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☆ 2行2列行列.固有値,固有ベクトル ☆ |
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〇 2行2列行列 ★ 2024.2-2012.6 Yuji.W |
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◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 [A]*<x y)=<0 0) 〓 連立方程式 [A]*<x y)=<0 0) 24.2 ▢ 2行2列行列 [A]=[a b|c d] 連立方程式 [A]*<x y)=<0 0) 行列式 det[A]=a*d-b*c ▷ 一般に <x y)=<0 0) 以外の解は存在しない。 <x y)=<0 0) 以外の解を持つための条件 det[A]=0 このとき、解は、x と y の比が決まるだけで、大きさは定まらない。 |
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〓 2行2列行列の固有値、固有ベクトル 〓 〇 2行2列行列 [2 2|1 3] 基底ベクトル <2 1) , <2 3) 線型変換 [2 2|1 3]*<x y)=<2 1)*x+<2 3)*y=<2*x+2*y x+3*y) 例えば [2 2|1 3]*<5 4)=<2 1)*5+<2 3)*4=<10 5)+<8 12)=<18 17) <5 4) ⇒ <18 17) 2つのベクトルの方向は異なる。一般に、変換すると、方向が異なるベクトルができる。 ★ ところが、 [2 2|1 3]*<2 -1)=<2 1)*2+<2 3)*(-1)=<2 -1) <2 -1) ⇒ <2 -1) [2 2|1 3]*<1 1)=<2 1)*1+<2 3)*1=<4 4)=4*<1 1) <1 1) ⇒ 4*<1 1) 元のベクトルの定数倍のベクトルができた。同じ方向のベクトルができた。一般には、こういう事は起きない。特別な事が起きているのである。連立方程式で言えば、解が定まらない場合である。このような特別な事が起きる場合を考えるのである。 ★ 以上のような特別な場合に <2 -1) や <1 1) を「固有ベクトル」と言い、1 や 4 を「固有値」と言う。 ♡ 以上のような事をはっきりさせないで話を進めるので、わからなくなる{!} 〇 固有ベクトルの任意の定数倍も固有ベクトルになる。 <4 -2) , <20 -10) , ＜3 3> , <10 10) なども固有ベクトルになる。 固有ベクトルの大きさを 1 にしたければ <2 -1)/√5 , <1 1)/√2 とすればよい。 〇 個有ベクトルを位置ベクトルと考える。 原点と固有ベクトル <2 -1) を通る直線上にある点を、 [A] を使って変換すると、その直線上に変換される。 同様な事が、個有ベクトル <1 1) についても言える。 |
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〓 2行2列行列の固有値、固有ベクトルを求める 〓 ▢ 2行2列行列 [A]=[a b|c d] [A]の固有値 h 固有ベクトル <@A) Tr[A]=a+d det[A]=a*d-b*c 2行2列単位行列 [E]=[1 0|0 1] ▷ [A]*<x y)=h*<x y) ([A]-h*[E])*<x y)=<0 0) <x y)=<0 0) 以外の解が存在するためには det([A]-h*[E])=0 ★ ▷ [A]-h*[E]=[a-h b|c d-h] det([A]-h*[E])=(a-h)*(d-h)-b*c=h^2-(a+d)*h+a*d-b*c=h^2-Tr[A]*h+det[A] h が満たすべき方程式(固有方程式) h^2-Tr[A]*h+det[A]=0 ★ ▷ 固有値が求められたら、次に、固有ベクトルを求める。 それぞれの固有値に対して [A]-h*[E] が定まる。 次の2元連立方程式を解けばよい ([A]-h*[E])*<x y)=<0 0) x と y の比が定まるだけで、大きさは定まらない。ベクトルの方向が定まるだけで、大きさは定まらない。 |
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〓 2行2列行列の固有値の数 〓 ◎ 実数の範囲に限る 〇 2行2列行列 [A]=[a b|c d] [A]の固有値 h ([A]-h*[E])*<x y)=<0 0) <x y)=<0 0) 以外の解が存在するためには det([A]-h*[E])=0 h が満たすべき方程式(固有方程式) h^2-(a+d)*h+(a*d-b*c)=0 (h の2次方程式の判別式)=(a+d)^2-4*(a*d-b*c)=(a-d)^2+4*b*c (a-d)^2+4*b*c>0 のとき 固有値 2つ 固有ベクトル 2つ [A] を対角化できる (a-d)^2+4*b*c=0 のとき 固有値 1つ 固有ベクトル 1つ [A] を対角化できない (a-d)^2+4*b*c<0 のとき 固有値が存在しない |
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〓 2行2列行列.固有値,固有ベクトル 〓 2行2列行列.固有値,固有ベクトル 24.2 ▢ 2行2列行列 [A]=[a b|c d] [A]の固有値 h 固有ベクトル <@A) Tr[A]=a+d det[A]=a*d-b*c 2行2列単位行列 [E]=[1 0|0 1] ▷ 固有方程式 h^2-Tr[A]*h+det[A]=0 次の2元連立方程式を解いて、固有ベクトルを定める ([A]-h*[E])*<x y)=<0 0) x と y の比が定まるだけで、大きさは定まらない。ベクトルの方向が定まるだけで、大きさは定まらない。 ▷ (固有方程式の判別式)=(a-d)^2+4*b*c (a-d)^2+4*b*c>0 の場合だけ、固有値は2つ、固有ベクトルも2つ、[A]を対角化できる |
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〓 {計算例}固有値、固有ベクトルを求める 〓 ▢ [A]=[2 2|1 3] 固有値 h1,h2 固有ベクトル <@A1) , <@A2) 大きさ 1 の固有ベクトル <@A1u) , <@A2u) Tr[A]=2+3=5 det[A]=6-2=4 ▷ 固有方程式 h^2-5*h+4=0 (h-1)*(h-4)=0 固有値 h=1 , 4 固有値 1 に対して [A]-h*[E]=[1 2|1 2] x+2*y=0 <@A1)∝<2 -1) <@A1u)=<2 -1)/√5 固有値 4 に対して [A]-h*[E]=[-2 2|1 -1] x-y=0 <@A2)∝<1 1) <@A2u)=<1 1)/√2 {やっとわかった!10年かかった!2021.5} |
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