☆お勉強しようUz☆ 物理.統計力学

2016/4-2015/5 Yuji.W

☆気体の圧力*体積とエネルギー☆

◎ 気体にニュートン力学を適用する 圧力*体積 ∝ 内部エネルギー

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

{復習}気体の内部エネルギーと並進運動エネルギー

『気体の内部エネルギーと並進運動エネルギー』 2016/6

Kt/U

Γ

単原子分子

1

5/3

2原子分子

3/5

7/5

3原子分子

1/2

4/3

Kt/U=(3/2)*(Γ-1)

☆地球上の大気☆

■ 地球の地表面上での大気の主な成分の質量と、その体積成分比

窒素分子 28.0134_g/mol 78% 酸素分子 31.9988_g/mol 21% アルゴン 39.948_g/mol 1%

 平均分子量
=28.0134*0.78+31.9988*0.21+39.948*0.01
=21.85045+6.71975+0.39948
=28.96968_g/mol

≫ 地球大気の平均分子量=28.96968_g/mol .

■ 理想気体 P=1_atm=101325_Pa T=273.15_K のとき 22.4140_l/mol であったから、

 大気の密度=28.96968/22.4140~1.29248_g/l 〔1atm,0℃〕 .

◇気体の圧力と並進運動エネルギー◇

◎ 気体を袋につめれば、外側に向かって広がろうとし、外部に圧力を及ぼす。気体分子1個1個を考えるのだが、それぞれの気体分子の速さはわからない。平均値を使って、大量の気体分子の影響を考える。

気体の圧力と気体分子の並進運動エネルギーの関係 ?

■ 多数の分子が壁に衝突することで、その壁に力を及ぼす。

 圧力=単位面積当たりの力 @

運動方程式より 力=運動量の時間的変化の割合

運動量の時間的変化の割合が時間に依らず一定の値ならば、

 力=単位時間当たりの運動量の変化量 A

@Aより 圧力=単位面積当たり&単位時間当たりの運動量の変化量

運動量保存より 壁の運動量の変化量=気体分子の運動量の変化量 だから、

 気体の圧力=単位面積当たり&単位時間当たりの気体分子の運動量の変化量 .{核心!}


◆ 1次元の場合を考える

気体分子の動く方向:x軸方向の正の方向か負の方向 動く速さ(平均値) v 分子1個の質量 m 気体分子1個の並進運動エネルギー(平均値) kt=(1/2)*m*v^2

1秒間に衝突する分子の数 \n 数密度 n 壁にかかる力圧力 P

■ 単位断面積のピストンに気体を詰める。

気体分子が、ピストンの壁に完全弾性衝突し、跳ね返るときの運動量の変化 2*m*v

 P=(2*m*v)*\n

ここで 単位時間に壁に衝突する可能性のある分子の数 n*v そのうち壁に方に向かうのは半分だから \n=n*v/2

 P=(2*m*v)*(n*v/2)=n*m*v^2=(1/2)*n*kt .圧力 ∝ 数密度*運動エネルギー


◆ 3次元 気体分子の速度の2乗の平均 @(v^2) kt=(1/2)*m*@(v^2)

速さの成分の2乗の平均 @(vx^2),@(vy^2),@(vz^2)

 @(vx^2)=@(vy^2)=@(vz^2) @(v^2)=@(vx^2)+@(vy^2)+@(vz^2)

 @(vx^2)=@(vy^2)=@(vz^2)=@(v^2)/3

■ P=n*m*@(vx^2)=n*m*@(v^2)/3=n*(2*kt)/3=(2/3)*n*kt .

 n*kt=単位体積当たりの並進運動エネルギー だから、

 P=(2/3)*(単位体積当たりの並進運動エネルギー)

■ 圧力 P 体積 V 全並進運動エネルギー Kt を使って表すと、

 P*V=(2/3)*n*V*kt=(2/3)*Kt .

☆理想気体の状態方程式☆

◆ 理想気体 圧力 P 体積 V 分子数 N 絶対温度 T

■ P_Pa V_m^3 分子数 N_個 絶対温度 T_K

理想気体の状態方程式 P*V=N*kB*T .N_個

 ボルツマン定数 kB=(1.380 6488)*Ten(-23)_J/K=(8.617 3324)*Ten(-5)_eV/K

※ ボルツマン(1844-1906) 江戸時代~明治時代{!}

■ 分子数を [個] から [モル] に変えると

 アボガドロ数 Na 1モル=Na個 Na=6.022*Ten(23)

理想気体の状態方程式 P*V=(N*Na)*kB*T

ここで 気体定数 R=Na*kB=8.31_J/(K*mol) と置いて、

 P*V=N*R*T .N_モル

■ 温度 {定義} 摂氏温度=絶対温度-273.15

圧力 パスカル 1_Pa=1_N/m^2 ヘクトパスカル 1_hPa=100_Pa

{定義} 気圧 1_atm=101325_Pa=1.003_kg重/cm^2

■ P=1_atm=101325_Pa T=273.15_K のとき、

 数密度 n
=101325/[(1.380 6488)*Ten(-23)*273.15]
~2.686781*Ten(25)_個/m^3
.
~2.686781*Ten(25)/(6.022 14129)*Ten(23)
~44.6150_mol/m^3
.

 1/44.6150=0.0224140_m^3/mol=22.4140_l/mol .

▲ n*Na=44.6150*[6.022*Ten(23)]~2.69*Ten(25)_個/m^3

 分子1個当たりの気体の体積=1/(n*Na)=3.72*Ten(-26)_m^3

◇温度とエネルギー◇

◆ 気体 全運動エネルギー Kt 内部エネルギー U

■【 温度と全運動エネルギー 】

気体分子運動論より P*V=(2/3)*Kt

状態方程式 P*V=N*KB*T より、

 Kt=(3/2)*N*kB*T .

■【 温度と内部エネルギー 】

Kt/U=(3/2)*(Γ-1) だから、

 U=[(2/3)/(Γ-1)]*Kt=[(2/3)/(Γ-1)]*(3/2)*N*kB*T=N*kB*T/(Γ-1) .

ただし、

単原子分子 Kt/U=1 Γ=5/3 Γ-1=2/3 1/(Γ-1)=3/2
2原子分子 Kt/U=3/5 Γ=7/5 Γ-1=2/5 1/(Γ-1)=5/2
3原子分子、光子 Kt/U=1/2 Γ=4/3 Γ-1=1/3 1/(Γ-1)=3

{まとめ} P*V=N*kB*T=(2/3)*kB=(Γ-1)*U .

『温度とエネルギー』 2016/5

◆ 理想気体 分子数 N 圧力 P 体積 V 温度 T 内部エネルギー U

● 単原子分子 Γ=5/3 2原子分子 Γ=7/5 3原子分子、光子 Γ=4/3

■ P*V=N*kB*T=(Γ-1)*U

◇運動エネルギーと温度◇

● ボルツマン定数 kB
=(1.380 6488)*Ten(-23)_J/K=(8.617 3324)*Ten(-5)_eV/K

気体定数 R=kB*Na=8.314_J/mol/K

T=300_K で 300*kB~4.14*Ten(-21)_J/個 300*R~2490_J/mol .

◆ 理想気体[P,V,N,T] 数密度 n=N/V 分子1個の質量 m 分子1個の並進運動エネルギーの平均 kt 分子の動く速さ v その2乗の平均 @(v^2)

■ 気体分子運動論より P=(2/3)*n*kt ※ 運動方程式より導いた

理想気体の状態方程式 P=n*kB*T ※ 観測的事実

以上2式より kt=(3/2)*kB*T .気体の種類に依らない

■ kt=(1/2)*m*@(v^2) @(v^2)=2*kt/m=3*kB*T/m

 root[@(v^2)]=root(3*kB*T/m) .


★ T=300_K kt=(3/2)*[(1.380 6488)*Ten(-23)]*300=6.21*Ten(-21)_J/個 .

1モルで [6.21*Ten(-21)]*[6.02*Ten(23)]=3.74*Ten(3)_J/mol=3.74_kJ/mol .

窒素分子 0.028_kg/mol T=300

 root[@(v^2)]=root(3*2490/0.028)~root(266785)~516_m/sec .

水素分子 0.002kg/mol

 root[@(v^2)]
=516*root(0.028/0.002)
=516*root(14)~516*4.12~2130_m/sec
.

地球の重力からの脱出速度 11_km/sec 水素分子の一部は、脱出速度を上まわり、地球を脱出する。

◇気球◇

◎ 大きな袋に、空気より軽い気体を入れれば、浮力が重さより大きくなり、浮くことができる。方法は2つある。

@ 空気より軽い気体、ヘリウムや水素などを入れる。

A 空気を暖める。

以下、方法Aについて考える。

◆ 空気分子の1モル当たりの平均の質量 m=29_g/mol

気球の外の空気の状態 圧力 P 数密度 n_/mol 温度 T

気球内の空気の状態 圧力 P 数密度 \n_/mol 温度 \T 体積 V

■ 気体の状態方程式 空気 P=n*R*T  気球内 P=\n*R*\T

 浮力=n*m*V*g=[P/(R*T)]*m*V*g=(P*V*m*g/R)/T

 気球内の空気の重さ=\n*m*V*g=(P*V*m*g/R)/\T

 気球が浮き上がる力=(P*m*g/R)*V*(1/T-1/\T)

★ P=1_atm=101325_Pa m=0.029_kg/mol R=8.31_J/(K*mol)

 P*m*g/R=101325*0.029*9.81/8.31=3.47*Ten(4)_N*(K/m^3)

 気球が浮き上がる力=3.47*Ten(4)*V*(1/T-1/\T)_N .

さらに V=1000_m^3 T=300 \T=330 とすれば、

 気球が浮き上がる力
=3.47*Ten(4)*1000*(1/300-1/330)
=3.47*Ten(4)*1000*[3*Ten(-4)]
~Ten(4)_N
~1000_kg重 
.

☆液体酸素☆

■ 酸素分子の重さ 31.9988_g/mol

液体酸素 1.141_kg/l ※ 一般に、圧力や温度に依らない

 液体酸素 1l の量=1.141/[31.9988*Ten(-3)]=35.66_mol

 液体酸素 1l が気体になった時の体積=22.4140*35.66~799_l〔1atm,0℃〕 .

■ 気体〔1atm,0℃〕 22.4140_l

 気体酸素分子の密度=31.9988/22.4140~1.428_g/l〔1atm,0℃〕 .

  気体の圧力*体積とエネルギー  

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