1)/2
▷【 全仕事 】
W3out-W1in=P1*(V0-V1)-P0*(V0-V1)=(P1-P0)*(V0-V1)
▷【 熱効率 】
熱効率=(W3out-W1in)/(Q2in+Q3in)
★ P0=1*Ten(5) V0=3*Ten(-3) V1=1*Ten(-3) P1=2*Ten(5)
P1*V0=600 P0*V1=100 P1*V1=200
Q2in+Q3in
=(7*P1*V0-5*P0*V1-2*P1*V1)/2
=(4200-500-400)/2
=1650_J
W3out-W1in=(P1-P0)*(V0-V1)=[1*Ten(5)]*[2*Ten(-3)]=200_J
熱効率=200/1650~0.12

〓  サイクル2  〓  ◇

▢ 次のサイクルを考える。1周して元の P,V,T に戻るようにする。

等温膨張->定積変化->定圧圧縮

..  (P0,V0,T0)->①等温膨張->(P1,V1,T0)
->②定積変化->(P0,V1,T1)->③定圧圧縮->(P0,V0,T0)
▷ P0*V0/T0=P1*V1/T0=P0*V1/T1=N*k

①等温膨張 ΔU1=0 Q1=W1=N*k*T0*ln(V1/V0)
②定積変化 W2=0 Q2=ΔU2=[N*k/(Γ-1)]*(T1-T0)=P0*(V1-V0)/(Γ-1)
③定圧圧縮 W3=-P0*(V1-V0)=-N*k*(T1-T0)
ΔU3=-[N*k/(Γ-1)]*(T1-T0)=-ΔU2=-Q2

Q3
=ΔU3-W3
=-P0*(V1-V0)/(Γ-1)+P0*(V1-V0)
=-P0*(V1-V0)*(Γ-2)/(Γ-1)

1周して、
ΔU1+ΔU2+ΔU3=0 {当然!}
W1+W2+W3
=N*k*T0*ln(V1/V0)-N*k*(T1-T0)
=N*k*{T0*[1-ln(V1/V0)]-T1}

〓  サイクル2  〓  ◇

▢ 次のサイクルを考える。1周して元の P,V,T に戻るようにする。

等温膨張->定積変化->定圧圧縮

..  (P0,V0,T0)->①等温膨張->(P1,V1,T0)
->②定積変化->(P0,V1,T1)->③定圧圧縮->(P0,V0,T0)
▷ P0*V0/T0=P1*V1/T0=P0*V1/T1=N*k

①等温膨張 ΔU1=0 Q1=W1=N*k*T0*ln(V1/V0)
②定積変化 W2=0 Q2=ΔU2=[N*k/(Γ-1)]*(T1-T0)=P0*(V1-V0)/(Γ-1)
③定圧圧縮 W3=-P0*(V1-V0)=-N*k*(T1-T0)
ΔU3=-[N*k/(Γ-1)]*(T1-T0)=-ΔU2=-Q2

Q3
=ΔU3-W3
=-P0*(V1-V0)/(Γ-1)+P0*(V1-V0)
=-P0*(V1-V0)*(Γ-2)/(Γ-1)

1周して、
ΔU1+ΔU2+ΔU3=0 {当然!}
W1+W2+W3
=N*k*T0*ln(V1/V0)-N*k*(T1-T0)
=N*k*{T0*[1-ln(V1/V0)]-T1}

☆ uzお勉強しよう  since2011  Yuji.W