☆ 三角関数の積分 ☆ |
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◎ ★_ |
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【ベクトル】
ベクトル <A> 内積
* 外積 # |<A>|=A <A>/A=<Au> |
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〓 三角関数の公式 〓 . 「加法定理」 @ sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b) A sin(a-b)=sin(a)*cos(b)-cos(a)*sin(b) B cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b) C cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b) 「積~和」 @ sin(a)*cos(b)=(1/2)*[sin(a+b)+sin(a-b)] A cos(a)*sin(b)=(1/2)*[sin(a+b)-sin(a-b)] B cos(a)*cos(b)=(1/2)*[cos(a+b)+cos(a-b)] C sin(a)*sin(b)=(1/2)*[cos(a-b)-cos(a+b)] 「和~積」 @ sin(x)+sin(y)=2*sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2] A sin(x)-sin(y)=2*cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2] B cos(x)+cos(y)=2*cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2] C cos(x)-cos(y)=-2*sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2] 「倍角」 sin(2*a)=2*sin(a)*cos(a) cos(2*a)=cos(a)^2-sin(a)^2=2*cos(a)^2-1=1-2*sin(a)^2 「半角」 sin(a/2)^2=[1-cos(a)]/2 cos(a/2)^2=[1+cos(a)]/2 ● 1+tan(x)^2=1/cos(x)^2 |
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〓 積分=面積 ? 〓 .
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積分て何? 面積を表す? sin(x)の積分 -cos(x) 面積なのにマイナス? ■ 不定積分と定積分を区別しなくてはいけない。面積を表すのは、定積分の方。 ★. ${sin(x)*dx}=-cos(x) は、不定積分 正確には ${sin(x)*dx}=-cos(x)+積分定数 不定積分は、面積を表しているわけではない。 面積を表したいのなら、定積分を使って、例えば、 ${sin(x)*dx}[x:0~Pi/2]=[-cos(x)][x:0~Pi/2]=-cos(Pi/2)+cos(0)=1 |
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〓 sin(a*x),sin(a*x)^2の積分 〓 . ■ 不定積分 ${sin(x)*dx}=-cos(x)+積分定数 ★. ${sin(a*x)*dx}=-cos(a*x)/a+積分定数 ★. ■ 定積分 ${sin(x)*dx}[x:0~Pi/2]=[-cos(x)][x:0~Pi/2]=-cos(Pi/2)+cos(0)=1 ★. {比較} △[底辺 Pi/2 高さ 1]=Pi/4 ${sin(a*x)*dx}[x:0~Pi/(2*a)] {比較} △[底辺 Pi/(2*a) 高さ 1]=(Pi/4)*(1/a) {ひとつひとつていねいに計算すると理解度が増す!2015/12} ◎ sin(x)^2=[1-cos(2*x)]/2 を使って、簡単に積分できる ■
不定積分 ${sin(x)^2*dx} ${sin(a*x)^2*dx} {別解} ${sin(a*x)^2*dx} a*x=X と置く a*dx=dX ${sin(a*x)^2*dx}
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〓 sin(a*x),sin(a*x)^2の平均 〓 .
■ sin(x) 周期関数 周期 2Pi 最大値 1 最小値 -1 1周期分 ${sin(x)*dx}[x:0~2Pi]=0 (1/4)周期 0<x<Pi/2 において sin(x) の最小値 0 最大値 1 平均 1/2 ? Avg{sin(x)}[x:0~Pi/2] ■ sin(a*x)〔a:正の定数〕 (1/4)周期 0<x<Pi/(2*a) で 最小値 0 最大値 1 平均 1/2 ? Avg{sin(a*x)}[x:0~Pi/(2*a)] ■ sin(x)^2 周期関数 周期 Pi 最大値 1 最小値 0 平均 1/2 ? ${sin(x)^2*dx}[x:0~Pi] Avg{sin(x)^2}[x:0~Pi] {別解} Avg{sin(x)^2}[x:0~Pi] ■ sin(a*x)^2〔a:正の定数〕周期関数 周期 Pi/a 最大値 1 最小値 0 平均 1/2 ? ${sin(a*x)^2*dx}[x:0~Pi/a] Avg{sin(a*x)^2}[x:0~Pi/a]
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〓 三角関数の不定積分 〓 . ■ ${sin(x)*dx}=-cos(x) ${cos(x)*dx}=sin(x) ■ ${sin(a*x)*dx}=-cos(a*x)/a ${cos(a*x)*dx}=sin(a*x)/a ■ ${sin(x)^2*dx}=(1/2)*${[1-cos(2*x)*dx}=x/2-sin(2*x)/4 ${cos(x)^2*dx}=(1/2)*${[1+cos(2*x).]*dx}=x/2+sin(2*x)/4 ■ ${sin(a*x)^2*dx}=(1/2)*${[1-cos(2*a*x).]*dx}=x/2-sin(2*a*x)/(4*a) ${cos(a*x)^2*dx}=(1/2)*${[1+cos(2*x).]*dx}=x/2+sin(2*a*x)/(4*a) ◇ a+b=s a-b=d ■
@ ${sin(a*x)*cos(b*x)*dx} A ${cos(a*x)*sin(b*x)*dx}=-cos(s*x)/(2*s)+cos(d*x)/(2*d) B ${cos(a*x)*cos(b*x)*dx}=sin(s*x)/(2*s)+sin(d*x)/(2*d) C ${sin(a*x)*sin(b*x)*dx}=-sin(s*x)/(2*s)+sin(d*x)/(2*d) ■ ${sin(a*x)*cos(a*x)*dx}=(1/2)*${sin(2*a*x)*dx}=-cos(2*a*x)/(4*a) ※ ${sin(a*x)*cos(a*x)*dx}=+sin(a*x)^2/(2*a) と表す事もできる(積分定数の違いだけになる) |
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〓 三角関数の面積 〓 . ◆ 三角形[底辺 a 高さ h]の面積 △(a h)=(1/2)*a*h ■ △(1 Pi/2)=Pi/4~0.79 ${cos(x)*dx}[x:0~Pi/2]=[sin(x)][x:0~Pi/2]=1
${cos(x)^2*dx}[x:0~Pi/2] {まとめ} △(1 Pi/2)=Pi/4~0.79 ${cos(x)*dx}[x:0~Pi/2]=1 ${cos(x)^2*dx}[x:0~Pi/2]=Pi/4~0.79 |
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〓 一周期分の定積分 〓 . ◆ m,n:0でない整数 ■ ${sin(x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0 ${cos(x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0 ■ ${sin(m*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=-cos(m*Pi)/m+cos(m*Pi)/m=0 ${cos(m*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=sin(m*Pi)/m+sin(m*Pi)/m=2*sin(m*Pi)/m=0 ■ ${sin(x)^2*dx}[x:-Pi~Pi]=[Pi/2-sin(2*Pi)/4]-[-Pi/2+sin(2*Pi)/4]=Pi ${cos(x)^2*dx}[x:-Pi~Pi]=Pi ■ ${sin(m*x)^2*dx}[x:-Pi~Pi]=Pi ${cos(m*x)^2*dx}[x:-Pi~Pi]=Pi ◆ m+n=s m-n=d〔m≠n〕 m,n,s,d:整数 ■ @ ${sin(m*x)*cos(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0 A ${cos(m*x)*sin(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0 B ${cos(m*x)*cos(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=sin(s*Pi)/s-sin(d*Pi)/d=0 C ${sin(m*x)*sin(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0 {ひとつひとつ計算するとおもしろい!2015/10}
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〓 1/cos(x)^2 の積分 〓 . ■ ${[1/cos(x)^2]*dx}=tan(x) {∵}tan(x)' ■ ${[1/sin(x)^2]*dx} {t=Pi/2-x と置く} sin[Pi/2-x]=cos(t) dt=-dx ■ ${[1/sin(x)^2]*dx}=-tan[Pi/2-x]=-1/tan(x) |
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〓 tan(x/2)=t と置く 〓 . ● 1+tan(x)^2=1/cos(x)^2 ■ tan(x/2)=t と置くと、 dt=(1/2)/cos(x/2)^2*dx=(1/2)(1+t^2)*dx |
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〓 sin(x)/x 〓
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■ ${(sin(x)/x)*dx}[x:0~∞]=Pi/2 ? {複素積分を使うらしい!} |
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〓 三角関数の積分 〓 . ■ ${root[1+cos(x)]*dx}=2*root[2]*|sin(x/2)| ■ ${root[1-cos(x)]*dx}=-2*root[2]*|cos(x/2)| ■ ${root[1+sin(x)]*dx} x=Pi/2-t とおく。 ■ ${[1/cos(x)^2]*dx}=tan(x) ■ ${[1/sin(x)^2]*dx}=-1/tan(x) ■ ${sin(x)^3*dx}=(1/3)*cos(x)^3-cos(x) ■ ${cos(x)^3*dx}=-(1/3)*sin(x)^3+sin(x) |
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☆ お勉強しよう 2018-2011 Yuji W. ☆ |