物理 力学

2015/8-2014/7 Yuji.W

粘性抵抗あり-1次元

◎ 粘性抵抗 一様な重力場 ☆ 粘性抵抗 viscous drag  慣性抵抗 pressure drag

◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数  2015/08/14

☆空気抵抗☆

■ 空気抵抗は、物体の速さに比例するもの、速さの2乗に比例するものを考えることができる。

@粘性抵抗 速さに比例する抵抗 抵抗力 Fv=Kv*v

  [Kv]=[N*sec/m]=[(Kg*m/sec^2)*(sec/m)]=[Kg/sec]

A慣性抵抗(圧力抵抗) 速さの2乗に比例する抵抗 物体が大気分子と衝突する効果

 抵抗力 Fp=Kp*v^2

■ 空気密度 ρ=1.29_kg/m^3 地球の地表付近

 A慣性抵抗係数 Kp=(1/2)*Cd*ρ*面積

Cd は、物体の形による定数 平面で 1 球で 1/2

■ @+A 球(直径 D)で Fr=β*D*v+Γ*D^2*v^2

 β=1.6*Ten(-4)_N*sec/m^2

 Γ=(1/2)*Cd*ρ*(Pi/4)=(1/16)*1.29*Pi=0.25_N*sec^2/m^4

 Fp/Fv
=Γ*D^2*v^2/(β*D*v)
={0.25/[1.6*Ten(-4)]}*D*v
~1600*D*v

D の単位を mm にすれば Fp/Fv~1.6*D*v

▲ 雨粒 1mm 1m/sec Fp/Fv~1 粘性抵抗と慣性抵抗が同程度

野球のボール、落下する人間 Fp/Fv>>1 慣性抵抗が主になる

■ 慣性抵抗による最終速度 Vp=root(m*g/Kp)

球(直径D)の場合 Kp=Γ*D^2=0.25*D^2 Vp=2*root(m*g)/D

★ 野球のボール D=0.07_m m=0.15_kg

 Vp=2*root(0.15*9.8)/0.07=2*1.21/0.07~35_m/sec

★ 人間スカイダイビング 普通 Vp=50_m/sec

記録 Vp=372_m/sec (35_sec)

◇粘性抵抗(∝ v)あり、外力なし◇

◎ 1次元 力は、速度に比例する空気抵抗(粘性抵抗)のみ 重力もなし
だんだん遅くなり、やがて止まる

● exp(x) は、x が 1 増えるごとに、e 倍(2.7倍)になる
x が ln2~0.7 増えるごとに、2倍になる

exp(-x) は、x が 1 増えるごとに、1/e 倍(0.37倍)になる
x が ln2~0.7 増えるごとに、半分になる

◆ 1質点1次元 質量 m 速さ v(t) 初速度 v0 粘性抵抗力 Fv=Kv*v

■ 運動方程式 m*v'=-Kv*v v'/v=-Kv/m

ここで m/Kv=Tau 平均時間 を導入すれば v'/v=-1/Tau

 ln|v|=-t/Tau+積分定数

 v=v0*exp(-t/Tau)  時間 Tau ごとに、1/e 倍(0.37倍)になっていく

t=0 で v=v0 , x=0 として、

 x
=v0*${exp(-t/Tau)*dt}[t:0~t]
=v0*Tau*[-exp(-t/Tau)][t:0~t]
=v0*Tau*[1-exp(-t/Tau)] 

半減期 T2.=ln2*m/Kv=ln2*Tau~0.7*Tau 

任意の時刻 T 半減期後 T+T2.

 v(T+T2.)/v(T)
=E[-(T+T2.)/Tau)]/exp(-T/Tau)
=exp(T/Tau)/[exp(T/Tau)*exp(T2./Tau)]
=1/exp(T2./Tau)
=1/E[ln(2)]
=1/2 
半減期たつと、半分になる

■ t->∞ で v->0 x->v0*Tau=m*v0/Kv

『粘性抵抗あり.外力なし.1次元の運動』 2015/8

◆ 1質点1次元 質量 m 速さ v(t) 初速度 v0 粘性抵抗力 Fv=Kv*v

平均時間 Tau=m/Kv_時間

■ v=v0*exp(-t/Tau) x=v0*Tau*[1-exp(-t/Tau)]

◇粘性抵抗(∝ v)あり、一様な重力場、自然落下◇

◎ 一様な重力場 1次元 速度に比例する空気抵抗(粘性抵抗)あり

● 質点 質量 m 位置(鉛直下方に) x 粘性抵抗がない場合 t=0 で x=0 , x'=0

運動方程式 m*x''=m*g x''=g x'=g*t x=(1/2)*g*t^2

◆ 質点 質量 m 位置(鉛直下方に) x 粘性抵抗係数 Kv t=0 で x=0 , x'=0

■ 初めは抵抗力が働かない。加速度 g で動き出す。速さが増すにつれ、抵抗力も大きくなり、やがてつり合ってしまう。

抵抗力=重力 Kv*v=m*g V=m*g/Kv  この速さよりは速くならない

■ 力は x に依らないから、速さ v を使って、運動方程式を作ると m*v'=m*g-Kv*v

 v'+(Kv/m)*v=g m/Kv=Tau , V=g*Tau と置くと v'+v/Tau=g

「1階/線型/微分方程式」 ◇ 基本解 x1 特殊解 x2 一般解 x 2015/7

x'+a*x=b 〔a,b:定数〕 x1=exp(-a*t) x2=b/a x=C*x1+x2

■ 1階/線型/微分方程式 x'+p(t)*x=f(t) 

 ${p(t)*dt}=P(t) x1=exp(-P) x2=${(f/x1)*dt}*x1 x=C*x1+x2

基本解 v1=exp[-t/Tau] 特殊解 v2=g*Tau=V v=C*exp[-t/Tau]+V

t=0 ⇒ 0=v=C+V C=-V

 v=-V*exp(-t/Tau)+V=V*[1-exp(-t/Tau)]

≫ v=V*[1-exp(-t/Tau)] 〔Tau=m/Kv , V=m*g/Kv=g*Tau〕 

t->∞ ⇒ v->V

■ x
=${v*dt}[t:0~t]
=V*${[1-exp(-t/Tau)]*dt}[t:0~t]
=V*[t+Tau*exp(-t/Tau)][t:0~t]
=V*[t+Tau*exp(-t/Tau)-Tau]
=V*t+V*Tau*[exp(-t/Tau)-1]

≫ x=V*t-V*Tau*[1-exp(-t/Tau)] 〔Tau=m/Kv , V=m*g/Kv=g*Tau〕 

{確かめ} v=x'=V-V*[Tau/Tau]*exp(-t/Tau)=V*[1-exp(-t/Tau)]

◇粘性抵抗(∝ v)あり、一様な重力場、投げ上げ◇

◎ 一様な重力場 1次元 速度に比例する空気抵抗(粘性抵抗)あり

● 質点 質量 m 位置(鉛直上方に) x 粘性抵抗がない場合 t=0 で x=0 , x'=v0

 v=x'=-g*t+v0 x=-(1/2)*g*t^2+v0*t

◆ 質点 質量 m 位置(鉛直上方に) x 粘性抵抗係数 Kv

t=0 で x=0 , x'=v0 Tau=m/Kv , V=m*g/Kv=g*Tau

■ 力は x に依らないから、速さ v を使って、運動方程式を作ると m*v'=-m*g-Kv*v

 v'+v/Tau=-g

基本解 v1=exp(-t/Tau) 特殊解 v2=-g*Tau=-V 一般解 v=C*exp(-t/Tau)-V

t=0 で v=v0 として v0=C-V C=v0+V

 v=(v0+V)*exp(-t/Tau)-V

 x
=${v*dt}〔t:0~t〕  ※ ちゃんと定積分しないといけない{核心!}
=[-(v0+V)*Tau*exp(-t/Tau)-V*t]〔t:0~t〕
=[-(v0+V)*Tau*exp(-t/Tau)-V*t]+(v0+V)*Tau
=(v0+V)*Tau*[1-exp(-t/Tau)]-V*t

≫ v=(v0+V)*exp(-t/Tau)-V x=(v0+V)*Tau*[1-exp(-t/Tau)]-V*t 

▲ v=0 になるのは 0=(v0+V)*exp(-t/Tau)-V

 exp(-t/Tau)=V/(v0+V)

 -t/Tau=ln[V/(v0+V)]

 t=Tau*ln[(v0+V)/V]=Tau*ln[1+v0/V] 

『粘性抵抗あり.一様な重力場.投げ上げ.1次元』 2015/8

◆ 質点 質量 m 位置(鉛直上方に) x 粘性抵抗係数 Kv

Tau=m/Kv_時間 V=g*Tau_速さ

■ v=(v0+V)*exp(-t/Tau)-V x=(v0+V)*Tau*[1-exp(-t/Tau)]-V*t

◇粘性抵抗(∝ v)+バネの力◇

◆ 質点(質量 m) 位置 x t=0 で x'=0 x=x0

バネの力 F=-k*x 固有角振動数 w0=root(k/m)

粘性抵抗力 Fv=-2*m*w0*x' ※ こういう条件が成り立っている場合を考える

■ 運動方程式 m*x''=-k*x-2*m*w0*x'

 x''+2*w0*x'+w0^2*x=0 2階線型定数係数微分方程式

x=exp(h*t) と仮定して H(h)=h^2+2*w0*h+w0^2=0 h=-w0

基本解 x1=exp(-w0*t) , x2=t*exp(-w0*t)

一般解 x=(C1+C2*t)*exp(-w0*t)

t=0 ⇒ x0=x=C1 x=(x0+C2*t)*exp(-w0*t)

 x'=C2*exp(-w0*t)-(x0+C2*t)*w0*exp(-w0*t)=[C2-(x0+C2*t)*w0]*exp(-w0*t)

t=0 ⇒ 0=x'=C2-x0*w0 C2=x0*w0

 x=x0*(1+w0*t)*exp(-w0*t)

 x'
=x0*w0*exp(-w0*t)-x0*(1+w0*t)*w0*exp(-w0*t)
=x0*w0*exp(-w0*t)*[1-(1+w0*t)]
=x0*w0^2*t*exp(-w0*t)

≫ x=x0*(1+w0*t)*exp(-w0*t) x'=x0*w0^2*t*exp(-w0*t) 

◇粘性抵抗(∝ v)あり,バネの力+一定の力◇

◆ 質点(質量 m) 位置 x t=0 で x=x'=0

バネの力 F=-k*x 固有角振動数 w0=root(k/m)

粘性抵抗力 Fv=-2*m*w0*x' ※ こういう条件が成り立っている場合を考える

一定の力 m*f0

ある位置 Xで、バネの力と、一定の力が等しくなる
 k*X=m*f0 X=(m/k)*f0=f0/w0^2 そこで止まる

■ 運動方程式 m*x''=-k*x-2*m*w0*x'+m*f0

 x''+2*w0*x'+w0^2*x=f0

特性方程式 H(h)=h^2+2*w0h+w0^2=0 h=-w0

 基本解 exp(-w0*t) t*exp(-w0*t) 特殊解 f0/w0^2

 一般解 x=C1*exp(-w0*t)+C2*t*exp(-w0*t)+f0/w0^2

 x'=-C1*w0*exp(-w0*t)+C2*exp(-w0*t)-C2*w0*t*exp(-w0*t)

初期条件より 0=C1+f0/w0^2 0=-C1*w0+C2

 C1=-f0/w0^2 C2=-f0/w0

 x
=-(f0/w0^2)*exp(-w0*t)-(f0/w0)*t*exp(-w0*t)+f0/w0^2
=-(f0/w0^2)*(1+w0*t)*exp(-w0*t)+f0/w0^2

 x'
=-(f0/w0)*t*exp(-w0*t)+(f0/w0)*(1+w0*t)*exp(-w0*t)
=(f0/w0)*(1-t+w0*t)*exp(-w0*t)

t>>1 で x=f0/w0^2 x'=0

粘性抵抗あり-1次元

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