〓　位置エネルギー-3次元の運動　〓　

■ 保存力 位置だけの関数で表す事のできる力 <F>

スカラー関数 U(x,y,z) を使って次のように表せる

　<F>=-grad(U)=-<U;x　U;y　U;z> ★

■ U は、どういう量を表すのか。

　dU(x,y,z)
=(U;x)*dx+(U;y)*dy+(U;z)*dz
=-(Fx*dx+Fy*dy+Fz*dz)
=-<F>*<dr>

　U(x,y,z)=-${<F(x,y,z)>*<dr>}=位置エネルギー

▲ 左辺は、始点と終点が決まれば定まる量である。したがって、右辺の積分は、その経路に依らないことになる。　任意の経路で　${<F(x,y,z)>*<dr>}=同じ値

その事を、微分で表せば　<curl<F>>=0

{確かめ}　<curl<F>>=-curl<<grad(U)>>=0

任意の経路で　${<F(x,y,z)>*<dr>}=一定

■ <F>=保存力　⇔　<curl<F>>=0 ★

■ 2次元　<F>=<Fx(x,y)　Fy(x,y)>

　<F>=保存力　⇔　Fx;y=Fy;x ★

■ 位置エネルギーが高い ⇒ 高い緊張状態 ⇒ 動き出そうとする

■ 位置エネルギーの時間微分 U'
=-[${<F>*<dr>}]'
=-<F>*[${<dr>}]'
=-<F>*<r>'
=+<grad(U)>*<r>'

≫　U'=<grad(U)>*<r>' ★

■ <r>'*<grad(U)>=x'*(U;x)+y'*(U;y)+z'*(U;z)=U' ★

■ ある力 <F1> による位置エネルギー U1

別の力 <F2> による位置エネルギー U2

　U=U1+U2　<F>=-grad(U)

<F1>,<F2> の力の向きなどを考える必要がない{!}

★ U(x,y)=-x^2+y^2

　Fx=-U;x=2*x　Fy=-U;y=-2*y　Fz=-U;z=0　　<F>=<2*x　-2*y　0>

〓　{例}保存力でない　〓　

★ <F>=<x x>

Fx;y=0　Fy;x=1　Fx;y≠Fy;x　保存力でない　位置エネルギーを定義できない

原点から (4,4) まで動いたときの、その力がした仕事 W を考えよう。

経路1　原点-(4,0)-(4,4)

　W
=${Fx*dx}[x:0~4]+${Fy*dy}[y:0~4]
=${x*dx}[x:0~4]+${4*dy}[y:0~4]
=[x^2/2][x:0~4]+[4*y][y:0~4]
=8+16
=24　�@

経路2　原点-(0,4)-(4,4)

　W
=${Fy*dy}[y:0~4]+${Fx*dx}[x:0~4]
=0++${x*dx}[x:0~4]
=0+[x^2/2][x:0~4]
=0+8
=8　�A　　�A≠�@　経路によって、した仕事が違う。位置エネルギーを定義できない

〓　重力ポテンシャル　〓　

◎ 重力による位置エネルギー≠重力ポテンシャル

◆ 太陽の質量 Ms　重力定数 G　G*Ms=1.33*Ten(20)_m^3/sec^2

質点の質量 m　太陽からの距離 r　そこでの重力ポテンシャル G(r)

距離(太陽~地球) Dse=1.50*Ten(11)_m

■ 重力による位置エネルギー U(r)=-G*Ms*m/r

重力ポテンシャル G(r)=-G*Ms/r ★

■ 地球公転半径の位置で、

　G(earth)=-1.33*Ten(20)/1.50*Ten(11)~-8.87*Ten(8)_J/kg

火星の公転半径の位置で、

　Dsm=2.26*Ten(11)_m　Dsm/Dse=2.26/1.50~1.51

　G(mars)=G(earth)/(Dsm/Dse)=-[8.87*Ten(8)]/1.51~-5.87*Ten(8)_J/kg

　G(mars)-G(earth)=3*Ten(8)_J/kg

◆ 同様に、地球の重力に対して

G*M(earth)=3.99*Ten(14)_m^3/sec^2　Re=6378_km

■ 地球の地表面上で　G(r)=-3.99*Ten(14)/[6.378*Ten(6)]=-6.26*Ten(7)_J/kg

〓　エネルギー保存.3次元の運動　〓　

◎ 運動方程式から、エネルギー保存の式を導出 

◆ 1質点(質量 m)　3次元の運動　位置 <r>　速さ <v>　運動エネルギー K

位置だけの関数である力 <F(<r>)> を考える

位置エネルギー U　<F>=-<grad(U)>

● (v^2)'=(<v>^2)'=2*<v>*<v>'　{盲点!2014/3}

■ 運動エネルギー　

　K=(1/2)*m*v^2　K'=(1/2)*m*(v^2)'=m*<v>*<v>'

運動方程式　m*<v>'=<F>　を使って　K'=<F>*<v>　�@

位置エネルギー　

　dU=grad(U)*<dr>=-<F>*<r>'*dt=-<F>*<v>*dt

　U'=-<F>*<v>　�A

�@�Aより　(K+U)'=K'+U'=<F>*<v>-<F>*<v>=0 ★

〓　平面上の力、位置エネルギー　〓　

◎ 平面上の力　 保存力であることを確認し、位置エネルギーを求める

◇ xy平面上の力 <F>=<Fx Fy>

★ <F>=<x+y^2　2*x*y>

{解}　Fx;y=2*y　Fy;x=2*y　Fx;y=Fy;x だから、保存力　位置エネルギーを定義できて、

U;x=-x-y^2　U=-(1/2)*x^2-x*y^2+(yだけの関数)+積分定数

U;y=-2*x*y　U=-x*y^2+(xだけの関数)+積分定数

以上2つの式から、矛盾がないように定めて　U=-(1/2)*x^2-x*y^2+積分定数

★ <F>=<x-3*y　-3*x>

{解}　Fx;y=-3　Fy;x=-3　Fx;y=Fy;x だから保存力

U;x=-x+3*y　U=-(1/2)*x^2+3*x*y+(yだけの関数)+積分定数

U;y=3*x　U=3*x*y+(xだけの関数)+積分定数

　U=-(1/2)*x^2+3*x*y+積分定数

★ <F>=k*<y x>

{解}　Fx;y=k　Fy;x=k　保存力である

U;x=-k*y　U=-k*x*y+(yだけの関数)+積分定数

U;y=-k*x　U=-k*x*y+(xだけの関数)+積分定数

　U=-k*x*y+積分定数

★ <F>=<sin(x+y^2)　2*y*sin(x+y^2)>

　Fx;y=2*y*cos(x+y^2)　Fy;x=2*y*cos(x+y^2)　<F>=保存力

〓　平面上の運動　〓　

◆ 1質点平面上の運動　質量 m　位置エネルギー U=(1/2)*k*(x^2+y^2)〔k:正の定数〕

力 <F>=<Fx,Fy>

■ Fx=-U;x=-k*x　Fy=-U;y=-k*y　<F>=-k*<x,y>　力は原点に向かっている

運動方程式　m*x''=-k*x　m*y''=-U;y=-k*y

　x''=-(k/m)*x　y''=-(k/m)*y

　x=x0*cos[root(k/m)*t]　y=y0*cos[root(k/m)*t]

〓　仕事　〓　

◎ 保存力がする仕事　どの経路でも同じになるか

★ 重力が質点(質量 m)にする仕事 W

重力 <F>=-<yu>*m*g　点 A(0,2*R) , B(R,0) , O(0,0)

経路�@　A-直線-O

　W1=2*m*g*R

経路�A　A-直線-B-x軸-O

　W2=(m*g*2/root5)*(root5*R)+0=2*m*g*R

経路�B　A-半径Rの円周上-O　回転角 a

　W3=${m*g*Sa*R*da}[a:0~Pi]=m*g*R*[-Ca][a:0~Pi]=2*m*g*R

★ <F>=<x+y^2 , 2*x*y ,0>

　<curl<F>>=<zu>*[(2*x*y);x-(x+y^2);y]=<zu>*(2*y-2*y)=0

この力がする仕事 W、原点から、(a,b)までを求めよう。

経路�@　原点-x軸-y軸に平行-(a,b)

　W1
=${x*dx}[x:0~a]+${2*a*y*dy}[y:0~b]
=a^2/2+a*b^2

経路�A　原点-y軸-x軸に平行-(a,b)

　W2
=${0*dy}[y:0~b]+${(x+b^2)}[x:0~a]
=a^2/2+a*b^2

経路�B　原点-直線-(a,b)　x=a*t　y=b*t　0<t<1　x;t=a　y;t=b
　<F>=<a*t+b^2*t^2 , 2*a*b*t^2 ,0>

　W3
=${[(a*t+b^2*t^2)*a+2*a*b*t^2*b]*dt}[t:0~1]
=${[(a^2*t+3*a*b^2*t^2]*dt}[t:0~1]
=[a^2*t^2/2+a*b^2*t^3][t:0~1]
=a^2/2+a*b^2　{素晴らしい!}

位置エネルギー U を求めよう。

　U;x=-x-y^2　U=-(1/2)*x^2-x*y^2+(yの関数)
　U;y=-2*x*y　U=-x*y^2+(xの関数)

　U=-(1/2)*x^2-x*y^2+C

　U(a,b)-U(0,0)=-a^2/2-a*b^2

★ <F>=<x-3*y , -3*x ,0>

　<curl<F>>=<zu>*[(-3*x);x-(x-3*y);y]=<zu>*(-3+3)=0

この力がする仕事 W、(0,1)から(1,0)までを求めよう。

経路�@　(0,1)-y軸-原点-x軸-(1,0)

　W1=${0*dy}+${x*dx}[x:0~1]=1/2

経路�A　(0,1)-直線-(1,0)　x=t , y=1-tx;t=1　y;t=-1
　<F>=<4*t-3 , -3*t ,0>

　W2
=${[(4*t-3)-(-3*t)]*dt}[t:0~1]
=${(7*t-3)*dt}[t:0~1]
=[7*t^2/2-3*t][t:0~1]
=1/2

経路�B　(0,1)-円周(中心:原点 半径1)-(1,0)　x=St　y=Ct　0<t<Pi/2
　x;t=Ct　y;t=-St　<F>=<St-3*Ct , -3*St ,0>

　W3
=${[(St-3*Ct)*Ct+3*St^2]*dt}[t:0~Pi/2]
=${[Ct*St+3*(Ct^2-St^2)]*dt}[t:0~Pi/2]
=${(Ct*St+6*Ct^2-3)*dt}[t:0~Pi/2]
=${[sin(2*t)/2+3*cos(2*t)]*dt}[t:0~Pi/2]
=[-cos(2*t)/4+(3/2)*sin(2*t)][t:0~Pi/2]
=1/4+1/4
=1/2

U を求めよう。

　U;x=-x+3*y　U=(1/2)*x^2+3*x*y+(yの関数)
　U;y=3*x　U=3*x*y+(xの関数)

　U=(1/2)*x^2+3*x*y+C

　U(1,0)-U(0,1)=1/2