物理 電磁気

2017/7-2012/2 Yuji.W

☆電磁場での運動

_ 荷電粒子 電磁場での運動 非相対論 相対論 電場をなくす 磁場をなくす 等速円運動 トロコイド サイクロトロン _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

◇ クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7) 〔物理定数
 磁場(光速倍) <cB> 磁束 Φ ベクトルポテンシャル <A> 〔電磁気の単位
◇ CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> Φcgs=c*Φ <Acgs>=c*<A>

☆非相対論.一様な磁場での運動☆

◆ 粒子 質量 m 電荷 q 一様な磁場 <B>=<zu>*B 電場なし

初速度 xy平面 初速度の大きさ v

■ 磁場による力は、速度に垂直であるから、速度の大きさを変えない。初速度の大きさ v のままである。磁場による力は、進む方向を変える事に使われる。

 粒子が磁場から受ける力の大きさ F=q*v*B 質量に依らない

粒子は、xy平面上で等速円軌道を描く。

回転の方向 

q>0 & B>0 のとき z軸の方向に左回り(紙面で右回り)

■ その円運動の半径 R ☆運動方程式☆ m*(v^2/R)=q*v*B

 R=(m*v^2)/(q*v*B)=(m/q)*v/B T=2Pi*R/v=2Pi*(m/q)/B

{復習}相対論的運動量、相対論的エネルギー

『相対論的力学.1粒子』

◆ 1粒子 静止質量(光速の2乗倍) @m 速度(対光速比) <b>
運動量(光速倍) <pc> エネルギー E 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)

■ <pc>=@m*Γ(b)*<b> E=@m*Γ(b)

 <pc>'=c*<F> E'=c*<F>*<b> E^2=@m^2+pc^2

{復習}相対論.等速円運動

◎ 一定の向心力を受けて、等速円運動をする粒子の運動を、相対論的に考える

『相対論.等速円運動☆』

◆ 質量 m 等速円運動 半径 R 速さ v 周期 T 向心力 F=一定

相対論効果率 Γ=Γ(v/c)=1/root[1-(v/c)^2]

■ R=Γ*m*v^2/F & T=2Pi*Γ*m*v/F

☆相対論.一様な磁場での運動☆

◆ 1粒子 電荷 q 磁場 <B>=<zu>*B=一様 粒子はxy平面上を等速円運動 半径 R 速さ v 周期 T 粒子が受ける磁気力 F=q*v*B

■ 磁場による力は速度に垂直であるから、速さに影響を及ぼさない。等速円運動になる。

 R=Γ*m*v^2/F=Γ*m*v^2/(q*v*B)=(m/q)*Γ*v/B _

 T=2Pi*Γ*m*v/F=2Pi*Γ*m*v/(q*v*B)=2Pi*(m/q)*Γ/B

≫ R=(m/q)*Γ*v/B T=2Pi*(m/q)*Γ/B _

CGS静電単位系で R=(m/q)*Γ*v*c/Bcgs T=2Pi*(m/q)*Γ*c/Bcgs

■ 磁場(光速倍) cB 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)
質量(光速の2乗倍) @m 運動量(光速倍) pc=Γ*@m*c*b
全エネルギー E=Γ*@m を使えば、

 R=(pc/q)/cB T=2Pi*[E/(c*q)]/cB _

CGS静電単位系 R=(pc/q)/Bcgs T=2Pi*[E/(c*q)]/Bcgs

● 素電荷 e*c=\e*\c*Ten(-11)_C*m/sec=\c*Ten(8)_C*eV/(N*sec) _

{計算例}相対論.一様な磁場での運動

◆ 電子 pc=E=Ten(11)_eV 外周 27_km R=2.7*Ten(4)/(2*Pi)=4300_m 必要な磁場 B_T

 ■ pc/(q*c)=Ten(11)/[\c*Ten(8)]=1000/\c=333

 B=333/4300=0.077_T


◆ 電子 10_keV の電位差で加速する E=61_keV B=4*Ten(-3)_T

■ pc=root(E^2-@m^2)=root(112*10)=root(1120)~33.5_keV

 pc/(q*c)=33.5*Ten(3)/[3*Ten(8)]=1.12*Ten(-4)

 R=[1.12*Ten(-4)]/[4*Ten(-3)]=2.8*Ten(-2)_m=2.8_cm


◆ 陽子 @m=938_MeV 運動エネルギー K=150_MeV E=1088_MeV B=1_T

■ pc=root(1088^2-938^2)=root(2026*150)=root(303900)=551_MeV

 pc/(q*c)=[5.51*Ten(8)]/[\c*Ten(8)]=1.84

 R=[pc/(q*c)]/B=1.84/1=1.84_m

{計算例2}相対論.一様な磁場での運動

◆ 「バークレー物理学コース電磁気」p317問題6.28]

陽子 運動エネルギー K=Ten(16)_eV Γ=Ten(7) 星間磁場 Bcgs=3*Ten(-6)_G

■ K>>@m であるから E=K=pc=Ten(16)_eV

Bcgs=3*Ten(-6)_G ⇔ B=3*Ten(-10)_T

 pc/(q*c)=Ten(16)/[3*Ten(8)]=(10/3)*Ten(7)

 R=[(10/3)*Ten(7)]/[3*Ten(-10)]=1.1*Ten(17)_m

1_光年=9.461*Ten(15)_m だから、

 R=[1.1*Ten(17)]/[9.461*Ten(15)]=11.6_光年 _

陽子はほぼ光速で動いているとみなせるから、

 T=2Pi*R/c=2Pi*11.6/1=73_年 _ ※ 土星の公転周期 30年

{復習}電場をなくす,磁場をなくす

『電場をなくす、磁場をなくす』

◆ K系で <EK>=<y>*EK0 <cBK>=<z>*cBK0

K系のx系に対する速度(対光速比) <b.>=<x>*b.

■ EK0/cBK0<1 のとき b.=-EK0/cBK0 とすれば

 <E>=0 <cB>/<cBK>=1/Γ(b.)

■ cBK0/EK0<1 のとき b.=-cBK0/EK0 とすれば

 <cB>=0 <E>/<EK>=1/Γ(b.)

{復習}トロコイド

『トロコイド』 2017/7

■ xy平面上の位置 (x,y) 回転の半径 R 回転の角速度 w 並進運動の速度 V

トロコイド x=V*t+R*sin(w*t) y=R*[1-cos(w*t)]

☆一様な電磁磁場での運動

◆ 1質点 質量 m 2つの慣性系 K系,x系 K系のx系に対する速度(対光速比) <b.>=<x>*b.

K系で 電場 <EK>=<y>*EK0=一定
 磁場 <BK>=<z>*BK0=一定 磁場(光速倍) <cBK>=<z>*cBK0=一定
 EK0/cBK0<1

■ b.=-EK0/cBK0 とすれば x系で <E>=0 <cB>/<cBK>=1/Γ(b.)

一様な磁場のみ場での運動だから、等速円運動になる。

■ K系では、等速円運動をする質点が、速度(対光速比) <x>*EK0/cBK0 で並進運動をするトロコイドになる _

ドリフトの方向 

q*BK0 > 0 のとき z軸の方向に左回り(紙面で右回り)

y軸正の方向に一定の力を加えると、x軸正の方向にドリフトしていく。 _

▲ 電場はy軸方向に力を加えるのに、x軸方向にドリフトしていく。電気力と磁気力の合力が大きい所では、より大きく曲がり、合力が小さい所ではより直線に近くなるからである。

{一様な重力場+一様な磁場 でも、同じように、重力に対して横方向にドリフトしていくだろう!おもしろい!2017/7}

☆電磁磁場での運動

▼「バークレー物理学コース電磁気」p319問題6.33

◆ 磁場 <BKcgs>=<z>*6000_G 電場 <EK>=-<x>*E0

正イオン q はxy平面上をトロコイドを描いて動く 周期=Ten(-6)_sec トロコイドの頂点間の距離=10_cm

■ 並進運動の方向:y軸方向

 並進運動の速さ=10/Ten(-6)=Ten(7)_cm/sec

 光速比=Ten(7)/[3*Ten(10)]=(10/3)*Ten(-4)

 E0/6000=(10/3)*Ten(-4)

 E0=6000*(10/3)*Ten(-4)=2_静電ボルト/cm _

電磁気力による運動

■ 原点にマイナスの電荷 z軸に平行に一様な磁場 プラスの電荷の運動

電気力(今の場合は引力)を受け原点に向かうが、速度が上がるに連れ、速度に対して右向きの磁気力を受け、右に曲がるようになる。終には、原点から遠ざかるような動きになる。だが、遠ざかる動きは、徐々に速さが遅くなる。遅くなれば、磁気力の影響は減る。止まれば、磁気力は0になり、電気力の引力のみになり、また、原点に向かう運動を始める。速度が上がれば、磁気力が強くなり、右向きに曲がるようになる…。

電磁気力による運動

 x''=-a*x/r^3+b*y'
 y''=-a*y/r^3-b*x'

グラフは、a=1 b=0.1
初期値 x=10 y=0 x'=y'=0
時間間隔1

▲ パラメーターの値を変えると、さまざまな動きになる。上のグラフは、値を適当に調整して得られたものである。

☆お勉強しようUz☆

inserted by FC2 system