物理 電磁気

2015/8-2012/2 Yuji.W

一様な磁場での運動

◎ 荷電粒子 一様な磁場での運動 サイクロトロン

Lorestz力 電荷 +q が電磁場から受ける力 <F>=q*(<E>+<v>#<B>)

◇ ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数  2015/07/14

☆非相対論-荷電粒子の、一様な磁場での運動☆

◎ 非相対論 一様な磁場に垂直に飛び込む電荷の運動

◆ 粒子 質量 m 電荷 q 一様な磁場 <B>=<zu>*B0 電場なし

初速度 xy平面 初速度の大きさ v0

■ 磁場による力は、速度に垂直であるから、速度の大きさを変えない。初速度の大きさ v0 のままである。磁場による力は、進む方向を変える事に使われる。

 粒子が磁場から受ける力の大きさ F=q*v0*B0 質量に依らない

粒子は、xy平面上で等速円軌道を描く。

■ その円運動の半径 R 角速度 w R*w=v0 周期=2Pi*R/v0

 加速度=R*w^2=R*(v0/R)^2=v0^2/R

運動方程式 m*(v0^2/R)=q*v0*B0

 R=(m*v0^2)/(q*v0*B0)=m*v0/(q*B0)  回転半径が定まった

 w=v0/[m*v0/(q*B0)]=q*B0/m

 T=2Pi*R/v0=2Pi*[m*v0/(q*B0)]/v0=2Pi*m/(q*B0)

『荷電粒子の、一様な磁場での運動』 2015/8

◆ 粒子 質量 m 電荷 q 一様な磁場 <B>=<zu>*B0 電場なし

初速度 xy平面 初速度の大きさ v0

■ xy平面上で等速円軌道 R=m*v0/(q*B0) w=q*B0/m T=2Pi*m/(q*B0)

★ 電子を 10_keV の電位差で加速する。質量 @m=0.510_MeV 速さ v 運動量 p ?

電子が得た運動エネルギー=Ten(4)_eV

 (v/c)^2=2*Ten(4)/[0.510*Ten(6)]~3.92*Ten(-2)_ v/c~0.198

 v=0.198*[3*Ten(8)]=5.94*Ten(7)_m/sec~6000_km/sec

 p=m*v=[9.109*Ten(-31)]*[5.94*Ten(7)]~5.41*Ten(-23)_kg*m/*sec

半径 0.1_m で回転させるのに必要な磁場 B0

 B0
=m*v0/(q*R)
=p/(q*R)
=5.41*Ten(-23)/{[1.602*Ten(-19)]*0.1}
=5.41*Ten(-23)/{[1.602*Ten(-19)]*0.1}
~3.38*Ten(-3)_T 棒磁石の 1/100

☆相対論-荷電粒子の、一様な磁場での運動☆

◎ 相対論 一様な磁場に垂直に飛び込む電荷の運動

◆ 粒子 質量 m 電荷 q 一様な磁場 <B>=<zu>*B0 電場なし

初速度 xy平面 初速度の大きさ v0

■ 磁場による力は、速度に垂直であるから、速度の大きさを変えない。初速度の大きさ v0 のままである。磁場による力は、進む方向を変える事に使われる。

 粒子が磁場から受ける力の大きさ F0=q*v0*B0 質量に依らない

粒子は、xy平面上で等速円軌道を描く。b0=v0/c Γ(b0)=1/root(1-b0^2)

 その円運動の半径 R
=Γ(b0)*m*v0^2/F0
=Γ(b0)*m*v0^2/(q*v0*B0)
=Γ(b0)*m*v0/(q*B0)

≫ R=Γ(b0)*m*v0/(q*B0)  回転半径が定まった

 角速度 w=v0/R=q*B0/[Γ(b0)*m]

 周期 T=2Pi*Γ(b0)*m/(q*B0)

『相対論 荷電粒子の、一様な磁場での運動』 2015/8

◆ 粒子 質量 m 電荷 q 一様な磁場 <B>=<zu>*B0 電場なし

初速度 xy平面 初速度の大きさ v0 v0/c=b0 Γ(b0)=1/root(1-b0^2) 運動量 p

■ xy平面上で等速円軌道 R=Γ(b0)*m*v0/(q*B0)=p/(q*B0)

 w=q*B0/[Γ(b0)*m] T=2Pi*Γ(b0)*m/(q*B0)

■ E>>@m のとき p=E/c R=E/(q*B0*c)

さらに E_eV q=単位電荷 ならば R=E/(B0*c)

『電子が持つエネルギー.運動量』 2015/8

b=0.1 E~8*Ten(-14)_J~5*Ten(5)_eV p~Ten(-23)_kg*m/sec

b=0.999 E~2*Ten(-12)_J~Ten(7)_eV p~2*Ten(-21)_kg*m/sec

★ 電子 E=Ten(8)_eV B=0.1_T

 R={Ten(8)*e/[3*Ten(8)]}/(e*0.1)~3.3_m

★ 電子 E=Ten(11)_eV 外周 27_km の円運動をさせるのに必要な磁場 B0

 半径 R=27000/(2Pi)=4300_m

 B0=E/(R*c)=Ten(11)/{4300*[3*Ten(8)]}=0.078_T 棒磁石程度 磁場を強くするのは難しいので、半径を大きくする事で解決する{!}

☆サイクロトロン☆

■ 一様な磁場に垂直に飛び込む荷電粒子は、等速円運動になる。次のような特徴がある。

・角速度や周期が、初速度に依らない。何らかの方法で、速度が変化しても、角速度や周期は変わらない。

・回転半径は、速度に比例する

■《サイクロトロンの原理》

荷電粒子にエネルギーを注入し、速さを増したい。電場を使って加速すればよいのだが、長い距離が必要になってしまう。磁場は、荷電粒子の軌道を変える事はできるが、速さを増す事はできない。

磁場を使って、荷電粒子を円軌道させる。ある所に来た時に、電場を使って速さを増す。それを繰り返す。必要な速さになった粒子を、円軌道を止めさせ、サイクロトロンの外に取り出せばよい。

一様な磁場に垂直に、小さな初速を与えた荷電粒子を放り込む。角速度、周期、回転半径、速さが変わらない、円運動を描く。

ある所に来たら、電場を使って、その速さを増すようにする。

半径は大きくなる。角速度、周期は変わらない。また同じタイミングで、電場を使って、速さを増すようにする。さらに、速さが増し、より大きい半径を描く。それを繰り返す。

必要な速さを得られるような半径に達したら、装置の外に飛び出すようにすればよい。

{かしこい装置だなあ!2015/7}

■ サイクロトロンの発明 アメリカの物理学者 アーネスト・ローレンス 1930年に基礎理論を発表 1939年ノーベル賞


◆ サイクロトロン 一様な磁場 B0

荷電粒子 質量(光速の2乗倍) @m 電荷 q=Z*e 運動量(光速倍) pc

■ r=[m/(q*B0)]*v=pc/(q*B0*c) pc=Z*e*B0*c*r

● e~(1.602 176 565)*Ten(-19)_C 1_eV=e_J 1_J=1/e_eV

磁場の単位 1_gauss=Ten(-4)_T [(N/C)/(m/sec)]=[T]

 [e*B0*c*r]=[C]*[(N/C)/(m/sec)]*[m/sec]*[m]=[N*m]=[J]

pc_MeV=pc*e*Ten(6)_J B0_gauss=B0*Ten(-4)_T r_m とすれば

 pc*e*Ten(6)=Z*e*[B0*Ten(-4)]*c*r

 pc=Z*B0*r*Ten(-10)*3*Ten(8)=0.03*Z*B0*r 

★ B0=Ten(4)_gauss=1_T

陽子 Z=1 @m=938_MeV 運動エネルギー K=150_MeV E=1088_MeV

{解} pc=root(1088^2-938^2)=root(2026*150)=root(303900)=551_MeV

 r=pc/(0.03*B0)=551/[0.03*Ten(4)]=1.84_m

 w
=e*B0*c^2/@m
=e*1*c^2/[938*Ten(6)*e]
=9*Ten(16)/[938*Ten(6)]
=9.59*Ten(7)_1/sec

☆一様な電磁場での運動☆

◆ 質量 m 電荷 q <E>=<yu>*Ey <B>=<zu>*Bz 速度 <v>=<vx vy vz>

初速度はxy平面上 以上、xyz系

XYZ系 座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu> は変わらない

 X=x-(Ey/Bz)*t Y=y Z=z 速度 <V>=<Vx Vy Vz>

 X'=x'-Ey/Bz ⇒ Vx=vx-Ey/Bz

■ <F>=q*(<yu>*Ey+<v>#<zu>*Bz)

電場がなければ、xy平面上の円運動、それに、電場によるy軸方向の一定の力が加わり、等加速度運動が追加される。

一様な磁場での運動

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