Yuji.W 2012

◇三角関数の利用◇

★ 正多角形の周の長さ

1+cos(a)+cos(2a)+cos(3a)+…　(有限和) を求める図形的方法

sin[(pi)x]/{n*sin[(pi)x/n]}　電磁気 回折

◇正多角形の周の長さ◇

◎半径 r の円に内接する正 n 角形の周の長さを求めよう。

■1辺の長さ L　その辺に対する中心角 a=2(pi)/n

　r-r-L の二等辺三角形で、L=2r*sin(a/2)

　周の長さ=2nr*sin[(pi)/n]　★

■n->∞ とすれば、円の周の長さを求められるから、

　円周=lim[n->∞]{2nr*sin[(pi)/n]}
=lim[n->∞]{2(pi)r*sin[(pi)/n]/[(pi)/n]}=2(pi)r

◇1+cos(a)+cos(2a)+cos(3a)+…◇

◎A=1+cos(a)+cos(2a)+cos(3a)+…　(有限和)　 を求める図形的な方法を考えよう。平面ベクトルでも、複素平面で考えても同じである。以下、ベクトルで説明する。

■<A0>=<1,0>　<A1>=<cos(a),sin(a)>　<A2>=<cos(2a),sin(2a)> …とする。

各ベクトルは、始点を原点に取れば、単位円上にあり、角度が a ずつずれたものである。それらを順に連結していけば、辺の角度が隣の辺と a ずつずれていく(外角が a になる)、正多角形を形作っていく。辺の長さは 1 である。

原点から、それらのベクトルの終点への伸びるベクトルは、
　<A0>+<A1>+<A2>+<A3>+…

そのベクトルの x成分が、A=1+cos(a)+cos(2a)+cos(3a)+… となる。

■正多角形(各辺の長さ 1　隣の辺との外角 a)の外接円の半径 r

　2r*sin(a/2)=1 ⇒ r=(1/2)/sin(a/2)

{計算例}a=(pi)/2_radian=90°　1辺 1 の正方形
　外接円の半径=(1/2)/{sin[(pi)/4]}=(1/2)*[2/root(2)]=root(2)/2

a=(pi)/3_radian=60°　1辺 1 の正六角形
　外接円の半径=(1/2)/{sin[(pi)/6]}=1

◇sin[(pi)x]/{n*sin[(pi)x/n)]}◇

■グラフ　y=sin[(pi)x]/{n*sin[(pi)x/n]}　および、y^2

　n=100

　�@=sin[(pi)x]　�A=sin[(pi)x/n]
　�B=�@/(n*�A)　ただし、x=0 のときの値は 1
　�C=�B^2=sin[(pi)x]^2/{n^2*sin[(pi)x/n]^2}

{注}lim[x->0]{�@/�A}
=lim[x->0]{sin[(pi)x]/[(pi)x]}/{sin[(pi)x/100]/[(pi)x/100]}*100
=1*1*100=100

■●y=0 の解は、x=1,2,3,…

◎n>>1 の場合　x=1〜2 の y の極小値、y の極大値を求めよう。

■n>>1 の場合　y の分母は、分子と比べて、その変化は小さいので、分子が極小値を取る場合で近似する。

　x=1.5 のとき、

　y=sin[1.5(pi)]/{n*sin[1.5(pi)/n]}=-1/n*[1.5(pi)/n]
=-1/1.5(pi)~-0.21　y^2~0.04

●三角関数の積分

■n>>1 の場合

[�Cと x軸に囲まれた面積　x=0〜1]~△[1 & 1]=1/2

■n>>1 の場合

　[�Cと x軸に囲まれた面積　x=0〜∞]
=${sin[(pi)x]^2/{n^2*sin[(pi)x/n]^2}}dx[x:0->∞]
=${sin[(pi)x]^2/[(pi)x]^2}dx

　S0=${sin[(pi)x]^2}dx[x:0->1]=1　●三角関数の積分

分子は、x=1,2,3,… で 0 になる、周期関数である。分母は、単調増加関数である。次のように近似すると、

[�C x=1〜2 の面積]=S0/[1.5(pi)]^2=S0*{4/(pi)^2}/9~0.045*S0
[�C x=2〜3 の面積]=S0/[2.5(pi)]^2=S0*{4/(pi)^2}/25~0.016*S0
[�C x=3〜4 の面積]=S0/[3.5(pi)]^2=S0*{4/(pi)^2}/49~0.008*S0

●バーゼル問題　無限級数の和

[�C x=1〜∞ の面積]=S0*{4/(pi)^2}*(1/9+1/25+1/49+…)
=S0*{4/(pi)^2}*[(pi)^2/8-1]~0.1

[�C x=0〜∞ の面積]~0.6

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