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☆ 調和振動子.1次元.摩擦力一定 ☆ |
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◎ 振動 1次元の調和振動子 一定の摩擦力 harmonic oscillator ★ 〔物理定数 定数.宇宙 力学の単位 電磁気の単位〕 |
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≪ベクトル≫ ベクトル <A> 内積
* 外積 # |<A>|=A <A>/A=<Au>
≪座標≫ デカルト座標 <xu>,<yu>,<zu> |
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〓 2階/線型/非斉次/定数係数/微分方程式 〓 ◆ x=x(t) x''+p*x'+q*x=f〔p,q,f:定数〕 基本解 x1,x2 特殊解 x3 一般解 x=C1*x1+C2*x2+x3 〔C1,C2:積分定数〕 ■ 基本解の求め方 複素数 h に対して x=exp(h*t) と仮定して解く h が満たすべき方程式[特性方程式] H(h)=h^2+p*h+q=0 その解 h1,h2 x1=exp(h1*t) x2=exp(h2*t) ■ 特殊解 x3 は、適当に求めて 一般解 x=C1*x1+C2*x2+x3 ■ x''+b^2*x=0 H(h)=h^2+b^2=0 h=±i*b 基本解 ① expi(b*t),expi(-b*t) ② cos(b*t),sin(b*t) ③ cos(b*t+α) ■ H(h)=0 の解が1つだけ[重根] h1 微分方程式の基本解 exp(h1*t) t*exp(h1*t) |
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〓 調和振動子.1次元.摩擦あり 〓 ◎ 1次元調和振動子 摩擦あり ◆ |www-● 一定の大きさの摩擦 調和振動子 質点の質量 ｍ 1次元 バネの力 F(x)=-k*x 〔k:正の定数〕 動摩擦係数 μ 摩擦力 m*g*μ 摩擦力は動く方向に逆向き ※ 静止摩擦係数は、一般に動摩擦係数よりも大きいのだが、面倒なので、同じとする t=0 で x=x0>0 , x'=0 振動する場合を考えて k*x0>m*g*μ m*g*μ/k=X_長さ x0>X 周期 T ■ 運動方程式 x'≦0 のとき m*x''=-k*x+μ*m*g ① x'>0 のとき m*x''=-k*x-μ*m*g ② ①を解く 0≦t≦T/2 x''+(k/m)*x=μ*g w=root(k/m) と置いて 基本解 x1=cos(w*t) , x2=sin(w*t) 特殊解 x3=定数 と仮定して (k/m)*x3=μ*g x3=μ*m*g/k=X 一般解 x=C1*cos(w*t)+C2*sin(w*t)+X x'=-C1*w*sin(w*t)+C2*w*cos(w*t) t=0 で x0=x=C1+X 0=x'=C2*w C1=x0-X C2=0 x=(x0-X)*cos(w*t)+X x'=-(x0-X)*w*sin(w*t) ★ 摩擦がない場合と比べ、周期は変わらない、振幅が変わる 〔X=m*g*μ/k w=root(k/m) T=2Pi/w=2Pi*root(m/k)〕
■ x0>2*X の場合を考えて ②を解く T/2≦t≦T 運動方程式 m*x''=-k*x-μ*m*g w*t=Pi で x=-(x0-2*X) , x'=0 x''+(k/m)*x=-μ*g w=root(k/m) と置いて 基本解 x1=cos(w*t) , x2=sin(w*t) 特殊解 x3=定数 と仮定して (k/m)*x3=-μ*g x3=-μ*m*g/k=-X 一般解 x=C1*cos(w*t)+C2*sin(w*t)-X x'=-C1*w*sin(w*t)+C2*w*cos(w*t) w*t=Pi で -(x0-2*X)=x=-C1-X 0=x'=-C2*w C1=x0-3*X C2=0 x=(x0-3*X)*cos(w*t)-X x'=-(x0-2*X)*w*sin(w*t) ★ 振幅が小さくなっていく
{振幅が小さくなっていく。周期は変わらない。おもしろい!2015/9} |
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