お勉強しよう 〕 物理.電磁気

2016/10-2012 Yuji.W

位置エネルギー

. 位置エネルギー≠ポテンシャル 保存力 ☆ potential conservative force

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔物理定数〕.  .
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

{復習}位置エネルギー.1次元

『位置エネルギー.1次元』 2016/10

◆ 1質点の直線上の運動 x軸の方向に力 F(x) 位置エネルギー U(x)

■ U(x)=-${F(x)*dx}[x:x0~x]+U(0) U(x);x=-F(x)

※ F(x)がx軸の正の方向に向いていれば F(x)>0 とする

☆位置エネルギー-3次元の運動☆

「curl」

● <curl<A>>=∇#<A>=<Az;y-Ay;z Ax;z-Az;x Ay;x-Ax;y>

● 2次元ベクトル <A>=<Ax(x,y) Ay(x,y)> <curl<A>>=<zu>*(Ay;x-Ax;y)

保存力 位置だけの関数で表す事のできる力 <F>

スカラー関数 U(x,y,z) を使って次のように表せる

 <F>=-grad(U)=-<U;x U;y U;z> 

■ U は、どういう量を表すのか。

 dU(x,y,z)
=(U;x)*dx+(U;y)*dy+(U;z)*dz
=-(Fx*dx+Fy*dy+Fz*dz)
=-<F>*<dr>

 U(x,y,z)=-${<F(x,y,z)>*<dr>}=位置エネルギー

▲ 左辺は、始点と終点が決まれば定まる量である。したがって、右辺の積分は、その経路に依らないことになる。 任意の経路で ${<F(x,y,z)>*<dr>}=同じ値

その事を、微分で表せば <curl<F>>=0

{確かめ} <curl<F>>=-curl<<grad(U)>>=0

任意の経路で ${<F(x,y,z)>*<dr>}=一定

■ <F>=保存力 ⇔ <curl<F>>=0 

■ 2次元 <F>=<Fx(x,y) Fy(x,y)>

 <F>=保存力 ⇔ Fx;y=Fy;x 

■ 位置エネルギーが高い ⇒ 高い緊張状態 ⇒ 動き出そうとする

■ 位置エネルギーの時間微分 U'
=-[${<F>*<dr>}]'
=-<F>*[${<dr>}]'
=-<F>*<r>'
=+<grad(U)>*<r>'

≫ U'=<grad(U)>*<r>' 

■ <r>'*<grad(U)>=x'*(U;x)+y'*(U;y)+z'*(U;z)=U' 

■ ある力 <F1> による位置エネルギー U1

別の力 <F2> による位置エネルギー U2

 U=U1+U2 <F>=-grad(U)

<F1>,<F2> の力の向きなどを考える必要がない{!}

★ U(x,y)=-x^2+y^2

 Fx=-U;x=2*x Fy=-U;y=-2*y Fz=-U;z=0  <F>=<2*x -2*y 0>

{例}保存力でない

★ <F>=<x x>

Fx;y=0 Fy;x=1 Fx;y≠Fy;x 保存力でない 位置エネルギーを定義できない

原点から (4,4) まで動いたときの、その力がした仕事 W を考えよう。

経路1 原点-(4,0)-(4,4)

 W
=${Fx*dx}[x:0~4]+${Fy*dy}[y:0~4]
=${x*dx}[x:0~4]+${4*dy}[y:0~4]
=[x^2/2][x:0~4]+[4*y][y:0~4]
=8+16
=24 @

経路2 原点-(0,4)-(4,4)

 W
=${Fy*dy}[y:0~4]+${Fx*dx}[x:0~4]
=0++${x*dx}[x:0~4]
=0+[x^2/2][x:0~4]
=0+8
=8 A  A≠@ 経路によって、した仕事が違う。位置エネルギーを定義できない

◇重力ポテンシャル◇

◎ 重力による位置エネルギー≠重力ポテンシャル

◆ 太陽の質量 Ms 重力定数 G G*Ms=1.33*Ten(20)_m^3/sec^2

質点の質量 m 太陽からの距離 r そこでの重力ポテンシャル G(r)

距離(太陽~地球) Dse=1.50*Ten(11)_m

重力による位置エネルギー U(r)=-G*Ms*m/r

重力ポテンシャル G(r)=-G*Ms/r 

■ 地球公転半径の位置で、

 G(earth)=-1.33*Ten(20)/1.50*Ten(11)~-8.87*Ten(8)_J/kg

火星の公転半径の位置で、

 Dsm=2.26*Ten(11)_m Dsm/Dse=2.26/1.50~1.51

 G(mars)=G(earth)/(Dsm/Dse)=-[8.87*Ten(8)]/1.51~-5.87*Ten(8)_J/kg

 G(mars)-G(earth)=3*Ten(8)_J/kg

◆ 同様に、地球の重力に対して

G*M(earth)=3.99*Ten(14)_m^3/sec^2 Re=6378_km

■ 地球の地表面上で G(r)=-3.99*Ten(14)/[6.378*Ten(6)]=-6.26*Ten(7)_J/kg

☆エネルギー保存.3次元の運動☆

◎ 運動方程式から、エネルギー保存の式を導出 

◆ 1質点(質量 m) 3次元の運動 位置 <r> 速さ <v> 運動エネルギー K

位置だけの関数である力 <F(<r>)> を考える

位置エネルギー U <F>=-<grad(U)>

● (v^2)'=(<v>^2)'=2*<v>*<v>' {盲点!2014/3}

運動エネルギー 

 K=(1/2)*m*v^2 K'=(1/2)*m*(v^2)'=m*<v>*<v>'

運動方程式 m*<v>'=<F> を使って K'=<F>*<v> @

位置エネルギー 

 dU=grad(U)*<dr>=-<F>*<r>'*dt=-<F>*<v>*dt

 U'=-<F>*<v> A

@Aより (K+U)'=K'+U'=<F>*<v>-<F>*<v>=0 

☆平面上の力、位置エネルギー☆

◎ 平面上の力  保存力であることを確認し、位置エネルギーを求める

◇ xy平面上の力 <F>=<Fx Fy>

★ <F>=<x+y^2 2*x*y>

{解} Fx;y=2*y Fy;x=2*y Fx;y=Fy;x だから、保存力 位置エネルギーを定義できて、

U;x=-x-y^2 U=-(1/2)*x^2-x*y^2+(yだけの関数)+積分定数

U;y=-2*x*y U=-x*y^2+(xだけの関数)+積分定数

以上2つの式から、矛盾がないように定めて U=-(1/2)*x^2-x*y^2+積分定数

★ <F>=<x-3*y -3*x>

{解} Fx;y=-3 Fy;x=-3 Fx;y=Fy;x だから保存力

U;x=-x+3*y U=-(1/2)*x^2+3*x*y+(yだけの関数)+積分定数

U;y=3*x U=3*x*y+(xだけの関数)+積分定数

 U=-(1/2)*x^2+3*x*y+積分定数

★ <F>=k*<y x>

{解} Fx;y=k Fy;x=k 保存力である

U;x=-k*y U=-k*x*y+(yだけの関数)+積分定数

U;y=-k*x U=-k*x*y+(xだけの関数)+積分定数

 U=-k*x*y+積分定数

★ <F>=<sin(x+y^2) 2*y*sin(x+y^2)>

 Fx;y=2*y*cos(x+y^2) Fy;x=2*y*cos(x+y^2) <F>=保存力

☆平面上の運動☆

◆ 1質点平面上の運動 質量 m 位置エネルギー U=(1/2)*k*(x^2+y^2)〔k:正の定数〕

力 <F>=<Fx,Fy>

■ Fx=-U;x=-k*x Fy=-U;y=-k*y <F>=-k*<x,y> 力は原点に向かっている

運動方程式 m*x''=-k*x m*y''=-U;y=-k*y

 x''=-(k/m)*x y''=-(k/m)*y

 x=x0*cos[root(k/m)*t] y=y0*cos[root(k/m)*t]

☆仕事☆

「ベクトルの線積分」

◆ <A>=<Ax,Ay,Az> <ds>=<dx,dy,dz> x=x(t) y=y(t) z=z(t)

■ <A>の線積分=${Ax*dx+Ay*dy+Az*dz}[経路]

■ <A>の線積分=${[Ax*(x;t)+Ay*(y;t)+Az*(z;t)]*dt}[t:t1~t2]

◎ 保存力がする仕事 どの経路でも同じになるか

★ 重力が質点(質量 m)にする仕事 W

重力 <F>=-<yu>*m*g 点 A(0,2*R) , B(R,0) , O(0,0)

経路@ A-直線-O

 W1=2*m*g*R

経路A A-直線-B-x軸-O

 W2=(m*g*2/root5)*(root5*R)+0=2*m*g*R

経路B A-半径Rの円周上-O 回転角 a

 W3=${m*g*Sa*R*da}[a:0~Pi]=m*g*R*[-Ca][a:0~Pi]=2*m*g*R

★ <F>=<x+y^2 , 2*x*y ,0>

 <curl<F>>=<zu>*[(2*x*y);x-(x+y^2);y]=<zu>*(2*y-2*y)=0

この力がする仕事 W、原点から、(a,b)までを求めよう。

経路@ 原点-x軸-y軸に平行-(a,b)

 W1
=${x*dx}[x:0~a]+${2*a*y*dy}[y:0~b]
=a^2/2+a*b^2

経路A 原点-y軸-x軸に平行-(a,b)

 W2
=${0*dy}[y:0~b]+${(x+b^2)}[x:0~a]
=a^2/2+a*b^2

経路B 原点-直線-(a,b) x=a*t y=b*t 0<t<1 x;t=a y;t=b
 <F>=<a*t+b^2*t^2 , 2*a*b*t^2 ,0>

 W3
=${[(a*t+b^2*t^2)*a+2*a*b*t^2*b]*dt}[t:0~1]
=${[(a^2*t+3*a*b^2*t^2]*dt}[t:0~1]
=[a^2*t^2/2+a*b^2*t^3][t:0~1]
=a^2/2+a*b^2 {素晴らしい!}

位置エネルギー U を求めよう。

 U;x=-x-y^2 U=-(1/2)*x^2-x*y^2+(yの関数)
 U;y=-2*x*y U=-x*y^2+(xの関数)

 U=-(1/2)*x^2-x*y^2+C

 U(a,b)-U(0,0)=-a^2/2-a*b^2

★ <F>=<x-3*y , -3*x ,0>

 <curl<F>>=<zu>*[(-3*x);x-(x-3*y);y]=<zu>*(-3+3)=0

この力がする仕事 W、(0,1)から(1,0)までを求めよう。

経路@ (0,1)-y軸-原点-x軸-(1,0)

 W1=${0*dy}+${x*dx}[x:0~1]=1/2

経路A (0,1)-直線-(1,0) x=t , y=1-tx;t=1 y;t=-1
 <F>=<4*t-3 , -3*t ,0>

 W2
=${[(4*t-3)-(-3*t)]*dt}[t:0~1]
=${(7*t-3)*dt}[t:0~1]
=[7*t^2/2-3*t][t:0~1]
=1/2

経路B (0,1)-円周(中心:原点 半径1)-(1,0) x=St y=Ct 0<t<Pi/2
 x;t=Ct y;t=-St <F>=<St-3*Ct , -3*St ,0>

 W3
=${[(St-3*Ct)*Ct+3*St^2]*dt}[t:0~Pi/2]
=${[Ct*St+3*(Ct^2-St^2)]*dt}[t:0~Pi/2]
=${(Ct*St+6*Ct^2-3)*dt}[t:0~Pi/2]
=${[sin(2*t)/2+3*cos(2*t)]*dt}[t:0~Pi/2]
=[-cos(2*t)/4+(3/2)*sin(2*t)][t:0~Pi/2]
=1/4+1/4
=1/2

U を求めよう。

 U;x=-x+3*y U=(1/2)*x^2+3*x*y+(yの関数)
 U;y=3*x U=3*x*y+(xの関数)

 U=(1/2)*x^2+3*x*y+C

 U(1,0)-U(0,1)=1/2

.  位置エネルギー  .

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