物理 力学 2019.5-2014.7 Yuji.W
☆ 粘性抵抗あり-1次元 ☆
◎ 速さに比例する抵抗 粘性抵抗 一様な重力場 ☆ 粘性抵抗 viscous drag 慣性抵抗 pressure drag ★ 〔物理定数 定数.宇宙 力学の単位 電磁気の単位〕
【ベクトル】
ベクトル <A> 内積
* 外積 # |<A>|=A <A>/A=<Au>
【演算】
積 * 商 / 10^x=Ten(x) ネイピア数
e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
【微積分】
微分 ;x 時間微分
;t 時間微分
' 積分 $
【座標】
デカルト座標 <xu>,<yu>,<zu>
円柱座標(2次元極座標) (h,a,z
_C) <Ah Aa
Az _C> <hu>,<au>,<zu>
球座標(3次元極座標) (r,a,b _S) <Ar Aa
Ab _S> <ru>,<au>,<bu>
回転座標 <AxR AyR AzR
_R> <xRu>,<yRu>,<zRu>
〓 空気抵抗 〓
■ 空気抵抗は、物体の速さに比例するもの、速さの2乗に比例するものを考えることができる。
①粘性抵抗 速さに比例する抵抗 抵抗力 Fv=Kv*v
[Kv]=[N*sec/m]=[(Kg*m/sec^2)*(sec/m)]=[Kg/sec]
②慣性抵抗(圧力抵抗) 速さの2乗に比例する抵抗 物体が大気分子と衝突する効果
抵抗力 Fp=Kp*v^2
■ 空気密度 ρ=1.29_kg/m^3 地球の地表付近
②慣性抵抗係数 Kp=(1/2)*Cd*ρ*面積
Cd は、物体の形による定数 平面で 1 球で 1/2
■ ①+② 球(直径 D)で Fr=β*D*v+Γ*D^2*v^2
β=1.6*Ten(-4)_N*sec/m^2
Γ=(1/2)*Cd*ρ*(Pi/4)=(1/16)*1.29*Pi=0.25_N*sec^2/m^4
Fp/Fv
=Γ*D^2*v^2/(β*D*v)
={0.25/[1.6*Ten(-4)]}*D*v
~1600*D*v
D の単位を mm にすれば Fp/Fv~1.6*D*v
▲ 雨粒 1mm 1m/sec Fp/Fv~1 粘性抵抗と慣性抵抗が同程度
野球のボール、落下する人間 Fp/Fv>>1 慣性抵抗が主になる
■ 慣性抵抗による最終速度 Vp=root(m*g/Kp)
球(直径D)の場合 Kp=Γ*D^2=0.25*D^2 Vp=2*root(m*g)/D
★ 野球のボール D=0.07_m m=0.15_kg
Vp=2*root(0.15*9.8)/0.07=2*1.21/0.07~35_m/sec
★ 人間スカイダイビング 普通 Vp=50_m/sec
記録 Vp=372_m/sec (35_sec)
〓 粘性抵抗(∝ v)あり、外力なし 〓
◎ 1次元 力は、速度に比例する空気抵抗(粘性抵抗)のみ 重力もなし
だんだん遅くなり、やがて止まる
●
exp(x) は、x が 1 増えるごとに、e 倍(2.7倍)になる
x が ln2~0.7
増えるごとに、2倍になる
exp(-x)
は、x が 1 増えるごとに、1/e 倍(0.37倍)になる
x が ln2~0.7 増えるごとに、半分になる
◆ 1質点1次元 質量 m 速さ v(t) 初速度 v0 減衰係数 Kv 粘性抵抗力 Fv=Kv*v
■ 運動方程式 m*(v;t)=-Kv*v (v;t)/v=-Kv/m
ここで m/Kv=Tau 緩和時間(平均時間) を導入すれば (v;t)/v=-1/Tau
ln|v|=-t/Tau+積分定数
v=v0*exp(-t/Tau) ★ 時間 Tau ごとに、1/e 倍(0.37倍)になっていく
t=0 で v=v0 , x=0 として、
x
=v0*${exp(-t/Tau)*dt}[t:0~t]
=v0*Tau*[-exp(-t/Tau)][t:0~t]
=v0*Tau*[1-exp(-t/Tau)] ★
■ 半減期 T2=ln2*m/Kv=ln2*Tau~0.7*Tau ★
任意の時刻 T 半減期後 T+T2
v(T+T2)/v(T)
=E[-(T+T2)/Tau)]/exp(-T/Tau)
=exp(T/Tau)/[exp(T/Tau)*exp(T2/Tau)]
=1/exp(T2/Tau)
=1/E[ln(2)]
=1/2 ★ 半減期たつと、半分になる
■ t->∞ で v->0 x->v0*Tau=m*v0/Kv
〓 粘性抵抗(∝ v)あり、外力なし 〓
◆ 1質点1次元 質量 m 速さ v(t) 初速度 v0 減衰係数 Kv 粘性抵抗力 Fv=Kv*v
緩和時間(平均時間) Tau=m/Kv 半減期 T2=ln2*Tau~0.7*Tau
■ v(t)/v0=exp(-t/Tau) x(t)=v0*Tau*[1-exp(-t/Tau)]
■ 任意の時刻 T v(T+T2)/v(T)=1/2
■ v(∞)=0 x(∞)=m*v0/Kv
〓 x''=p*x'+q*x+r 〓
◆ x=x(t) t による微分 x' p,q,r:定数
■ q=0 x''=p*x'+r x=C1+C2*exp(p*t)-(r/p)*t
■ p=0 x''=q*x+r x=C1*exp[root(q)*t]+C2*exp[-root(q)*t]-r/q
■ p=0 x''=-q*x+r
① x=C1*exp[i*root(q)*t]+C2*exp[-i*root(q)*t]+r/q
② x=C1*cos[root(q)*t]+C2*sin[root(q)*t]+r/q
③ x=C1*cos[root(q)*t+C2]+r/q
■ x''=p*x'+q*x+r q≠0
特性方程式 h^2-p*h-q=0 の解を h1,h2 として、
x=C1*exp(h1*t)+C2*exp(h2*t)-r/q
■ x''=2*p*x'-p^2*x 特性方程式の解が重根のとき
x=C1*exp(p*t)+C2*t*exp(p*t)+r/p^2
〓 粘性抵抗(∝ v)あり、一様な重力場、自然落下 〓
◆ 一様な重力場 重力加速度 g 質点 質量 m 位置(鉛直下方に) x
粘性抵抗係数 Kv 抵抗力 -Kv*(x;t) m/Kv=Tau
※ [Kg*m/sec^2]=[N] {Kv}=[N*sec/m] {m/Kv}=[sec]
t=0 で x=0 , x;t=0
■ 運動方程式 m*(x;;t)=m*g-Kv*(x;t)
x;;t=0 になるのは x;t=g*(m/Kv)=g*Tau
t=0 で x;t=0 だったから (x;t)_max=g*Tau ★
■ 運動方程式 m*(x;;t)=m*g-Kv*(x;t)
x;;t=-(Kv/m)*(x;t)+g=-(x;t)/Tau+g 2階線型定数係数方程式
x;;t=p*(x;t)+r の解は x=C1+C2*exp(p*t)-(r/p)*t であるから、
積分定数を C1,C2 として、
x=C1+C2*exp(-t/Tau)+g*Tau*t
x;t=-C2*exp(-t/Tau)/Tau+g*Tau
初期条件より、
0=C1+C2 & 0=-C2/Tau+g*Tau
C1=-g*Tau^2 & C2=g*Tau^2
x=-g*Tau^2+g*Tau^2*exp(-t/Tau)+g*Tau*t=g*Tau^2*[t/Tau+exp(-t/Tau)-1]
》x=g*Tau^2*[t/Tau+exp(-t/Tau)-1] ★
x;t=g*Tau*[1-exp(-t/Tau)] x;;t=g*exp(-t/Tau)
{確かめ} -(x;t)/Tau+g=-g*[1-exp(-t/Tau)]+g=g*exp(-t/Tau)=x;;t
■ t=0 のとき x=0 x;t=0 x;;t=g
半減期 T2=ln2*Tau~0.693*Tau として t=T2 のとき、
x=g*Tau^2*[ln(2)+1/2-1]=g*Tau^2*[ln(2)-1/2]~0.193*g*Tau^2
x;t=g*Tau/2 x;;t=g/2
t=Tau のとき ネイピア数 e として、
x=g*Tau^2/e~0.368*g*Tau^2
x;t=g*Tau*(1-1/e)~0.632*g*Tau
x;;t=g/e~0.368*g
t=∞ のとき x=∞ x;t=g*Tau x;;t=0
|
t |
0 |
T2 |
Tau |
∞ |
|
x |
0 |
0.193 |
0.368 |
∞ |
|
(x;t)/(g*Tau) |
0 |
0.5 |
0.632 |
1 |
|
(x;;t)/g |
1 |
0.5 |
0.368 |
0 |
〓 粘性抵抗(∝ v)あり、一様な重力場-2- 〓
◎ 初速度が g*Tau より速かった場合
◆ 一様な重力場 重力加速度 g 質点 質量 m 位置(鉛直下方に) x
粘性抵抗係数 Kv 抵抗力 -Kv*(x;t) m/Kv=Tau
※ [Kg*m/sec^2]=[N] {Kv}=[N*sec/m] {m/Kv}=[sec]
t=0 で x=0 , x;t=2*g*Tau
■ 積分定数を C1,C2 として、
x=C1+C2*exp(-t/Tau)+g*Tau*t & x;t=-C2*exp(-t/Tau)/Tau+g*Tau
初期条件より、
0=C1+C2 & 2*g*Tau=-C2/Tau+g*Tau
C1=g*Tau^2 C2=-g*Tau^2
x=g*Tau^2*[1-exp(-t/Tau)+t/Tau]
x;t=g*Tau*[1+exp(-t/Tau)]
x;;t=g*exp(-t/Tau) ★
■ t=0 のとき x=0 x;t=2*g*Tau x;;t=g
半減期 T2=ln2*Tau~0.693*Tau として t=T2 のとき、
x=g*Tau^2*[1-1/2+ln(2)]~1.193*g*Tau^2
x;t=g*Tau*(1+1/2)=1.5*g*Tau
x;;t=g/2
t=Tau のとき、
x=g*Tau^2*(2-1/e)=1.632*g*Tau^2
x;t=g*Tau*(1+1/e)~1.368*g*Tau
x;;t=g/e~0.368*g
t=∞ のとき、
x=∞ x;t=g*Tau x;;t=0
|
t |
0 |
T2 |
Tau |
∞ |
|
x |
0 |
1.193 |
1.632 |
∞ |
|
(x;t)/(g*Tau) |
2 |
1.5 |
1.368 |
1 |
|
(x;;t)/g |
1 |
0.5 |
0.368 |
0 |
〓 粘性抵抗(∝ v)あり、一様な重力場、自然落下 〓
◎ 一様な重力場 1次元 速度に比例する空気抵抗(粘性抵抗)あり
● 質点 質量 m 位置(鉛直下方に) x 粘性抵抗がない場合 t=0 で x=0 , x'=0
運動方程式 m*x''=m*g x''=g x'=g*t x=(1/2)*g*t^2
◆ 質点 質量 m 位置(鉛直下方に) x 粘性抵抗係数 Kv t=0 で x=0 , x'=0
■ 初めは抵抗力が働かない。加速度 g で動き出す。速さが増すにつれ、抵抗力も大きくなり、やがてつり合ってしまう。
抵抗力=重力 Kv*v=m*g V=m*g/Kv ★ この速さよりは速くならない
■ 力は x に依らないから、速さ v を使って、運動方程式を作ると m*(v;t)=m*g-Kv*v
v;t+(Kv/m)*v=g m/Kv=Tau , V=g*Tau と置くと v;t+v/Tau=g
|
「1階/線型/微分方程式」 ◇ 基本解 x1 特殊解 x2 一般解 x 2015/7 ■ x'+a*x=b 〔a,b:定数〕 x1=exp(-a*t) x2=b/a x=C*x1+x2 ■ 1階/線型/微分方程式 x'+p(t)*x=f(t) ${p(t)*dt}=P(t) x1=exp(-P) x2=${(f/x1)*dt}*x1 x=C*x1+x2 |
基本解 v1=exp[-t/Tau] 特殊解 v2=g*Tau=V v=C*exp[-t/Tau]+V
t=0 ⇒ 0=v=C+V C=-V
v=-V*exp(-t/Tau)+V=V*[1-exp(-t/Tau)]
≫ v=V*[1-exp(-t/Tau)] 〔Tau=m/Kv , V=m*g/Kv=g*Tau〕 ★
t->∞ ⇒ v->V
■ x
=${v*dt}[t:0~t]
=V*${[1-exp(-t/Tau)]*dt}[t:0~t]
=V*[t+Tau*exp(-t/Tau)][t:0~t]
=V*[t+Tau*exp(-t/Tau)-Tau]
=V*t+V*Tau*[exp(-t/Tau)-1]
≫ x=V*t-V*Tau*[1-exp(-t/Tau)] 〔Tau=m/Kv , V=m*g/Kv=g*Tau〕 ★
{確かめ} v=x'=V-V*[Tau/Tau]*exp(-t/Tau)=V*[1-exp(-t/Tau)]
〓 粘性抵抗(∝ v)あり、一様な重力場、投げ上げ 〓
◎ 一様な重力場 1次元 速度に比例する空気抵抗(粘性抵抗)あり
● 質点 質量 m 位置(鉛直上方に) x 粘性抵抗がない場合 t=0 で x=0 , x'=v0
v=x'=-g*t+v0 x=-(1/2)*g*t^2+v0*t
◆ 質点 質量 m 位置(鉛直上方に) x 粘性抵抗係数 Kv
t=0 で x=0 , x'=v0 Tau=m/Kv , V=m*g/Kv=g*Tau
■ 力は x に依らないから、速さ v を使って、運動方程式を作ると m*(v;t)=-m*g-Kv*v
v;t+v/Tau=-g
基本解 v1=exp(-t/Tau) 特殊解 v2=-g*Tau=-V 一般解 v=C*exp(-t/Tau)-V
t=0 で v=v0 として v0=C-V C=v0+V
v=(v0+V)*exp(-t/Tau)-V
x
=${v*dt}〔t:0~t〕 ※
ちゃんと定積分しないといけない{核心!}
=[-(v0+V)*Tau*exp(-t/Tau)-V*t]〔t:0~t〕
=[-(v0+V)*Tau*exp(-t/Tau)-V*t]+(v0+V)*Tau
=(v0+V)*Tau*[1-exp(-t/Tau)]-V*t
≫ v=(v0+V)*exp(-t/Tau)-V x=(v0+V)*Tau*[1-exp(-t/Tau)]-V*t ★
▲ v=0 になるのは 0=(v0+V)*exp(-t/Tau)-V
exp(-t/Tau)=V/(v0+V)
-t/Tau=ln[V/(v0+V)]
t=Tau*ln[(v0+V)/V]=Tau*ln[1+v0/V] ★
|
『粘性抵抗あり.一様な重力場.投げ上げ.1次元』 2015/8 ◆ 質点 質量 m 位置(鉛直上方に) x 粘性抵抗係数 Kv Tau=m/Kv_時間 V=g*Tau_速さ ■ v=(v0+V)*exp(-t/Tau)-V x=(v0+V)*Tau*[1-exp(-t/Tau)]-V*t |
〓 粘性抵抗(∝ v)+バネの力 〓
◆ 質点(質量 m) 位置 x t=0 で x'=0 x=x0
バネの力 F=-k*x 固有角振動数 w0=root(k/m)
粘性抵抗力 Fv=-2*m*w0*x' ※ こういう条件が成り立っている場合を考える
■ 運動方程式 m*x''=-k*x-2*m*w0*x'
x''+2*w0*x'+w0^2*x=0 2階線型定数係数微分方程式
x=exp(h*t) と仮定して H(h)=h^2+2*w0*h+w0^2=0 h=-w0
基本解 x1=exp(-w0*t) , x2=t*exp(-w0*t)
一般解 x=(C1+C2*t)*exp(-w0*t)
t=0 ⇒ x0=x=C1 x=(x0+C2*t)*exp(-w0*t)
x'=C2*exp(-w0*t)-(x0+C2*t)*w0*exp(-w0*t)=[C2-(x0+C2*t)*w0]*exp(-w0*t)
t=0 ⇒ 0=x'=C2-x0*w0 C2=x0*w0
x=x0*(1+w0*t)*exp(-w0*t)
x'
=x0*w0*exp(-w0*t)-x0*(1+w0*t)*w0*exp(-w0*t)
=x0*w0*exp(-w0*t)*[1-(1+w0*t)]
=x0*w0^2*t*exp(-w0*t)
≫ x=x0*(1+w0*t)*exp(-w0*t) x'=x0*w0^2*t*exp(-w0*t) ★
〓 粘性抵抗(∝ v)あり,バネの力+一定の力 〓
◆ 質点(質量 m) 位置 x t=0 で x=x'=0
バネの力 F=-k*x 固有角振動数 w0=root(k/m)
粘性抵抗力 Fv=-2*m*w0*x' ※ こういう条件が成り立っている場合を考える
一定の力 m*f0
ある位置
Ｘで、バネの力と、一定の力が等しくなる
k*X=m*f0 X=(m/k)*f0=f0/w0^2 そこで止まる
■ 運動方程式 m*x''=-k*x-2*m*w0*x'+m*f0
x''+2*w0*x'+w0^2*x=f0
特性方程式 H(h)=h^2+2*w0h+w0^2=0 h=-w0
基本解 exp(-w0*t) t*exp(-w0*t) 特殊解 f0/w0^2
一般解 x=C1*exp(-w0*t)+C2*t*exp(-w0*t)+f0/w0^2
x'=-C1*w0*exp(-w0*t)+C2*exp(-w0*t)-C2*w0*t*exp(-w0*t)
初期条件より 0=C1+f0/w0^2 0=-C1*w0+C2
C1=-f0/w0^2 C2=-f0/w0
x
=-(f0/w0^2)*exp(-w0*t)-(f0/w0)*t*exp(-w0*t)+f0/w0^2
=-(f0/w0^2)*(1+w0*t)*exp(-w0*t)+f0/w0^2
x'
=-(f0/w0)*t*exp(-w0*t)+(f0/w0)*(1+w0*t)*exp(-w0*t)
=(f0/w0)*(1-t+w0*t)*exp(-w0*t)
t>>1 で x=f0/w0^2 x'=0
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