物理 電磁気

2017/7-2012/2 Yuji.W

☆ 一様な磁場での運動 ☆

◎ 荷電粒子 一様な磁場での運動 相対論 等速円運動 サイクロトロン

ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
 
10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $
 〔物理定数

光速 c=@3*Ten(8)_m/sec〔 @3=2.99792458{定義値} 〕 (@3)^2=@9
国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ε0*μ0*c^2=1_無次元
 CGS静電単位系 ke=1_無次元 磁場 <Bcgs> ベクトルポテンシャル <Acgs>
 [国際単位系 B=1_T] ⇔ [CGS静電単位系 Bcgs=10000_G]
 〔電磁気の単位

☆ 非相対論.一様な磁場での運動 ☆

◎ 一様な磁場での荷電粒子の運動

◆ 一様な磁場 <B>=<z>*B0 荷電粒子1個 質量 m 電荷 q 速度 <v>=<vx vy vz> 荷電粒子が受ける力 <F>

■ <F>=q*<v>#<B>
=q*B0*<vx vy vz>#<z>
=q*B0*<vy -vx 0> 力の方向はxy平面上

 <v>*<F> ∝ <vx vy vz>*<vy -vx 0>=vx*vy-vx*vy=0 <v>⊥<F>

@ 速さは磁場によって変化しない。運動エネルギーは変化しない。
A 速度のz成分も変化しない。
B 力の方向は、進行方向に対して垂直。力の大きさは一定。

初速度がxy平面上にあれば、xy平面上の等速円運動になる。 *_

一様な磁場 <B>=<z>*B0 xy平面上を運動する荷電粒子1個 質量 m 電荷 q

粒子は等速円運動 半径 r 速さ v 周期 T 振動数 f=1/T 粒子が受ける磁気力 F=q*v*B0

■ 運動方程式 m*v^2/r=q*v*B0

 r=[(m/q)/B0)]*v ☆ 半径は速さに比例する

 T=2Pi*r/v=2Pi*(m/q)/B0 周期は粒子の速さに依らない

 f=1/T=B0*(q/m)/(2Pi)

■【 電子 】

比電荷 e/me=1.7588*Ten(11)_C/kg me/e=5.6856*Ten(-12)_kg/C

B0=1_T で T=3.5706*Ten(-11)_sec f=28.006_GHz

■【 陽子 】

比電荷 q/m=9.5788*Ten(7)_C/kg m/q=1.0440*Ten(-8)_kg/C

B0=1_T で T=6.5563*Ten(-8)_sec f=15.253_MHz

B0=1_T K=150_MeV @m=938_MeV

 E=150+938=1088_MeV

 pc=root(E^2-@m^2)=root(1088^2-938^2)=root(2026*150)=551.27_MeV

 v/c=pc/E=551.27/1088=0.507 v=[3*Ten(8)]*0.507=1.52*Ten(8)_m

 r=[(m/q)/B0)]*v=[1.0440*Ten(-8)/1]*[1.52*Ten(8)]=1.59_m

▲ 一様な磁場に、部分的に電場を付け加える。そこでは、速さが変化する。速さが増せば、回転半径は大きくなるが、周期は変わらない。うまくタイミングを合わせれば、一定の周期の交流電場を使って、荷電粒子の速さを徐々に増す事ができる。徐々に外側を回転するようになるから、必要な速さを得る所で、外に飛び出るようにすればよい。(サイクロトロンの原理.非相対論)

◇ 相対論.等速円運動 ◇

◆ 質量 m m*c^2=@m 等速円運動 半径 r 速さ v 向心力 F=一定

 運動量(光速倍) pc=@m*Γ*(v/c) 全エネルギー E=Γ*@m

F*r*E=pc^2 T=2Pi*r/v

☆ 相対論.一様な磁場での運動 ☆

一様な磁場 <B>=<zu>*B0
荷電粒子
 電荷 q 質量 m一様 粒子はxy平面上を等速円運動 半径 r 速さ v 周期 T 粒子が受ける磁気力 F=q*v*B0

静止質量エネルギー @m 運動量(光速倍) pc=m*c*Γ(v/c)*v 全エネルギー E=@m*Γ(v/c)

■ 磁場による力は速度に垂直であるから、速さに影響を及ぼさない。等速円運動になる。

 F*r*E=pc^2

 (q*v*B0)*r*(Γ*m*c^2)=[m*c*Γ*v]^2

 r=[m/(q*B0)]*v*Γ T=2Pi*r/v=2Pi*[m/(q*B0)]*Γ 非相対論の Γ 倍

■ pc や E などを使って表せば、

 r=pc/(q*c*B0) T=2Pi*E/(q*c^2*B0)

 振動数=1/T=(q*c^2*B0)/2Pi*E 

CGS静電単位系で r=pc/(q*B0cgs) c*T=2Pi*E/(q*B0cgs) 

相対論.一様な磁場での運動

一様な磁場 <B>=<zu>*B0
荷電粒子
 電荷 q 質量 m一様 粒子はxy平面上を等速円運動 半径 r 速さ v 周期 T 粒子が受ける磁気力 F=q*v*B0

静止質量エネルギー @m 運動量(光速倍) pc=m*c*Γ(v/c)*v 全エネルギー E=@m*Γ(v/c)

r=[m/(q*B0)]*v*Γ=pc/(q*c*B0)

 T=2Pi*r/v=2Pi*[m/(q*B0)]*=2Pi*E/(q*c^2*B0)

CGS静電単位系で r=pc/(q*B0cgs) T=2Pi*E/(q*c*B0cgs)

電子.一様な磁場での運動.相対論 ◇

★ 電子 pc=Ten(11)_eV=e*Ten(11)_J 外周 27_km r=2.7*Ten(4)/(2*Pi)=4300_m

 e*c*B*4300=Ten(11)*e

 B=Ten(11)/{4300*[3*Ten(8)]}=0.0775_T

★ 電子 B=4*Ten(-3)_T 10_keV の電位差で加速する

 E=511+10=521_keV

 pc=root(E^2-@m^2)
=root(521^2-511^2)
=root(1032*10)
=102_keV=1.02*Ten(5)*e_J

 q*c*B*r=pc

 r=[1.02*Ten(5)*e]/{e*[3*Ten(8)]*[4*Ten(-3)]}
=0.85_m

◇ 陽子.一様な磁場での運動.相対論

陽子 @m=938_MeV

★ 陽子 運動エネルギー K=20_MeV B=1_T

 E=938+20=958_MeV=9.58*Ten(8)*e_J

 pc=root(E^2-@m^2)
=root(958^2-938^2)
=root(1896*20)
=195_MeV
=1.95*e*Ten(8)_J

 r=pc/(q*c*B0)=[1.95*e*Ten(8)]/(e*3*Ten(8)*1)=0.85_m

 T=2Pi*E/(q*c^2*B0)
=2Pi*[9.58*Ten(8)*e]/{e*[3*Ten(8)]^2*1}
=6.68*Ten(-8)_sec

 振動数=1/T=1.50*Ten(9)_1/sec

 

r=pc/(q*c*B)
=[5.51*Ten(8)*e]/{e*[3*Ten(8)]*1}
=1.84_m

 T=2Pi*r/v=2Pi*r/(c*pc/E)
=2Pi*1.84/{[3*Ten(8)]*(551/1088)}
=7.61*Ten(-8)_sec

 振動数=1/T=1/[7.61*Ten(-8)]=1.31*Ten(7)_1/sec

★ 陽子 運動エネルギー K=150_MeV B=1_T

 pc=root(1088^2-938^2)
=root(2026*150)
=root(303900)
=551_MeV=551*e_MJ

 q*c*B*r=pc

 r=pc/(q*c*B)
=[5.51*Ten(8)*e]/{e*[3*Ten(8)]*1}
=1.84_m

 T=2Pi*r/v=2Pi*r/(c*pc/E)
=2Pi*1.84/{[3*Ten(8)]*(551/1088)}
=7.61*Ten(-8)_sec

 振動数=1/T=1/[7.61*Ten(-8)]=1.31*Ten(7)_1/sec

★ 陽子 運動エネルギー K=60_GeV Bcgs=0.3_G ⇔ [B=3*Ten(-5)_T]

K>>@m だから pc=E=K=60_GeV=6*Ten(10)_eV=6*Ten(10)*e_J

 q*c*B*r=pc

 r=pc/(q*c*B)
=[6*Ten(10)*e]/(e*c*B)
=[6*Ten(10)]/{[3*Ten(8)]*[3*Ten(-5)]}
=6.67*Ten(6)_m=6670_km

★ 「バークレー物理学コース電磁気」p317問題6.28]
陽子 運動エネルギー K=Ten(16)_eV Γ=Ten(7) 星間磁場 Bcgs=3*Ten(-6)_G

K>>@m であるから E=K=pc=Ten(16)_eV

Bcgs=3*Ten(-6)_G ⇔ B=3*Ten(-10)_T

 pc/(q*c)=Ten(16)/[3*Ten(8)]=(10/3)*Ten(7)

 r=[(10/3)*Ten(7)]/[3*Ten(-10)]=1.1*Ten(17)_m

1_光年=9.461*Ten(15)_m だから、

 r=[1.1*Ten(17)]/[9.461*Ten(15)]=11.6_光年 _

陽子はほぼ光速で動いているとみなせるから、

 T=2Pi*r/c=2Pi*11.6/1=73_年 _ ※ 土星の公転周期 30年

◇ サイクロトロン.相対論

★ 陽子 @m=938_MeV 運動エネルギー K=150_MeV E=1088_MeV B=1_T

 pc=root(1088^2-938^2)
=root(2026*150)
=root(303900)
=551_MeV=551*e_MJ

 q*c*B*r=pc

 r=pc/(q*c*B)
=[5.51*Ten(8)*e]/{e*[3*Ten(8)]*1}
=1.84_m

 T=2Pi*r/v=2Pi*r/(c*pc/E)
=2Pi*1.84/{[3*Ten(8)]*(551/1088)}
=7.61*Ten(-8)_sec

 振動数=1/T=1/[7.61*Ten(-8)]=1.31*Ten(7)_1/sec

★ 陽子 運動エネルギー K=150_MeV B=1_T

 E=K+@m=150+938=1088_MeV

 pc=root(E^2-@m^2)=root(1088^2-938^2)
=root(2026*150)=551_MeV=5.51*e*Ten(8)_J

 r=pc/(q*c*B)=[5.51*Ten(8)*e]/(e*c*B)
=[5.51*Ten(8)]/{[3*Ten(8)]*1}
=1.84_m

 T==2Pi*r/v==2Pi*r/m*v

★ 「バークレー物理学コース電磁気」p317問題6.28]
陽子 運動エネルギー K=Ten(16)_eV Γ=Ten(7) 星間磁場 Bcgs=3*Ten(-6)_G

K>>@m であるから E=K=pc=Ten(16)_eV

Bcgs=3*Ten(-6)_G ⇔ B=3*Ten(-10)_T

 pc/(q*c)=Ten(16)/[3*Ten(8)]=(10/3)*Ten(7)

 r=[(10/3)*Ten(7)]/[3*Ten(-10)]=1.1*Ten(17)_m

1_光年=9.461*Ten(15)_m だから、

 r=[1.1*Ten(17)]/[9.461*Ten(15)]=11.6_光年 _

陽子はほぼ光速で動いているとみなせるから、

 T=2Pi*r/c=2Pi*11.6/1=73_年 _ ※ 土星の公転周期 30年

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