◎ 等比数列の無限に続く数列の和　無限級数

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

■ 等比数列(初項1　公比r)　第 n 項までの和 S(n)　not[r=1]

　S(n)=1+r+r^2+r^3+…+r^n

　1+r*S(n)=1+r+r^2+r^3+…+r^n+r^(n+1)=S(n)+r^(n+1)

　1+r*S(n)=S(n)+r^(n+1)

　(1-r)*S(n)=1-r^(n+1)

　S(n)=[1-r^(n+1)]/(1-r)

■ さらに、n->∞ を考えよう。|r|<1 で　r^(n+1) ->0　⇒

　無限級数の和 S=lim[n->∞]{S(n)}=1/(1-r) ★ ただし |r|<1

{別解}|r|<1 のとき　S=1+r+r^2+r^3+…　と書ける。

|r|>1 のとき、発散してしまうから、そのようには書けない。

|r|<1 のとき　S=1+r+r^2+r^3+…

　r*S=r+r^2+r^3+…=S-1

　S=1/(1-r)

　1+r+r^2+r^3+…=1/(1-r) ★ ただし |r|<1

※1+3+3^2+3^3+…=1/(1-3)=-1/2 などとできない{!}

■ |r.|>1 のとき　1+(1/r.)+(1/r.)^2+(1/r.)^3+…
=1/[1-(1/r.)]
=r./(r.-1) ★ ただし |r.|>1

■ |r|<1　a+a*r+a*r^2+a*r^3+…=a*(1+r+r^2+r^3+…)=a/(1-r) ★

■ |r|<1　1+r+r^2+r^3+…=1/(1-r)　r で微分すると、

　左辺=1+2*r+3*r^2+…　右辺=+1/(1-r)^2

r を掛けると、

　左辺=r+2*r^2+3*r^3+…　右辺=r/(1-r)^2

　r+2*r^2+3*r^3+4*r^4+…=r/(1-r)^2 ★ ただし |r|<1

★ S=1-1/2+1/4-1/8+1/16-…　初項 1　公比 -1/2 の無限等比級数だから、

　S=1/[1-(-1/2)]=2/3

★ (1/2)+2/2^2+3*/2^3+4/2^4+5/2^5+6/2^6+…
=0.5+0.5+0.375+0.25+0.16+0.09+…~1.875
=(1/2)/(1/2)^2=2

★ (1/2)-2/2^2+3*/2^3-4/2^4+5/2^5-6/2^6+…
=0.5-0.5+0.375-0.25+0.16-0.09+…~0.195
=-[-(1/2)+2/2^2-3*/2^3+4/2^4-5/2^5+6/2^6-…]
=-[-(1/2)/(1+1/2)^2
=2/9~0.222

◆ S=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…=ln(2)=0.693147…

■ S=(1-1/2)+(1/3-1/4)+(1/5-1/6)+…=1/2+1/12+1/30+1/56+…

　S < (1/2)*(1+1/2+1/4+1/8+…)=(1/2)*[1/(1-1/2)]=1

≫　1/2 < S < 1 ★.

■�@ 1+1/2+1/3+1/4+…=∞

�A 1-1/2+1/3-1/4+…=0.693147…=ln(2)

�B 1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+…=e=Napier constant

�C 1-1/3+1/5-1/7+…=Pi/4

{無限大、対数、ネピエ数、円周率と、いろいろ出てくるなあ!}

{証明�C}arctan(x)=${1/(x^2+1)}dx

1/(x^2+1)=1-x^2+x^4-x^6+　積分すると、

　arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+…

x=1 を代入して、Pi/4=1-1/3+1/5-1/7+…　』

{注}tan(x)=x+x^3/3+x^5/5+…

　★　無限級数の和　★