☆ 角運動量とトルク ☆

〇 角運動量の大きさ  トルクの大きさ  基準点を変える  等速直線運動の角運動量  ★  2022.8-2018.2  Yuji.W    ★  Yuji.W 

◇ 2*3=6  Ten(3)=10^3=1000  微分 ;  偏微分 :  積分 $  e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>  縦ベクトル <A)  単位ベクトル <xu>  内積 *  外積 #   000 

〓  角運動量  〓  ◇ ベクトル <>  縦ベクトル <)  外積 # 《 角運動量24.3 》

▢ 1質点の運動  原点に対する角速度 <w>  原点に対する角運動量 <L>

▷ {定義} <w>=<r>#<v>/r^2  {定義} <L>=m*<r>#<v>=m*<w>*r^2

▷ <w>#<r>=<v>-<r>*(<r>*<v>)/r^2    円運動のとき <w>#<r>=<v>

▷ xy平面に平行な面上での運動  <L>=m*<-z*(y;t)  z*(x;t)  x*(y;t)-y*(x;t)> 

▢ 1質点の運動  円運動(等速でなくてよい)  慣性テンソル [I]

▷ [I]=m*[y^2+z^2  -x*y  -x*z|-x*y  x^2+z^2  -y*z|-x*z  -y*z  x^2+y^2] 

.  <L)=[I]*<w) 

z軸の周りの円運動  <L>=m*<-x*z  -y*z  x^2+y^2>*wz 

 xy平面上のz軸の周りの円運動  <L>=<zu>*m*(x^2+y^2)*wz 

〓  角運動量  〓  ◇ 微分 ;

♡ 角運動量について、次の順序で学習する事が多いと思う。

.  ① 平面上の運動での角運動量  ② 空間上での運動での角運動量

①を拡張して②にいくのだが、なぜこんな事を考えなくてはいけないのかが、わかりにくい。①を理解できるようになっても、②がわかるようにはならない。

まず、空間上での運動での角運動量を学習した後、その特別な例として、平面上の運動での角運動量を取り上げるというようにした方が、スムーズなつながり、わかりやすくなると思う。そのためにも、ベクトルの外積に慣れておく必要がある。

〓  <r>#<v> の時間微分  〓  ◇ 微分 ;

▢ 1質点の運動  位置 <r>  速度 <v>=<r>;t  <r>#<v>

▷ (<r>#<v>);t
=(<r>;t)#<v>+<r>#(<v>;t)
=<v>#<v>+<r>#(<r>;;t)
=<r>#(<r>;;t) 

≫  (<r>#<v>);t=<r>#(<r>;;t)  ★  一見すると、<r> は微分していないように見える

〓  角運動量とトルク  〓  ◇ 微分 ;

▢ 1質点の運動  質量 m  位置 <r>  速度 <v>=<r>;t  質点に働く力 <F>

運動量 <p>=m*<v>   運動方程式  <p>;t=<F>  ⇒  <r>;;t=<F>/m

原点に対する角運動量 <L>=m*<r>#<v> 
原点に対するトルク(力のモーメント) <N>=<r>#<F>

※ 角運動量もトルクも、普通のベクトルの外積で定義されているから、にせのベクトル(擬ベクトル、軸性ベクトル)である。空間の反転などを考えるときには、普通のベクトルとは違う性質を示すので、注意を要する。

▷ <L>;t=m*[(<r>#<v>);t]=m*<r>#(<r>;;t)=m*<r>#(<F>/m)=<r>#<F>=<N>

≫  <L>;t=<N>  ★ 

〓  角運動量とトルクを使うときの注意点  〓 

〇 角運動量とトルクは、ベクトルの外積を使って定義されていて、いろいろ注意を要する量である。

① 角運動量の方向は、位置ベクトルと速度ベクトルとが作る平面に垂直である。実際に、その方向にある量が変化するわけではない。回転するイメージがある場合に、その回転軸を示すだけである。しかも、右回りを示す方向を正、左回りを示す方向を負とするという、無理やり定めた感じになる。(座標の正負の方向は、別に違和感を感じない)

② 2つの普通のベクトルの外積で定義された角運動量とトルクは、「にせのベクトル」というもので、ベクトルとは言えない量である。座標軸の反転を考えたときに、不都合が生じる。

③ 角運動量とトルクは、軸に対する量ではなく、点に対するものである。回転軸上にあっても、基準点が異なれば、それらの量は変わる。

④ 角運動量と回転軸とは、一般には一致しない。角運動量を軸の周りの回転を表す量だと考えると、そうではない場合が出てきて混乱する。ただし、質量分布に対称性があり、なめらかにスムーズに回転する場合には、角運動量と回転軸とは一致する。

〓  角運動量の大きさ、トルクの大きさ  〓 

▢ 1質点の運動  質量 m  位置 <r>  速度 <v>=<r>;t  運動量 <p>=m*<v>

質点に働く力 <F>  ※ 作用点は <r>  ベクトルだから平行移動していいわけでない

原点に対するトルク <N>=<r>#<F>  <r>と<F>とが作る角 oF 

原点に対する角運動量 <L>=<r>#<p>  <r>と<p>とが作る角 op 

▷ N=|<r>#<F>|=r*F*sin(oF)=[r*sin(oF)]*F

r*sin(oF) は、原点から、作用点<r>に働く力<F>への垂線の長さを表す

.  N=(原点から<F>への垂線の長さ)*F=(力の腕の長さ)*F  ★ 

また  N=|<r>#<F>|=r*[F*sin(oF)]  とすれば、

F*sin(oF) は、力の、位置ベクトルに垂直な方向への成分を表す

.  N=r*(力の、位置ベクトルに垂直な方向への成分)=r*(力の接線方向成分)  ★ 

▷ 同様に、角運動量も、

.  L=[r*sin(op)]*p=(原点から<p>への垂線の長さ)*p  ★ 

.  L=r*[p*sin(op)]=r*(運動量の接線方向成分)  ★ 

〓  基準点を変える  〓  ◇ 微分 ;

▢ 1質点  質量 m  位置 <r>  質点にかかる力 <F> 

運動量 <p>  運動方程式 <p>;t=<F>

原点に対する角運動量 <L>=<r>#<p>  原点に対するトルク <N>=<r>#<F>

角運動量の方程式  <L>;t=<N>=<r>#<F>

任意の位置 <h>  <h>は動かない  <h>;t=0

点 <h> に対して  角運動量 <Lh>=(<r>-<h>)#<p>  トルク <Nh>=(<r>-<h>)#<F>

<p> や <F> は、基準点に依らない量である

▷ <L>-<Lh>=<r>#<p>-(<r>-<h>)#<p>=<h>#<p>  ①

.  <N>-<Nh>=<r>#<F>-(<r>-<h>)#<F>=<h>#<F>  ②

①より  <Lh>=<L>-<h>#<p>

 .  <Lh>;t=<L>;t-<h>#(<p>;t)=<r>#<F>-<h>#<F>=(<r>-<h>)#<F>=<Nh>

≫  <Lh>;t=<Nh>  ★ 

▲ 原点に限らず、任意の基準点で成り立つ。計算に都合のよい点を選んで計算する事ができる。  ★ 

〓  角運動量とトルク  〓  ◇ 微分 ;

▢ 1質点の運動  質量 m  位置 <r>  速度 <v>=<r>;t  質点に働く力 <F> 

原点に対する角運動量 <L>=m*<r>#<v> 
原点に対するトルク(力のモーメント) <N>=<r>#<F>

▷ <L>;t=<N> 

▢ 任意の動かない位置 <h> 

 <h>に対して  角運動量 <Lh>=(<r>-<h>)#<p>  トルク <Nh>=(<r>-<h>)#<F>

▷ <L>=<Lh>+<h>#m*<v> , <N>=<Nh>+<h>#<F> 

≫  <Lh>;t=<Nh> 

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