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2016/2-2012/10 Yuji.W

調和振動子.1次元.摩擦あり

◎ 振動 1次元の調和振動子 単振動 ビリアル定理 harmonic oscillator

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

◇調和振動子.1次元.摩擦あり◇

「2階/線型/非斉次/定数係数/微分方程式」

◆ x=x(t) x''+p*x'+q*x=f〔p,q,f:定数〕

基本解 x1,x2 特殊解 x3 一般解 x=C1*x1+C2*x2+x3 〔C1,C2:積分定数〕

基本解の求め方 複素数 h に対して x=exp(h*t) と仮定して解く

h が満たすべき方程式[特性方程式] H(h)=h^2+p*h+q=0 その解 h1,h2

 x1=exp(h1*t) x2=exp(h2*t)

■ 特殊解 x3 は、適当に求めて 一般解 x=C1*x1+C2*x2+x3

x''+b^2*x=0 H(h)=h^2+b^2=0 h=±i*b

基本解 @ expi(b*t),expi(-b*t) A cos(b*t),sin(b*t) B cos(b*t+α)

H(h)=0 の解が1つだけ[重根] h1 微分方程式の基本解 exp(h1*t) t*exp(h1*t)

◎ 1次元調和振動子 摩擦あり

◆ |www- 一定の大きさの摩擦

調和振動子 質点の質量 m 1次元 バネの力 F(x)=-k*x 〔k:正の定数〕

動摩擦係数 μ 摩擦力 m*g*μ 摩擦力は動く方向に逆向き

※ 静止摩擦係数は、一般に動摩擦係数よりも大きいのだが、面倒なので、同じとする

t=0 で x=x0>0 , x'=0

振動する場合を考えて k*x0>m*g*μ m*g*μ/k=X_長さ x0>X 周期 T

■ 運動方程式 x'≦0 のとき m*x''=-k*x+μ*m*g @

 x'>0 のとき m*x''=-k*x-μ*m*g A

@を解く 0≦t≦T/2 

 x''+(k/m)*x=μ*g

w=root(k/m) と置いて 基本解 x1=cos(w*t) , x2=sin(w*t)

特殊解 x3=定数 と仮定して (k/m)*x3=μ*g x3=μ*m*g/k=X

 一般解 x=C1*cos(w*t)+C2*sin(w*t)+X

 x'=-C1*w*sin(w*t)+C2*w*cos(w*t)

t=0 で x0=x=C1+X 0=x'=C2*w

 C1=x0-X C2=0

 x=(x0-X)*cos(w*t)+X x'=-(x0-X)*w*sin(w*t)  摩擦がない場合と比べ、周期は変わらない、振幅が変わる

〔X=m*g*μ/k w=root(k/m) T=2Pi/w=2Pi*root(m/k)〕

w*t→

0

Pi/2

Pi

x

x0

X

-(x0-2*X)

x'

0

-(x0-X)*w

0

■ x0>2*X の場合を考えて Aを解く T/2≦t≦T 

運動方程式 m*x''=-k*x-μ*m*g w*t=Pi で x=-(x0-2*X) , x'=0

 x''+(k/m)*x=-μ*g

w=root(k/m) と置いて 基本解 x1=cos(w*t) , x2=sin(w*t)

特殊解 x3=定数 と仮定して (k/m)*x3=-μ*g x3=-μ*m*g/k=-X

 一般解 x=C1*cos(w*t)+C2*sin(w*t)-X

 x'=-C1*w*sin(w*t)+C2*w*cos(w*t)

w*t=Pi で -(x0-2*X)=x=-C1-X 0=x'=-C2*w

 C1=x0-3*X C2=0

 x=(x0-3*X)*cos(w*t)-X x'=-(x0-2*X)*w*sin(w*t)  振幅が小さくなっていく

w*t→

Pi

3*Pi/2

2*Pi

x

-(x0-2*X)

-X

x0-4*X

x'

0

-(x0-2*X)*w

0

{振幅が小さくなっていく。周期は変わらない。おもしろい!2015/9}

 調和振動子.1次元.摩擦あり 

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