☆お勉強しようUz☆ 物理.熱力学

2016/5-2011/11 Yuji.W

☆熱機関☆

◎ 熱機関 サイクル 定圧変化 定積変化 等温変化

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

☆熱機関☆

◎ 熱機関とは? ここがわからないで、カルノーサイクルをいきなり勉強するから、? という事になる{!}

クラウジウスの原理 熱は、低熱源から高熱源に、ひとりでに、流れない。

トムソンの原理 熱は、ひとりでに、力学的な仕事に変わらない。

熱機関 heat engine 次の3つを用意する。

 高熱源、低熱源、気体が入ったピストン

以下のような制約がある。

・気体の数は増えたり減ったりしない。気体は化学変化をしない。

・高熱源から気体へ熱を移動させることができる。そのとき、熱源は十分大きいものとし、熱源の温度は変わらない。

・気体から低熱源へ熱を移動させることができる。そのとき、熱源は十分大きいものとし、熱源の温度は変わらない。

・気体から、高熱源に熱を移動することはできない。

・低熱源から、気体や高熱源に熱を移動することはできない。低熱源に移った熱は、捨てた熱、無駄な熱となる。

・気体から外部へ熱が逃げることなく、膨張や圧縮をさせることができる。

・気体は膨張すると、外部に仕事をすることができる。エネルギーが外部に移ることになる。逆に、外部からエネルギーをもらい、仕事をしてもらい、気体を圧縮させることもできる。

・複数の過程を行うことによって、気体の最初の状態、すなわち、同じ圧力、同じ体積、同じ温度に戻るようにする。そのサイクルを繰り返し行うことができる。外部に仕事をすることができる。熱は、高熱源から低熱源へ移ることになる。

・低熱源に移った熱(捨てた熱、無駄な熱)はなるべく少なく、外部にする仕事はなるべく大きくしたい{!}

◆ 外部に対する仕事 Wout 気体にされる仕事 Win W=Wout-Win

 高熱源(温度 Th)から気体に移る熱量 Qin
 気体から低熱源(温度 Th)に移る熱量 Qout Q=Qin-Qout

■ エネルギーの損失はないとして ΔU=Q-W
熱力学の原理 第1法則

1サイクルで、気体は元の状態(同じ P,V,T)に戻る ΔU=0

1サイクルで、Wout-Win がなるべく大きくなるようにしたい。
Qin はなるべく小さくしたい。

 熱機関の効率=(Wout-Win)/Qin

■ 熱機関の原理を、PV図(縦軸P、横軸V)で表すと、

PV上の一点 (V0,P0) からスタートし、ぐるっと一周して、元の (V0,P0) に戻って来る。当然、温度も同じ値に戻る。その一周の間に、高熱源から熱をもらい、低熱源に捨て、外部に仕事をする。その仕事量は、ぐるっと一周した図形に囲まれた面積に対応する。

(V0,P0) から、ある軌跡をたどって、(V1,P1) に達し、その軌跡を逆戻りした場合、外部への仕事量は、正味 0 になる。熱機関として意味がない。

また、外部への仕事量が正であるためには、その図形は右回りでなくてはならない。

熱機関としては、その図形の面積(外部への仕事量)をなるべく大きくしたい。そして、高熱源からの熱量はなるべく小さくしたいわけだ。

{以上、まるでわかってなかった!2013/11}

{復習}気体の膨張,圧縮

『気体の膨張、圧縮』 2016/5

◆ 理想気体 [単原子分子 Γ=5/3 2原子分子 Γ=7/5 3原子分子、光子 Γ=4/3]

■【 状態方程式 】P*V=N*kB*T=(Γ-1)*U

■【 断熱膨張 】P*V^Γ=一定 T*V^(Γ-1)=一定 ΔU=N*kB*ΔT/(Γ-1)

■【 等温膨張 】V1~V2 T=一定 Qin=Wout=N*kB*T*ln(V2/V1)

■【 定圧膨張 】ΔU=P*ΔV/(Γ-1) Wout=P*ΔV Qin=P*ΔV*Γ/(Γ-1)

■【 定積変化 】Qin=ΔU=ΔP*V/(Γ-1)

◇サイクル1◇

◎ 次のサイクルを考える。1周して元の P,V,T に戻るようにする。
@定圧圧縮 A定積変化 B定圧膨張 C定積変化

◆ 2原子分子の理想気体 Γ=7/5

(P0,V0,T0,U0)->@定圧圧縮->(P0,V1,T1,U1)->A定積変化->(P1,V1,T2,U2)->B定圧膨張->(P1,V0,T3,U3)->C定積変化->(P0,V0,T0,U0)

■【 状態方程式 】

 P0*V0=N*kB*T0=(2/5)*U0

 P0*V1=N*kB*T1=(2/5)*U1 V0>V1 T0>T1 U0>U1

 P1*V1=N*kB*T2=(2/5)*U2 P0<P1 T1<T2 U1<U2

 P1*V0=N*kB*T3=(2/5)*U3 V1<V0 T2<T3 U2<U3

 P0*V0=N*kB*T0=(2/5)*U0 P1>P0 T3>T0 U3>U0

■【 それぞれの過程で 】

@定圧圧縮

 U1-U0=-(5/2)*P0*(V0-V1) W1in=P0*(V0-V1) Q1out=(7/2)*P0*(V0-V1)

A定積変化 Q2in=U2-U1=(5/2)*(P1-P0)*V1

B定圧膨張

 U3-U2=(5/2)*P1*(V0-V1) W3out=P1*(V0-V1) Q3in=(7/2)*P1*(V0-V1)

C定積変化 Q4out=U3-U0=(5/2)*(P1-P0)*V0

■【 サイクルに与えた熱量 】

 Q2in+Q3in
=(5/2)*(P1-P0)*V1+(7/2)*P1*(V0-V1)
=(5*P1*V1-5*P0*V1+7*P1*V0-7*P1*V1)/2
=(7*P1*V0-5*P0*V1-2*P1*V1)/2

■【 全仕事 】

 W3out-W1in=P1*(V0-V1)-P0*(V0-V1)=(P1-P0)*(V0-V1)

■【 熱効率 】

 熱効率=(W3out-W1in)/(Q2in+Q3in)

★ P0=1*Ten(5) V0=3*Ten(-3) V1=1*Ten(-3) P1=2*Ten(5)

 P1*V0=600 P0*V1=100 P1*V1=200

 Q2in+Q3in
=(7*P1*V0-5*P0*V1-2*P1*V1)/2
=(4200-500-400)/2
=1650_J

 W3out-W1in=(P1-P0)*(V0-V1)=[1*Ten(5)]*[2*Ten(-3)]=200_J

 熱効率=200/1650~0.12

◇サイクル2◇

◎ 次のサイクルを考える。1周して元の P,V,T に戻るようにする。
 等温膨張->定積変化->定圧圧縮

◆ (P0,V0,T0)->@等温膨張->(P1,V1,T0)
->A定積変化->(P0,V1,T1)
->B定圧圧縮->(P0,V0,T0)

■ P0*V0/T0=P1*V1/T0=P0*V1/T1=N*k

@等温膨張 ΔU1=0 Q1=W1=N*k*T0*ln(V1/V0)

A定積変化 W2=0 Q2=ΔU2=[N*k/(Γ-1)]*(T1-T0)=P0*(V1-V0)/(Γ-1)

B定圧圧縮 W3=-P0*(V1-V0)=-N*k*(T1-T0)

 ΔU3=-[N*k/(Γ-1)]*(T1-T0)=-ΔU2=-Q2
 Q3
=ΔU3-W3
=-P0*(V1-V0)/(Γ-1)+P0*(V1-V0)
=-P0*(V1-V0)*(Γ-2)/(Γ-1)

1周して、

 ΔU1+ΔU2+ΔU3=0 {当然!}

 W1+W2+W3
=N*k*T0*ln(V1/V0)-N*k*(T1-T0)
=N*k*{T0*[1-ln(V1/V0)]-T1}

  熱機関  

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