☆ 理想気体.準静的断熱過程 ☆

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〇 可逆過程  断熱膨張  断熱圧縮  2011.11 , 16.7 , 24.4  ★  Yuji.W

◇ 2*3=6  Ten(3)=10^3=1000  微分 ;  偏微分 :  積分 $  e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>  縦ベクトル <A)  単位ベクトル <xu>  内積 *  外積 #   000 

〓  理想気体.準静的断熱過程  〓  

● ポアソン  フランス 1781-1840  ポアソン方程式,変分,熱力学,電磁気

● 比熱比 Γ  単原子分子 Γ=5/3  2原子分子 Γ=7/5  3原子分子,光子 Γ=4/3 

〇 理想気体を、外部からの熱の出入りがないようにしながら、準静的に変化させる。温度と圧力をコントールする必要がある。

膨張するとき、気体は外部に向かって仕事をし、内部エネルギーは減少し、温度が下がる。圧力も下がる。

圧縮するとき、気体に対して仕事をし、内部エネルギーが増加し、温度が上がる。圧力も上がる。

▢ 1モルの理想気体  準静的断熱過程  気体の比熱比 Γ 気体の内部エネルギー U

▲ 状態方程式の3つの変数 P,V,T が3つとも変化する。${P*dV} を簡単に求める事ができない。

▷ まず、P と V の関係を考える  (Γ-1)*U=P*V

全微分を考えて  (Γ-1)*dU=P*dV+V*dP  ①

準静的断熱過程で  dU=-P*dV  ② 

①②より  -(Γ-1)*P*dV=P*dV+V*dP  V*dP=-Γ*P*dV  dP/dV=-Γ*P/V  ★ 

解  任意の定数 C に対して  P=C*V^(-Γ)

{確かめ}  dP/dV=-C*Γ*V^(-Γ-1)=-Γ*[C*V^(-Γ)]/V=-Γ*P/V

理想気体.準静的断熱過程  P*V^Γ=C=定数  ★  ポアソンの関係式

▲ 等温過程 P*V=一定 と比べると、断熱過程では Γ>1 であるから、V の変化に対して、P はより大きく変化する。膨張の場合、外部に仕事をしエネルギーを失うのだが、等温過程では外部より熱が補充されるのに対して、断熱過程では補充されないから、より圧力が減ってしまうわけである。

▷ 1モルの理想気体の状態方程式 P*V/T=R 

..  一定=(T/V)*V^Γ=V^(Γ-1)*T  ⇒  V^(Γ-1)*T=一定

また  一定=P*(T/P)^Γ=T^Γ/P^(Γ-1)  ⇒  P^(Γ-1)/T^Γ=一定

{まとめ}  理想気体.断熱過程  P*V^Γ=一定  V^(Γ-1)*T=一定  P^(Γ-1)/T^Γ=一定  ★ 

▷ P2/P1=@P , V2/V1=@V , T2/T1=@T とすると、

..  @P=1/@V^Γ=@T^[Γ/(Γ-1)]   @V=1/@P^(1/Γ)=1/@T^[1/(Γ-1)]

..  @T=@P^[(Γ-1)/Γ]=1/@V^(Γ-1)

▷ 2原子分子  Γ=7/5 
..  1/Γ=5/7~0.714   Γ-1=2/5   Γ/(Γ-1)=(7/5)*(5/2)=7/2   (Γ-1)/Γ=2/7~0.286

..  @P=1/@V^1.4=@T^3.5   @V=1/@P^0.714=1/@T^2.5

..  @T=@P^0.286=1/@V^0.4

〓  理想気体.準静的断熱過程  〓  《理想気体.準静的断熱過程24.4》

● 比熱比 Γ  単原子分子 Γ=5/3  2原子分子 Γ=7/5  3原子分子,光子 Γ=4/3 

▢ 1モルの理想気体  準静的断熱過程  気体の比熱比 Γ 気体の内部エネルギー U

▷ P*V^Γ=一定  V^(Γ-1)*T=一定  P^(Γ-1)/T^Γ=一定  ポアソンの関係式

▷ P2/P1=@P , V2/V1=@V , T2/T1=@T とすると、

..  @P=1/@V^Γ=@T^[Γ/(Γ-1)]   @V=1/@P^(1/Γ)=1/@T^[1/(Γ-1)]

..  @T=@P^[(Γ-1)/Γ]=1/@V^(Γ-1)

▷ 2原子分子  Γ=7/5 
..  1/Γ=5/7~0.714   Γ-1=2/5   Γ/(Γ-1)=(7/5)*(5/2)=7/2   (Γ-1)/Γ=2/7~0.286

..  @P=1/@V^1.4=@T^3.5   @V=1/@P^0.714=1/@T^2.5

..  @T=@P^0.286=1/@V^0.4

〓  {計算例}理想気体.準静的断熱過程  〓  

▢ 1モルの理想気体  2原子分子  Γ=7/5  準静的断熱過程  [P1,V1,T1] ⇒ [P2,V2,T2]

▷ 断熱膨張 @P=1/2 のとき、

..  @V=1/0.5^0.714~1.640  

..  @T=0.5^0.286~0.820   {確かめ} @T=1/1.640^0.4~0.820

▷ 断熱膨張 @V=2 のとき、

..  @P=1/2^1.4~0.379

..  @T=1/2^0.4~0.758   {確かめ} @T=0.379^0.286~0.758

▷ 断熱膨張 @T=1/2 のとき、

..  @P=0.5^3.5~0.088

..  @V=1/0.5^2.5~5.657   {確かめ} @V=1/0.088^0.714~5.671

▷ 断熱圧縮 @V=1/2 のとき、

..  @P=1/0.5^1.4~2.639

..  @T=1/0.5^0.4~1.320   {確かめ} @T=2.639^0.286~1.320

▷ 断熱圧縮 @P=2 のとき、

..  @V=1/2^0.714~0.610  

..  @T=2^0.286~1.219   {確かめ} @T=1/0.610^0.4~1.219

▷ 断熱圧縮 @P=1.1 のとき、

..  @V=1/1.1^0.714~0.934  

..  @T=1.1^0.286~1.028   {確かめ} @T=1/0.934^0.4~1.028

T1=273+20=293_K のとき  T2=293*1.028~301_K=28_℃  T2-T1=8_℃

▲ 準静的断熱圧縮で、圧力を1割高くすると、気体の温度は 8度上がる  ★ 

♡ 予想以上に高くなる{!}

▷ 断熱圧縮 @V=0.9 のとき、

..  @P=1/0.9^1.4~1.159

..  @T=1/0.9^0.4~1.043   {確かめ} @T=1.159^0.286~1.043

T1=273+20=293_K のとき  T2=293*1.043~306_K=33_℃  T2-T1=13_℃

▲ 準静的断熱圧縮で、体積を1割縮めると、気体の温度は 13度上がる  ★ 

♡ 予想以上に高くなる{!}
バイクのタイヤの空気入れをすると、空気入れの温度がとても高くなって、触れないぐらいになる事がある{!}

〓  {計算例}理想気体.準静的断熱過程  〓  《理想気体.準静的過程24.4》

▢ 1モルの理想気体  2原子分子  Γ=7/5  準静的断熱過程  [P1,V1,T1] ⇒ [P2,V2,T2]

..  P2/P1=@P , V2/V1=@V , T2/T1=@T

▷ 断熱膨張 @P=1/2  @V~1.640  @T~0.820

▷ 断熱膨張 @V=2  @P~0.379  @T~0.758

▷ 断熱膨張 @T=1/2  @P~0.088  @V~5.657

▷ 断熱圧縮 @V=1/2  @P~2.639  @T~1.320

▷ 断熱圧縮 @P=2  @V~0.610  @T~1.219  

▷ 断熱圧縮 @V=0.9  @P~1.159  @T~1.043   T1=293_K  T2~306_K

▷ 断熱圧縮 @P=1.1  @V~0.934  @T~1.028   T1=293_K  T2~301_K

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