物理 力学

2015/11-2011/9 Yuji.W

最小作用の原理

◎ 作用 最小作用の原理 ☆ action

〔表記〕ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#〔物理定数
微分 y;x 2階微分 y;;x 
時間微分 y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
累乗 ^ 10^x≡Ten(x) 1/x≡Over(x) exp(i*x)≡expi(x) 複素共役 z!
.2015/11/13

◇最小作用の原理から、運動方程式を導き出す◇

◆ 1次元 位置エネルギー U(x) 質量 m

■ S=${K-U}*dt=${(1/2)*m*x'^2-U(x)}*dt

実際に起きる運動x(t)から、ほんの少し x(t)+η(t) ずれた運動を考える。作用も δS 増えるとする。

「最小作用の原理」実際の運動の作用が、最も小さい => このずれに対する「作用」のずれの1次の効果が 0 である。

 S+δS=${(1/2)m(x'+η')^2-U(x+η)}*dt
=${(1/2)m(x'+η')^2-U(x+η)}*dt

ところが、

 (x'+η')^2=x'^2+2*x'*η'+(2次以上の小さな値)

 U(x+η)=U(x)+η*U;x+(2次以上の小さな値)

まとめると、2次以上の小さな値を無視すると

 δS=${m*x'*η'-η*U;x}*dt

(第1項)を部分積分すると、

 ${m*x'*η'}*dt=m*x'*η-m*${x''*η}*dt

したがって、

 δS=[m*x'*η][t:T1->T2]-${m*x''*η+η*U;x}*dt

η(t) は、実際に起きる運動のずれを表し、その端の値は、実際の運動と同じであるので、

 η(T1)=η(T1)=0 => [m*x(t)'*η(t)][t:T1->T2]=0-0=0

したがって、

 δS=-${(m*x''+U;x)*η}*dt

このずれ δS は、η が何であっても、0 にならなくてはならない(最小作用の原理)ので、

 m*x''+U;x=0
 m*x''=-U;x=F

  最小作用の原理  

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