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☆ 理想気体.準静的過程 ☆ |
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〇 準静的過程 quasi static process 可逆過程 reversible process 2011.11 , 16.6 , 24.4 ★ Yuji.W |
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◇ 2*3=6
Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 気体 〓 《理想気体24.4》 ● 圧力 パスカル 1_Pa=1_N/m^2 ヘクトパスカル 1_hPa=100_Pa {定義} 気圧 1_atm=101325_Pa=1013.25_hPa~1.003_kg重/cm^2 .. 1_atm*l=101.325_J 1_J=1_Pa*m^3=1000_Pa*l~9.8692*Ten(-3)_atm*l ● 絶対温度 a_K セルシウス度 b_℃ のとき a=b+273.15 {定義} ● アボガドロ定数 NA=6.022140*Ten(23)_個/mol {定義値} 気体定数 R=NA*kB~8.314462_J/(K*mol)~8.205736*Ten(-2)_atm*l/(K*mol) 標準気体 273*R~2270_J~22.40166_atm*l/mol |
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〓 理想気体の状態方程式と内部エネルギー 〓 《理想気体.状態方程式24.4》 ● アボガドロ定数 NA ボルツマン定数 kB 気体定数 R=NA*kB ▢ 理想気体 圧力 P 体積 V 絶対温度 T 分子数 N’ モル数 N 並進運動エネルギー Kt 内部エネルギー U 比熱比 Γ 単原子分子 Γ=5/3 2原子分子 Γ=7/5 3原子分子,光子 Γ=4/3 ▷ 次の3つの等式が成り立つ ① P*V=(2/3)*Kt ② Kt=(3/2)*N'*kB*T=(3/2)*N*R*T ③ Kt/U=(3/2)*(Γ-1) ⇒ P*V=N'*kB*T=N*R*T=(Γ-1)*U ★ ※ ②の式は、別に考察を要する。「温度」の定義とも関連する。 |
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〓 熱力学 〓 〇 1モルの理想気体をピストンに詰める。以下のような条件がある。 ① 気体は化学変化をしないし、相転移も起こさない。分子数は変わらない。 ② ピストンは、非常に薄くできていて、これから考える熱の計算には、影響を与えない。 ③ 熱源と接触していて、気体の温度をコントロールできる。熱源から気体に熱を与える事ができるし、熱を奪う事もできる。 ④ 外気圧の圧力をコントロールできる。 ⑤ 気体は膨張する事で、外部に仕事をする。エネルギーを失う。逆に、外部から気体に仕事をし、エネルギーを与える事ができる。 ⑥ エネルギーは、ピストンの動きの摩擦などに使われる事はなく、保存される。 ⑦ 気体の内部エネルギーは、気体の運動エネルギーのみだけ考える。また、 .. (内部エネルギー) ∝ (絶対温度) ★ とする ♡ 以上のような条件をはっきりさせないで、話を進める教科書が多いから、わからなくなる{!} 〇 気体が得る熱量 Qin 気体が外部にする仕事 Wout 気体の内部エネルギーの変化量 ΔU エネルギー保存 ΔU=Qin-Wout ★ 熱力学の原理.第1法則 |
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〓 可逆過程,準静的過程 〓 〇 気体の状態を変化させるときに、次のような条件をつけて変化させる。そーと、無限の時間をかけて変化させるというイメージでよい。 〇 可逆過程(準静的過程) ほぼ平衡(つり合っている)の状態での変化、過程。逆向きの過程も成り立つとする。次のような場合である。 ① 熱源と気体の温度が等しい。 ただし、そうすると、①では、熱の移動が起きない。②では、ピストンは動かない。何の変化も起きない。それでは困るので、以下のように、準静的過程を考える。
例えば、ほんの少しだけ、熱源と気体の温度差をつける。温度の高い方から低い方へ、無限の時間をかけて、熱が移動する。 ▲ 可逆過程と準静的過程は同じものであるように思えるが、準静的過程で変化したのにもかかわらず、不可逆になる場合があるらしい{!2024.4} ★ 〇 自然界で起きる自発的な過程は、不可逆過程である。過程中は、考えている系内が均一になっているわけではなく、状態方程式は成り立たない。 ★ |
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〓 気体がする仕事 〓 〇 状態量 系の状態が決まれば、一義的に定まる量 ▢ 気体 体積 V 圧力 P 微少量 dV に対して V~V+dV 膨張
気体が外部にする仕事 δW ▷ (仕事) .. (仕事)=(圧力)*(増えた体積) ≫ δW=P*dV ★ |
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以下、次の3種の可逆過程(準静的過程)を考える。 ① T=一定 ② V=一定 ③ P=一定 状態方程式の3つの変数 P,V,T のうち、1つが定数の場合を考えている。残りの2つの変数の関係は比例か逆比例になる。例えば ${P*dV} を簡単に求める事ができる。 |
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〓 理想気体.準静的等温膨張 〓 〇 気体を膨張させる。気体は外部に向かって仕事をする。そのままでは気体の内部エネルギーが減少し温度が下がってしまうので、熱源(温度
T)に接触させ、温度を一定に保つ。 ▢ 1モルの理想気体 温度一定 準静的等温膨張 [P1,V1,T0,U0] ⇒ [P,V,T0,U0] ⇒ [P2,V2,T0,U0] 状態方程式 P1*V1=P2*V2=R*T0=(Γ-1)*U 気体が外部にした仕事 Wout 加えられた熱量 Qin=Wout ▷ Wout ≫ Qin=Wout=R*T0*ln(V2/V1) ★ 1モルの理想気体.準静的等温膨張 ★ 1モル T=273 V2/V1=2 ⇒ Qin=Wout=2270*ln(2)~1570_J |
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〓 理想気体.準静的定積変化 〓 〇 膨張しない。気体は外部に仕事をしない。気体に熱を加えれば、その分、気体の温度は上がる。気体から熱を奪えば、その分、気体の温度は下がる。 ▢ 1モルの理想気体 [P1,V0,T1,U1] ⇒ [P,V0,T,U] ⇒ [P2,V0,T2,U2] ΔU=U2-U1 状態方程式 P1*V0/T1=P2*V0/T2=R P1*V0=P2*V0=(Γ-1)*U 加えられた熱量 Qin=ΔU ▷ Qin=ΔU=(P2-P1)*V0/(Γ-1)=R*(T2-T1)/(Γ-1) ★ ▷ 1モルあたりの定積比熱 Cv=Qin/(T2-T1)=R/(Γ-1) ★ .. Qin=ΔU=Cv*(T2-T1) ★ |
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〓 理想気体.準静的定圧膨張 〓 〇 圧力が一定のまま膨張させる。当然、温度は上がる。熱源の温度も上げる。 ▢ 1モルの理想気体 [P0,V1,T1,U1] ⇒ [P0,V,T,U] ⇒ [P0,V2,T2,U2] ΔU=U2-U1 状態方程式 P0*V1/T1=P0*V2/T2=R P0*V1=P0*V2=(Γ-1)*U 気体が外部にした仕事 Wout 加えられた熱量 Qin ΔU=Qin-Wout ▷ Wout=P0*(V2-V1)=R*(T2-T1) .. ΔU=P0*(V2-V1)/(Γ-1)=R*(T2-T1)/(Γ-1) .. Qin ≫ Qin=R*(T2-T1)*Γ/(Γ-1) ★ .. Wout=Qin*(Γ-1)/Γ ΔU=Qin/Γ ▷ 1モルあたりの定圧比熱 Cp=Qin/(T2-T1)=R*Γ/(Γ-1)=Γ*Cv ★ .. Cp/Cv=Γ Γ を「比熱比」と呼ぶ .. Qin=Cp*(T2-T1)=Cv*(T2-T1)*Γ ★ .. Wout=Qin*(Γ-1)/Γ=Cp*(T2-T1)*(Γ-1)/Γ=Cv*(T2-T1)*(Γ-1) ★ .. ΔU=Qin/Γ=Cp*(T2-T1)/Γ=Cv*(T2-T1) ★ Cp ではない ♡ わかってなかった{!2024.4} |
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〓 理想気体.準静的過程(可逆過程) 〓 《理想気体.準静的過程24.4》 ● 1モルあたりの定積比熱
Cv=R/(Γ-1) 1モルあたりの定圧比熱
Cp=R*Γ/(Γ-1) 〇 1モルの理想気体 準静的過程 ① 温度一定 Qin=Wout=R*T0*ln(V2/V1) ② 体積一定 1モルあたりの定積比熱 Cv=Qin/(T2-T1)=R/(Γ-1) .. ΔU=Qin=Cv*(T2-T1)=(P2-P1)*V0/(Γ-1)=R*(T2-T1)/(Γ-1) ③ 圧力一定 1モルあたりの定圧比熱 Cp=Qin/(T2-T1)=R*Γ/(Γ-1)=Γ*Cv 比熱比 Γ=Cp/Cv .. Qin=Cp*(T2-T1)=Cv*(T2-T1)*Γ .. Wout=P0*(V2-V1)=R*(T2-T1)=Cv*(T2-T1)*(Γ-1) .. ΔU=Cv*(T2-T1) |
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〓 {計算例}理想気体.任意の準静的変化(可逆変化) 〓 ▢ 1モルの理想気体(2原子分子) 比熱比 Γ=7/5 準静的変化(可逆変化) .. [1_atm 22.4_l 273_K] ⇒ [0.2_atm 224_l 546_K] 次の3種類の過程を考える。 ① 定温過程と定積過程 ② 定圧過程と定積過程 ③ 定温過程と定圧過程 ● 273*R=22.4_atm*l 273*Cv=273*R*(5/2)~56.0_atm*l
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① 定温過程と定積過程 .. ΔU=0+Cv*(546-273)=273*Cv~56.0_atm*l .. Wout=R*273*ln(224/22.4)+0~22.4*2.303~51.6_atm*l .. Qin=R*273*ln(224/22.4)+Cv*(546-273)~51.6+56.0=107.6_atm*l ⇒ Qin-Wout=107.6-51.6=56.0_atm*l=ΔU ★ ▷ ② 定圧過程と定積過程 .. ΔU=Cv*(2730-273)+Cv*(546-2730)=Cv*273~56.0_atm*l .. Wout=1*(224-22.4)+0=201.6_atm*l .. Qin=Cp*(2730-273)+Cv*(546-2730)=78.4*9-56.0*8=705.6-448=257.6_atm*l ⇒ Qin-Wout=257.6-201.6=56.0_atm*l=ΔU ★ ▷ ③ 定温過程と定圧過程 [1_atm 22.4_l 273_K] ⇒ [0.2_atm 112_l 273_K] ⇒ [0.2_atm 224_l 546_K] .. ΔU=0+Cv*(546-273)=273*Cv=56.0_atm*l .. Wout .. Qin ⇒ Qin-Wout=114.5-58.5=56.0_atm*l=ΔU ★ ▲ 熱や仕事は過程によって変化する量、エネルギーは過程によって変化しない量である。 どの過程でも Qin-Wout=ΔU は成り立っている。 |
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