物理 力学 2018/9-2012 Yuji.W
☆ 仕事,仕事率 ☆
◎ 仕事 仕事率 エネルギー ★_
〓 仕事と運動エネルギー、仕事率 〓
◇ 時間微分 '
◆ 1次元運動 質量 m 位置 x(t) 速さ v(t)=x(t)' 力 F(x)
仕事 W=${F(x)*dx} 仕事率 Pw=W' 運動エネルギー K=(1/2)*m*v^2
■ dx=x'*dt=v*dt だから、
W=${F(x)*dx}=${F(x)*v*dt}
ここで 運動方程式 F(x)=m*v' を使えば、
W=${F(x)*v*dt}=m*${v*v'*dt}=(1/2)*m*${(v^2)'*dt}
W'=(1/2)*m*(v^2)'
一方 K'=(1/2)*m*(v^2)' だから W'=K'
W=K+積分定数 ★_
また Pw=W'=K'=(1/2)*m*(v^2)'=m*v*v'=F*v
》Pw=F*v ★_
〓 {計算例}仕事,仕事率 〓
□ ファインマン物理学問題集1 p46 問題10.8(a)
◆ 物体 質量 m=6_kg x軸上の運動 摩擦なし 力 F(x)=(3+4*x)_N
x=0 で静止
x
まで動いたとき 力がした仕事 W(x) 速さ v(x) 加速度 Ac(x)
運動エネルギー K(x) 仕事率 Pw(x)
W(0)=0 v(0)=0 K(0)=0
■ W(3)
=${F*dx}[x:0~3]=${(3+4*x)*dx}[x:0~3]=[3*x+2*x^2][x:0~3]=27_J
K(3)=W(3) だから 3*v(3)^2=27 v(3)=3_m/sec
■ Ac(3)=F(3)/m=15/6=2.5_m/sec^2
■ Pw(3)=F(3)*v(3)=15*3=45_J/sec
〓 {計算例}仕事,仕事率 〓
□ ファインマン物理学問題集1 p46 問題10.8(b)
◆ 物体 質量 m=6_kg x軸上の運動 摩擦なし 時間 t 力 F(t)=(3+4*t)_N
t=0 で x=0 , 静止 速さ v(t) 加速度 Ac(t) 仕事率 Pw(t)
v(0)=0
■ Ac(t)=F(t)/m=(3+4*t)/6=(2/3)*t+1/2
v(t)=${A(t)*dt}=t^2/3+t/2+積分定数 v(0)=0 だから、
v(t)=t^2/3+t/2
■ Ac(3)=(2/3)*3+1/2=2.5_m/sec^2
v(3)=3^2/3+3/2=4.5_m/sec
F(3)=3+4*3=15_N
Pw(3)=F(3)*v(3)=15*4.5=67.5_J/sec
〓 水 〓
● 密度 62.5_lb/ft^3=62.5*(0.453 592 37)/0.3048^3~1000_kg/m^3
面積 5.5_in^2=5.5*[25.4*Ten(-3)]^2~3.55*Ten(-3)_m^2
16_ft=16*0.3048~4.88_m 8_ft~2.44_m
◆ ホースから水を、水平から30°上に向け噴き出す。高さ 4.88mまで上がった。
ホースの断面積 3.55*Ten(-3)_m^2 ホース内の摩擦 なし
水槽があり、ホースの口より 2.44_m低い。
仕事率 ?
■ 頂点の高さ h の放物線を描くために必要な鉛直方向の速さ v
(1/2)*m*v^2=m*g*h v=root(2*g*h)
水平から30°上に向けての速さ v*2=2*root(2*g*h)
h=4.88_m のとき v*2=2*root(2*9.81*4.88)~19.6_m/sec
1秒間に噴出される水の重さ=1000*19.6*3.55*Ten(-3)~69.6_kg/sec
1秒間に噴出される水の運動エネルギー=(1/2)*69.6*19.6^2~13370_J
高さ2.44m分の位置エネルギー=69.6*9.81*2.44~1670J
両方で 13370+1670=15040_J/sec~15_kW
{水の問題は初トライ、できた!2015/6}
〓 坂道を登る 〓
◆ 平らな坂道 傾斜角 a そこを登る物体 質量 m 速さ v 仕事率 W
■ 1秒間に上がる高さ=v*sin(a) その位置エネルギー=m*g*v*sin(a)
≫ W=m*g*v*sin(a) ★_
★ m=2000_kg a=4° v=50_km/hour=50*Ten(3)/3600=13.9_m/sec
W=2000*9.81*13.9*sin(4°)~19000_W
〓 坂道を登る-抵抗力あり 〓
◆ 平らな坂道 傾斜角 a そこを登る物体 質量 m 速さ v 抵抗力 F 仕事率 W
※ 抵抗力は、タイヤの摩擦、空気抵抗などを含む。水平面でも、坂道でも同じ値とする。
■ 1秒間に上がる高さ=v*sin(a) その位置エネルギー=m*g*v*sin(a)
1秒間に抵抗がする仕事=F*v
W=F*v+m*g*v*sin(a)=v*[F+m*g*sin(a)]
≫ W=v*[F+m*g*sin(a)] ★_
★ m=1000_kg sin(a)=1/10 v=20_m/sec F=200_N
W=20*[200+1000*9.81/10]=20*1181=23620_W
● 3000_lb=3000*0.4536_kg~1361_kg 1馬力=75_kg重*m/sec
30_mi/hour=30*1609.344/3600~13.4_m/sec
◆ 車 質量 1361_kg 摩擦のある水平な道を 13.4_m/sec で進むのに 20馬力 抵抗力 F
※ 抵抗力は、タイヤの摩擦、空気抵抗などを含む。水平面でも、坂道でも同じ値とする。
85馬力で登れる坂の角度 a° ?
■ 1秒間に F*13.4=20*75 F~112_kg重
112*85/20=112+1361*sin(a) sin(a)=(112*65)/20/1361~0.27 a~16°
☆ お勉強しよう 2018-2011 Yuji W. ☆