☆お勉強しようUz☆ 数学.関数

2016/8-2012/1 Yuji.W

三角関数の積分

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 .

{復習}三角関数の公式

「加法定理」

@ sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)

A sin(a-b)=sin(a)*cos(b)-cos(a)*sin(b)

B cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)

C cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)

「積~和」

@ sin(a)*cos(b)=(1/2)*[sin(a+b)+sin(a-b)]

A cos(a)*sin(b)=(1/2)*[sin(a+b)-sin(a-b)]

B cos(a)*cos(b)=(1/2)*[cos(a+b)+cos(a-b)]

C sin(a)*sin(b)=(1/2)*[cos(a-b)-cos(a+b)]

「和~積」

@ sin(x)+sin(y)=2*sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]

A sin(x)-sin(y)=2*cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]

B cos(x)+cos(y)=2*cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]

C cos(x)-cos(y)=-2*sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]

「倍角」 sin(2*a)=2*sin(a)*cos(a)

 cos(2*a)=cos(a)^2-sin(a)^2=2*cos(a)^2-1=1-2*sin(a)^2

「半角」 sin(a/2)^2=[1-cos(a)]/2 cos(a/2)^2=[1+cos(a)]/2

● 1+tan(x)^2=1/cos(x)^2

☆積分=面積 ?☆

◎ 積分て何? 面積を表す? sin(x)の積分 -cos(x) 面積なのにマイナス?
{ずーと謎だった!2013/12}

■ 不定積分と定積分を区別しなくてはいけない。面積を表すのは、定積分の方。 .

 ${sin(x)*dx}=-cos(x) は、不定積分 正確には ${sin(x)*dx}=-cos(x)+積分定数

不定積分は、面積を表しているわけではない。

面積を表したいのなら、定積分を使って、例えば、

 ${sin(x)*dx}[x:0~Pi/2]=[-cos(x)][x:0~Pi/2]=-cos(Pi/2)+cos(0)=1

☆sin(a*x),sin(a*x)^2の積分☆

■ 不定積分 ${sin(x)*dx}=-cos(x)+積分定数 .

 ${sin(a*x)*dx}=-cos(a*x)/a+積分定数 .

■ 定積分 ${sin(x)*dx}[x:0~Pi/2]=[-cos(x)][x:0~Pi/2]=-cos(Pi/2)+cos(0)=1 .

 {比較} △[底辺 Pi/2 高さ 1]=Pi/4

 ${sin(a*x)*dx}[x:0~Pi/(2*a)]
=[-cos(a*x)/a][x:0~Pi/(2*a)]
=-cos(Pi/2)/a+cos(0)/a
=1/a
. x軸方向にだけ (1/a)倍 縮小した形

 {比較} △[底辺 Pi/(2*a) 高さ 1]=(Pi/4)*(1/a)

{ひとつひとつていねいに計算すると理解度が増す!2015/12}


◎ sin(x)^2=[1-cos(2*x)]/2 を使って、簡単に積分できる

■ 不定積分 ${sin(x)^2*dx}
=(1/2)*${[1-cos(2*x)]*dx}
=(1/2)*[x-sin(2*x)/2]+積分定数
=x/2-sin(2*x)/4+積分定数
.

 ${sin(a*x)^2*dx}
=(1/2)*${[1-cos(2*a*x)]*dx}
=(1/2)*[x-sin(2*a*x)/(2*a)]+積分定数
=x/2-sin(2*a*x)/(4*a)+積分定数
.

{別解} ${sin(a*x)^2*dx} a*x=X と置く a*dx=dX

 ${sin(a*x)^2*dx}
=(1/a)*${sin(X)^2*dX}
=(1/a)*[X/2-sin(2*X)/4]+積分定数
=(1/a)*[a*x/2-sin(2*a*x)/4]+積分定数
=x/2-sin(2*a*x)/(4*a)+積分定数 第1項が x/(2*a) にならない{!}

■ ${sin(a*x)^2*dx}=${dx*[1-cos(2*a*x)]/2}=x/2-sin(2*a*x)/(4*a)+C

☆sin(a*x),sin(a*x)^2の平均☆

■ 平均値 Avg{f(x)}[x:x1~x2]=${f(x)*dx}[x:x1~x2]/(x2-x1)

■ sin(x) 周期関数 周期 2Pi 最大値 1 最小値 -1

1周期分 ${sin(x)*dx}[x:0~2Pi]=0

(1/4)周期 0<x<Pi/2 において sin(x) の最小値 0 最大値 1 平均 1/2 ?

 Avg{sin(x)}[x:0~Pi/2]
=${sin(x)*dx}[x:0~Pi/2]/(Pi/2-0)
=1/(Pi/2)
=2/Pi
.
~0.64

■ sin(a*x)〔a:正の定数〕

(1/4)周期 0<x<Pi/(2*a) で 最小値 0 最大値 1 平均 1/2 ?

 Avg{sin(a*x)}[x:0~Pi/(2*a)]
=${sin(a*x)*dx}[x:0~Pi/(2*a)]/[Pi/(2*a)-0]
=(1/a)/[Pi/(2*a)]
=2/Pi
.
~0.64

■ sin(x)^2 周期関数 周期 Pi 最大値 1 最小値 0 平均 1/2 ?

 ${sin(x)^2*dx}[x:0~Pi]
=[x/2-sin(2*x)/4][x:0~Pi]
=[Pi/2-sin(2*Pi)/4]-[0/2-sin(2*0)/4]
=Pi/2

 Avg{sin(x)^2}[x:0~Pi]
=${sin(x)^2*dx}[x:0~Pi]/(Pi-0)
=(Pi/2)/Pi
=1/2
.

{別解} Avg{sin(x)^2}[x:0~Pi]
=Avg{[1-cos(2*x)]/2}[x:0~Pi]
=Avg{1/2}[x:0~Pi]-Avg{cos(2*x)/2}[x:0~Pi]
=1/2-0
=1/2
.三角関数の部分は一周期で相殺されて 0 になり、定数項 1/2 の部分だけ残る

■ sin(a*x)^2〔a:正の定数〕周期関数 周期 Pi/a 最大値 1 最小値 0 平均 1/2 ?

 ${sin(a*x)^2*dx}[x:0~Pi/a]
=[x/2-sin(2*a*x)/(4*a)][x:0~Pi/a]
=[Pi/(2*a)-sin(2Pi)/(4*a)]-[0/2-sin(0)/(4*a)]
=Pi/(2*a)

 Avg{sin(a*x)^2}[x:0~Pi/a]
=${sin(a*x)^2*dx}[x:0~Pi/a]/(Pi/a-0)
=[Pi/(2*a)]/(Pi/a)
=1/2
.

■ Avg{sin(a*x)^2}[x:0~Pi/a]=1/2

☆三角関数の不定積分☆

■ ${sin(x)*dx}=-cos(x) ${cos(x)*dx}=sin(x)

■ ${sin(a*x)*dx}=-cos(a*x)/a ${cos(a*x)*dx}=sin(a*x)/a

■ ${sin(x)^2*dx}=(1/2)*${[1-cos(2*x)*dx}=x/2-sin(2*x)/4

 ${cos(x)^2*dx}=(1/2)*${[1+cos(2*x)*dx}=x/2+sin(2*x)/4

■ ${sin(a*x)^2*dx}=(1/2)*${[1-cos(2*a*x)*dx}=x/2-sin(2*a*x)/(4*a)

 ${cos(a*x)^2*dx}=(1/2)*${[1+cos(2*x)*dx}=x/2+sin(2*a*x)/(4*a)

◇ a+b=s a-b=d

■ @ ${sin(a*x)*cos(b*x)*dx}
=(1/2)*${[sin(s*x)+sin(d*x)]*dx}=-cos(s*x)/(2*s)-cos(d*x)/(2*d)

A ${cos(a*x)*sin(b*x)*dx}=-cos(s*x)/(2*s)+cos(d*x)/(2*d)

B ${cos(a*x)*cos(b*x)*dx}=sin(s*x)/(2*s)+sin(d*x)/(2*d)

C ${sin(a*x)*sin(b*x)*dx}=-sin(s*x)/(2*s)+sin(d*x)/(2*d)

■ ${sin(a*x)*cos(a*x)*dx}=(1/2)*${sin(2*a*x)*dx}=-cos(2*a*x)/(4*a)

※ ${sin(a*x)*cos(a*x)*dx}=+sin(a*x)^2/(2*a) と表す事もできる(積分定数の違いだけになる)

☆一周期分の定積分☆

◆ m,n:0でない整数

■ ${sin(x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0

 ${cos(x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0

■ ${sin(m*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=-cos(m*Pi)/m+cos(m*Pi)/m=0

 ${cos(m*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=sin(m*Pi)/m+sin(m*Pi)/m=2*sin(m*Pi)/m=0

■ ${sin(x)^2*dx}[x:-Pi~Pi]=[Pi/2-sin(2*Pi)/4]-[-Pi/2+sin(2*Pi)/4]=Pi

 ${cos(x)^2*dx}[x:-Pi~Pi]=Pi

■ ${sin(m*x)^2*dx}[x:-Pi~Pi]=Pi

 ${cos(m*x)^2*dx}[x:-Pi~Pi]=Pi

◆ m+n=s m-n=d〔m≠n〕 m,n,s,d:整数

■ @ ${sin(m*x)*cos(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0

A ${cos(m*x)*sin(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0

B ${cos(m*x)*cos(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=sin(s*Pi)/s-sin(d*Pi)/d=0

C ${sin(m*x)*sin(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0

{ひとつひとつ計算するとおもしろい!2015/10}

『三角関数の一周期分の定積分』 2015/10

◆ m,n:0でない整数

■ ${sin(m*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0 ${cos(m*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0

■ ${sin(m*x)^2*dx}[x:-Pi~Pi]=Pi ${cos(m*x)^2*dx}[x:-Pi~Pi]=Pi

◆ m+n=s m-n=d〔m≠n〕 m,n,s,d:整数

■ 以下の関数の [x:-Pi~Pi] の定積分は、すべて 0

@ sin(m*x)*cos(n*x) A cos(m*x)*cos(n*x) B sin(m*x)*sin(n*x)

☆tan(x) 1/tan(x) の積分☆

■ tan(x)=sin(x)/cos(x) cos(x)=t と置けば、-sin(x)*dx=dt

 ${tan(x)*dx}=-${1/t}dt=-ln|cos(x)|

{計算例}面積=${tan(x)*dx}[x:0~Pi/4]=-ln[root(2)/2]~+0.3

▲   △[Pi/4 & 1]=Pi/8~0.4

■ 1/tan(x)=cos(x)/sin(x) sin(x)=t と置けば、cos(x)*dx=dt

 ${1/tan(x)*dx}=${1/t}dt=ln|sin(x)|

{計算例}面積=${1/tan(x)*dx}[x:Pi/4~Pi/2]=-ln[root(2)/2]~+0.3

▲   tan(x) と 1/tan(x) は、Pi/4 を軸として対称 ただし、0〜Pi/2 で。

{証明}tan[x+Pi/4]*tan[-x+Pi/4]
=sin[x+Pi/4]*sin[-x+Pi/4]/{cos[x+Pi/4]*cos[-x+Pi/4]}
={cos(2x)-cos[Pi/2]}/{cos[Pi/2]+cos(2x)}
=cos(2x)/cos(2x)=1 ⇒ tan[x+Pi/4]=1/tan[-x+Pi/4] 』

☆1/cos(x) 1/sin(x) の積分☆

■ 1/cos(x)=cos(x)/cos(x)^2=cos(x)/(1-sin(x)^2)

sin(x)=t と置くと、cos(x)*dx=dt だから、

 ${1/cos(x)*dx}=${1/[1-t^2]}dt=(1/2)*${1/(1-t)+1/(1+t)*dx}
=(1/2)*ln[(1+t)/(1-t)]=(1/2)*ln[(1+sin(x))/(1-sin(x))]〔

{計算例}面積=${1/cos(x)*dx}[x:0~Pi/4]=(1/2)*ln[3+2*root(2)]~0.9

▲  □[1 & Pi/4]=Pi/4~0.8

■ 同様にして、

 ${1/sin(x)}*dx}=(1/2)*ln[(1-cos(x))/(1+cos(x))]〔

{計算例}面積=${1/sin(x)*dx}[x:Pi/4~Pi/2]=(1/2)*ln[3+2*root(2)]~0.9

● ${dx/cos(x)}=(1/2)*ln[(1+sin(x))/(1-sin(x))]

● ${dx/sin(x)}=(1/2)*ln[(1-cos(x))/(1+cos(x))]

☆1/cos(x)^2 の積分☆

■ ${[1/cos(x)^2]*dx}=tan(x)

{∵}tan(x)'
=(sin(x)/cos(x))'
=(sin(x)'*cos(x)-sin(x)*cos(x)')/cos(x)^2
=(cos(x)^2+sin(x)^2)/cos(x)^2
=1/cos(x)^2

■ ${[1/sin(x)^2]*dx} {t=Pi/2-x と置く}

sin[Pi/2-x]=cos(t) dt=-dx

■ ${[1/sin(x)^2]*dx}=-tan[Pi/2-x]=-1/tan(x)

☆tan(x/2)=t と置く☆

● 1+tan(x)^2=1/cos(x)^2

■ tan(x/2)=t と置くと、

 dt=(1/2)/cos(x/2)^2*dx=(1/2)(1+t^2)*dx
 2t/(1+t^2)=2*sin(x/2)*cos(x/2)=sin(x)
 (1-t^2)/(1+t^2)=cos(x/2)^2-sin(x/2)^2=cos(x)

☆sin(x)/x☆


▲   横軸の単位は Pi

■ ${(sin(x)/x)*dx}[x:0~∞]=Pi/2 ? {複素積分を使うらしい!}

☆三角関数の積分☆

■ ${1/sin(x)*dx}=(1/2)*ln{[1+cos(x)]/[1-cos(x)]}

■ ${1/cos(x)*dx}=(1/2)*ln{[1-sin(x)]/[1+sin(x)]}

■ ${1/tan(x)*dx}=ln|sin(x)|

■ ${root[1+cos(x)]*dx}=2*root[2]*|sin(x/2)|

■ ${root[1-cos(x)]*dx}=-2*root[2]*|cos(x/2)|

■ ${root[1+sin(x)]*dx} x=Pi/2-t とおく。

■ ${[1/cos(x)^2]*dx}=tan(x)

■ ${[1/sin(x)^2]*dx}=-1/tan(x)

■ ${sin(x)^3*dx}=(1/3)*cos(x)^3-cos(x)

■ ${cos(x)^3*dx}=-(1/3)*sin(x)^3+sin(x)

  三角関数の積分  

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