☆お勉強しようUz☆ 物理.熱力学

2016/6-2011/11 Yuji.W

☆理想気体の可逆過程

◎ 理想気体 可逆変化 準静的変化

● エネルギーの単位 J であるが atm*l で表す事もできる

気圧 1_atm=101325_Pa 体積 1_l=0.001_m^3

 1_atm*l=101.325_J 1_J=9.8692*Ten(-3)_atm*l

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇これから考える事◇

■ 1モルの理想気体をピストンに詰める。熱源を接触させる。

熱源の温度と、外気圧の圧力をコントロールできる。

熱源から気体に熱を与える事ができる。熱を奪う事もできる。

気体は膨張する事で、外部に仕事をする。エネルギーを失う。逆に、外部から気体に仕事をし、エネルギーを与える事ができる。

気体は、化学変化を起こさない。相転移も起こさない。

エネルギーは、ピストンの動きの摩擦などに使われる事はなく、保存される。

■ 圧力 P 体積 V 温度 T 内部エネルギー U

 気体定数 R
=(ボルツマン定数)*(アボガドロ数)=8.314_J/(K*mol)=0.082_atm*l/(K*mol)

 T=273 のとき 273*R~2270_J/mol

 状態方程式 1モルで P*V=R*T

モル定積比熱 Cv=R/(Γ-1) モル定圧比熱 Cp=Cv+R=R*Γ/(Γ-1) 比熱比 Γ=Cp/Cv

 単原子分子 Γ=5/3 2原子分子 Γ=7/5 3原子分子や光子 Γ=4/3

内部エネルギー U=P*V/(Γ-1)=Cv*T 内部エネルギーの変化量 ΔU

気体が得る熱量 Q 気体が外部にする仕事 W

エネルギー保存 ΔU=Q-W .熱力学の原理.第1法則

☆準静的過程☆

準静的過程 ほぼ平衡(つり合っている)の状態での変化、過程。次のような場合である。

@熱源と気体の温度が等しい。

Aピストン内の気体の圧力と、外部の大気圧と、外力(重りなど)による圧力との和が等しい。

ただし、そうすると、@では、熱の移動が起きない。Aでは、ピストンは動かない。何の変化も起きない。それでは困るので、以下のように、準静的過程を考える。

例えば、ほんの少しだけ、熱源と気体の温度差をつける。温度の高い方から低い方へ、無限の時間をかけて、熱が移動する。

また、ほんの少しだけ、圧力の差をつける。無限の時間をかけて、ピストンが移動する。

☆気体がする仕事☆

◆ 気体が、微少量 dV に対して V~V+dV 膨張する。

その時の気体にかかる圧力 P P は一定とみなせる

気体が外部にする仕事 δW ※ 仕事は状態量ではなく、完全微分できないので、微少量を δW で表す

■ δW=(力)*(動いた距離)
=[(圧力)*(断面積)]*(動いた距離)
=(圧力)*[(断面積*動いた距離)]
=(圧力)*[(増えた体積)]

=P*dV .

≫ δW=P*dV .

◇気体の変化◇

◎ まず、次の3種類の準静的変化(可逆変化)を考える

@ 温度一定 A 圧力一定 B 体積一定

◇理想気体.準静的等温膨張◇

◆ 1モルの理想気体 熱源(温度 T)に接触させる

準静的等温膨張 [P1,V1,T,U1] ⇒ [P2,V2,T,U2]

状態方程式 P1*V1=P2*V2=R*T

温度一定だから、内部エネルギーも一定。

気体は外部に向かって仕事をする。そのままでは、気体の内部エネルギーが減少し、温度が下がってしまうので、外部から熱を注入し、温度が下がらないようにコントロールしつつ膨張させる。

気体が外部にした仕事 W 加えられた熱量 Q W=Q

■ W
=${P*dV}[V:V1~V2]
=R*T*${dV/V}[V:V1~V2]
=R*T*[ln(V)][V:V1~V2]
=R*T*ln(V2/V1)

≫ Q=W=R*T*ln(V2/V1) .理想気体.準静的等温膨張

★ 1モル T=273 V2/V1=2 のとき Q=W=2270*ln(2)~1570_J

◇理想気体.準静的定圧膨張◇

◆ 1モルの理想気体 [P,V1,T1,U1]~[P,V2,T2,U2]

■ 状態方程式より P*V1/T1=P*V2/T2=R

膨張して外部に仕事をするのだが、圧力が減らないようにするために、外部からより多くの熱を与え、温度も上がるようにする。

 ΔU=Cv*(T2-T1) & W=P*(V2-V1)=R*(T2-T1)

 Q=ΔU+W=Cv*(T2-T1)+R*(T2-T1)=(Cv+R)*(T2-T1)=Cp*(T2-T1)

≫ Q=Cp*(T2-T1) .

◇理想気体.準静的定積変化◇

◆ 1モルの理想気体 [P1,V,T1,U1]~[P2,V,T2,U2]

■ P1*V/T1=P2*V/T2=R

 W=0 ΔU=Cv*(T2-T1) Q=ΔU=Cv*(T2-T1) .

{まとめ}理想気体の準静的変化(可逆変化)

◎ 1モルの理想気体の準静的変化(可逆変化)

比熱比 Γ 単原子分子 Γ=5/3 2原子分子 Γ=7/5 3原子分子や光子 Γ=4/3

モル定積比熱 Cv=R/(Γ-1) モル定圧比熱 Cp=Cv+R=R*Γ/(Γ-1)

1_J=9.8692*Ten(-3)_atm*l 1_atm*l=101.325_J

気体定数 R=8.314_J/(K*mol)=0.08205_atm*l

『気体の変化(1モルの理想気体、準静的変化、可逆変化)』 2016/7

内部エネルギー

仕事

@ 温度一定

0

R*T*ln(V2/V1)

R*T*ln(V2/V1)

A 圧力一定

Cv*(T2-T1)

R*(T2-T1)

Cp*(T2-T1)

B 体積一定

Cv*(T2-T1)

0

Cv*(T2-T1)

{うまくまとまった!2016/7}

{計算例}理想気体.任意の準静的変化(可逆変化)

◆ 1モルの理想気体(2原子分子) 比熱比 Γ=7/2 準静的変化(可逆変化)

 [1_atm 22.4_l 273_K] ⇒ [0.2_atm 224_l 546_K]

次の3種類の過程を考える

@ 定温変化と定積変化 A 定圧変化と定積変化 B 定温変化と定圧変化

● 気体定数 R=8.314_J/(K*mol)=0.082_atm*l/(K*mol)

1mol,273_K で 273*R=22.4_atm*l

 1_atm*l=101.325_J 1_J=9.8692*Ten(-3)_atm*l

モル定積比熱 Cv=R/(Γ-1)=(5/2)*R モル定圧比熱 Cp=(7/2)*R

■《 @ 定温変化と定積変化 》

[1_atm 22.4_l 273_K] ⇒ [0.1_atm 224_l 273_K] ⇒ [0.2_atm 224_l 546_K]

 ΔU=0+Cv*(546-273)=273*Cv=22.4*(5/2)=560_atm*l

 W=R*273*ln(224/22.4)+0=22.4*ln(10)=22.4*2.30=52_atm*l

 Q=ΔU+W=560+52=612_atm*l

■《 A 定圧変化と定積変化 》

[1_atm 22.4_l 273_K] ⇒ [1_atm 224_l 2730_K] ⇒ [0.2_atm 224_l 546_K]

 ΔU=Cv*(2730-273)+Cv*(546-2730)=273*Cv=560_atm*l

 W=R*(2730-273)+0=9*273*R=9*22.4=202_atm*l

 Q=ΔU+W=560+202=762_atm*l

■《 B 定温変化と定圧変化 》

[1_atm 22.4_l 273_K] ⇒ [0.2_atm 112_l 273_K] ⇒ [0.2_atm 224_l 546_K]

 ΔU=0+Cv*(546-273)=560_atm*l

 W=R*273*ln(112/22.4)+R*(546-273)=22.4*ln(5)+22.4=58_atm*l

 Q=ΔU+W=560+58=618_atm*l

----- まとめ -----

@ 定温変化と定積変化

 ΔU=560_atm*l  W=52_atm*l Q=612_atm*l

A 定圧変化と定積変化

 ΔU=560_atm*l W=202_atm*l Q=762_atm*l

B 定温変化と定圧変化

 ΔU=560_atm*l W=58_atm*l Q=618_atm*l

▲ 内部エネルギーは状態量であるから、同じ値になる。仕事や熱は、状態量でないから、過程によって異なる量になる。{具体的に計算して、より理解が深まる!2016/7}

  理想気体の可逆過程  

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