☆お勉強しようUz☆ 物理.熱力学

2016/7-2011/11 Yuji.W

☆理想気体の断熱過程☆

◎ 理想気体 断熱過程 準静的過程 不可逆過程

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

☆理想気体.準静的断熱過程☆

断熱変化=(熱を遮断した系の準静的過程)

◆ 1モルの理想気体 準静的断熱膨張 外部からの熱の出入りがない

■ 気体は外部に向かって仕事をする。気体の内部エネルギーが減少する。温度が下がる。圧力も下がる。外部の圧力も下げていき、準静的になるようにコントロールする。  [P1,V1,T1] ⇒ [P2,V2,T2]

気体の比熱比 Γ 気体の内部エネルギー U

■ U=P*V/(Γ-1)

全微分を考えて dU=d(P*V)/(Γ-1)=(P*dV+V*dP)/(Γ-1) @

準静的断熱過程で dU=-P*dV A ※ 準静的でないと成り立たない式{!}

@Aより (P*dV+V*dP)/(Γ-1)=-P*dV

 V*dP=-Γ*P*dV

 dP/P=-Γ*dV/V

 ln(P)=-Γ*ln(V)+積分定数

 ln(P*V^Γ)=積分定数

 P*V^Γ=一定 .理想気体.準静的断熱過程 ポアソンの関係式

▲ 等温膨張のとき P*V=一定 だから、同じ膨張に対しては、断熱膨張の場合の方が、より圧力が小さくなる。断熱膨張は、外部に仕事をして、内部エネルギーが減り、気体分子の並進運動エネルギーがより小さくなるからである。

1/3≦Γ-1≦2/3 だから 断熱膨張をすれば温度が下がり、断熱圧縮をすれば温度が上がる .

■ 状態方程式 P*V=R*T は成り立っているから、

 (R*T/V)*V^Γ=一定 V^(Γ-1)*T=一定

また P*(R*T/P)^Γ=一定 T^Γ/P^(Γ-1)=一定

☆理想気体.準静的断熱過程-2-☆

断熱変化=(熱を遮断した系の準静的過程)

◆ 1モルの理想気体 準静的断熱膨張  [P1,V1,T1] ⇒ [P2,V2,T2]

● y=x^n ln(y)=n*ln(x) ln(x)=ln(y)/n=ln[y^(1/n)] x=y^(1/n)

★ y=x^2 x=root(y)

★ y=x^3 x=y^(1/3)

■ P2/P1=(V1/V2)^Γ V2/V1=(P1/P2)^(1/Γ)

 T2/T1=(V1/V2)^(Γ-1) V2/V1=(T1/T2)^[1/(Γ-1)]

 T2/T1=(P2/P1)^[(Γ-1)/Γ] P2/P1=(T2/T1)^[Γ/(Γ-1)]

{計算例}理想気体.準静的断熱過程

◆ 1モルの理想気体 2原子分子(Γ=7/5) 準静的断熱膨張

★ V2/V1=2 のとき P2/P1=1/2^(7/5)~0.38 T2/T1=1/2^(2/5)~0.76

★ P2/P1=1/2 のとき V2/V1=2^(5/7)~1.64 T2/T1=1/2^(2/7)~0.82

★ T2/T1=1/2 のとき V2/V1=2^(5/2)~5.66 P2/P1=1/2^(7/2)~0.89

{具体的な計算をする事で、いろいろな事が見えてくる!2016/7}

◇理想気体.不可逆断熱過程◇

比熱比 Γ 単原子分子 Γ=5/3 2原子分子 Γ=7/5 3原子分子や光子 Γ=4/3

モル定積比熱 Cv=R/(Γ-1) モル定圧比熱 Cp=Cv+R=R*Γ/(Γ-1)

1_J=9.8692*Ten(-3)_atm*l 1_atm*l=101.325_J

気体定数 R=8.314_J/(K*mol)=0.08205_atm*l

◆ 1モルの理想気体 不可逆断熱膨張 熱のやり取りがない 外気圧一定のもと膨張させる

 [P1,V1,T1] 外気圧Pout ⇒ [Pout,V2,T2] P1>Pout

内部エネルギーの変化量 ΔU 気体が外部にした仕事 W 気体に加えられた熱量 Q

■《 T と P 》■ 気体は外部に仕事をする。内部エネルギーが減る。温度が下がる。

状態方程式 P1*V1/T1=Pout*V2/T2=R @

 -ΔU=Cv*(T1-T2) W=Pout*(V2-V1)

熱の移動はない W=-ΔU だから、

 Cv*(T1-T2)=Pout*(V2-V1) A

@Aより、V2,T2 が定まる。V2 を消去すると、

 Cv*T1-Cv*T2=R*T2-Pout*V1

 (Cv+R)*T2=Cv*T1+Pout*V1

 Cp*T2=Cv*T1+Pout*V1

 T2/T1
=(Cv/Cp)+(Pout/P1)*(P1*V1/T1)/Cp
=1/Γ+(Pout/P1)*R/Cp
=1/Γ+(Pout/P1)*(Γ-1)/Γ

≫ T2/T1=1/Γ+(Pout/P1)*(Γ-1)/Γ .理想気体.不可逆断熱過程

 Pout/P1=[Γ/(Γ-1)]*(T2/T1)-1/(Γ-1) .

■《 P と V 》

 V2/V1
=(T2/T1)/(Pout/P1)
=[1/Γ+(Pout/P1)*(Γ-1)/Γ]/(Pout/P1)
=(P1/Pout)/Γ+(Γ-1)/Γ

≫ V2/V1=(P1/Pout)/Γ+(Γ-1)/Γ

 P1/Pout=Γ*(V2/V1)-(Γ-1)

■《 T と V 》

 V1/V2
=(Pout/P1)/(T2/T1)
={[Γ/(Γ-1)]*(T2/T1)-1/(Γ-1)}/(T2/T1)
=Γ/(Γ-1)-[1/(Γ-1)]*(T1/T2)

≫ V1/V2=Γ/(Γ-1)-[1/(Γ-1)]*(T1/T2)

 T1/T2=Γ-(Γ-1)*(V1/V2)

----- まとめ -----

状態方程式 P1*V1/T1=Pout*V2/T2=R

不可逆断熱過程で、

 T2/T1=1/Γ+(Pout/P1)*(Γ-1)/Γ Pout/P1=[Γ/(Γ-1)]*(T2/T1)-1/(Γ-1)

 V2/V1=(P1/Pout)/Γ+(Γ-1)/Γ P1/Pout=Γ*(V2/V1)-(Γ-1)

 V1/V2=Γ/(Γ-1)-[1/(Γ-1)]*(T1/T2) T1/T2=Γ-(Γ-1)*(V1/V2)

2原子分子(Γ=7/5)のとき、

 T2/T1=5/7+(2/7)*(Pout/P1) Pout/P1=(7/2)*(T2/T1)-5/2

 V2/V1=(5/7)*(P1/Pout)+2/7 P1/Pout=(7/5)*(V2/V1)-2/5

 V1/V2=7/2-(5/2)*(T1/T2) T1/T2=(7/5)-(2/5)*(V1/V2)

★ 2原子分子 & Pout/P1=1/2 のとき

 T2/T1=5/7+(2/7)*(1/2)=6/7 V2/V1=(5/7)*2+2/7=12/7

★ 2原子分子 & V2/V1=2 のとき

 P1/Pout=(7/5)*2-2/5=12/5 T1/T2=(7/5)-(2/5)*(1/2)=6/5

{計算例}理想気体.不可逆断熱膨張

◆ 1モルの理想気体 不可逆断熱膨張 外気圧一定のもと膨張させる

 [P1,V1,T1] 外気圧Pout ⇒ [Pout,V2,T2] P1>Pout

2原子分子 Γ=7/5

 

★ Pout/P1=1/2 のとき T2/T1=[1+(1/2)*(2/5)]/(7/5)=(6/5)/(7/5)=6/7

 V2/V1=(T2/T1)/(Pout/P1)=(6/7)/(1/2)=12/7

★ V2/V1=2 のとき

 T2/T1=1/[(7/5)-(1/2)*(2/5)]=1/[(7/5)-(1/2)*(2/5)]=5/6

 Pout/P1=(T2/T1)/(V2/V1)=(5/6)/2=5/12

 

 

 

 

★ Pout/P1=1/2 のとき T2/T1=[1+(1/2)*(2/5)]/(7/5)=(6/5)/(7/5)=6/7

 V2/V1=(T2/T1)/(Pout/P1)=(6/7)/(1/2)=12/7

★ V2/V1=2 のとき

 T2/T1=1/[(7/5)-(1/2)*(2/5)]=1/[(7/5)-(1/2)*(2/5)]=5/6

 Pout/P1=(T2/T1)/(V2/V1)=(5/6)/2=5/12

----- まとめ -----

不可逆断熱過程

Pout/P1=1/2 のとき T2/T1=6/7~0.86 V2/V1=12/7~1.71

V2/V1=2 のとき T2/T1=5/6~0.83 Pout/P1=5/12~0.42

準静的断熱過程

P2/P1=1/2 のとき T2/T1=1/2^(2/7)~0.82 V2/V1=2^(5/7)~1.64

V2/V1=2 のとき T2/T1=1/2^(2/5)~0.76 P2/P1=1/2^(7/5)~0.38

▲ 断熱過程で、おおざっぱな計算をするうえでは、不可逆も準静的も、ほぼ同じとみなす事ができる{!}

{まとめ}理想気体.断熱過程

『理想気体.断熱過程』 2016/7

◆ 1モルの理想気体 断熱過程 状態方程式 P*V=R*T

■《 準静的断熱過程 》P*V^Γ=一定 V^(Γ-1)*T=一定 T^Γ/P^(Γ-1)=一定

◆ 1モルの理想気体 不可逆断熱膨張 外気圧一定のもと膨張させる

 [P1,V1,T1] 外気圧Pout ⇒ [Pout,V2,T2] P1>Pout

状態方程式 P1*V1/T1=Pout*V2/T2=R

■ -ΔU=Cv*(T1-T2) W=Pout*(V2-V1)

■ T2/T1=1/Γ+(Pout/P1)*(Γ-1)/Γ Pout/P1=[Γ/(Γ-1)]*(T2/T1)-1/(Γ-1)

 V2/V1=(P1/Pout)/Γ+(Γ-1)/Γ P1/Pout=Γ*(V2/V1)-(Γ-1)

 V1/V2=Γ/(Γ-1)-[1/(Γ-1)]*(T1/T2) T1/T2=Γ-(Γ-1)*(V1/V2)

2原子分子(Γ=7/5)のとき、

 T2/T1=5/7+(2/7)*(Pout/P1) Pout/P1=(7/2)*(T2/T1)-5/2

 V2/V1=(5/7)*(P1/Pout)+2/7 P1/Pout=(7/5)*(V2/V1)-2/5

 V1/V2=7/2-(5/2)*(T1/T2) T1/T2=(7/5)-(2/5)*(V1/V2)

  理想気体の断熱過程  

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