☆ 最小作用の原理 ☆

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〇 作用  最小作用の原理  action  ◇ ラグランジアン ℒ  角運動量 L  analytical mechanics  2024.3-2011.9    Yuji.W  ★ 

◇ 2*3=6  Ten(3)=10^3=1000  微分 ;  偏微分 :  積分 $  e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>  縦ベクトル <A)  単位ベクトル <xu>  内積 *  外積 #    000 

〓  変分法、オイラーの公式  〓  ★  ◇ 微分 ;  偏微分 :

〇 変数 x  その関数 y=F(x)  dy/dx=y;x=y'

以上の3つから表される汎関数(関数の関数) f(x,y,y') ※ x,y,y' は独立変数であるとみなす

積分 I=${f(x,y,y')*dx (x|x1~x2)} を考える。

I が停留値をとるときの y=F(x) を求めたい{!}

 I が停留値をとるために、関数 f(x,y,y') がとるべき条件

   f:y=(f:y');x  ★  オイラー・ラグランジュ方程式

▲ 左辺 f を y で偏微分  右辺 f を (dy/dx) で偏微分したのち x で微分

 〇 f:x=0 のとき f-y'*(f:y')=一定 ★ ベルトラミの公式

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〇

▢ 最小作用の原理 〓
◎ 運動方程式 F=m*a の代わりに、最小作用の原理をスタートして、力学を再構築したい。
▢ 1質点1次元の運動 質量 m 時間 t 一般座標 q=q(t) 一般速度 dq/dt=q;t=q'
t=t1 のとき q=q1 t=t2 のとき q=q2
運動エネルギー K(q'^2) 位置エネルギー U(q)
ラグランジアン ℒ(q,q',t)=K(q'^2)-U(q) 作用 S=${ℒ(q,q',t)*dt}[t:t1~t2]
※ 一般に、位置エネルギーは、時間に陽に依らないことが多い。ただし、時間に陽に依る場合でもよい。
▷ 作用が最小値をとるように、運動する ★ 最小作用の原理
そのための条件は、オイラーの公式より (ℒ,q');t=ℒ,q ★ ラグランジュ方程式
さらに ℒ,t=0 のとき、ベルトラミの公式より ℒ-q'*(ℒ,q')=一定 ★
▷ 一般運動量 p=ℒ,q' 一般力 Q=ℒ,q=-U,q を導入すれば、
オイラーの公式は p;t=Q ★ ニュートンの運動方程式の拡張
さらに ℒ,t=0 のとき、ベルトラミの公式より ℒ-q'*p=一定 ★ エネルギー保存

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〇 ラグランジュ方程式 〓 ◎ 運動方程式 ▢ 自由度 s 一般座標 qi〔 i=1,2,…,s 〕 ラグランジアン ℒ(qi,qi',t)
▷ ラグランジュ方程式 (ℒ,qi');t=ℒ,qi〔 i=1,2,…,s 〕

▢

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〇 点と終点は一致するとして、δq(t1)=δq(t2)=0
δS
=${[ℒ(q+δq,q'+δq',t)]*dt}[t:t1~t2]-${ℒ(q,q',t)*dt}[t:t1~t2]
=${[(ℒ,q)*δq+(ℒ,q')*δq']*dt}[t:t1~t2]
${(ℒ,q')*δq'*dt}[t:t1~t2]
={(ℒ,q')*δq}[t:t1~t2]-${[(ℒ,q');t]*δq*dt}[t:t1~t2] だから、
δS
={(ℒ,q')*δq}[t:t1~t2]+${[ℒ,q-(ℒ,q');t]*δq*dt}[t:t1~t2]
=${[ℒ,q-(ℒ,q');t]*δq*dt}[t:t1~t2]
実際の運動では、任意の変分を加えても変化がないから、
ℒ,q-(ℒ,q');t=0
(ℒ,q');t=ℒ,q ★

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▢ ラグランジアンの任意性 〓 ◎ ◇ ●
〇 ℒ=K-U という定義ではあるが、任意性がある。結局、次の式が成り立てばよいからである。
(ℒ,q');t-ℒ,q=0
①ℒ を定数倍してもよい。 ★
②任意の関数 f(q,t) {\ℒ}=ℒ+f' ★ のとき、
\S=${\ℒ}dt[t:t1~t2]=$ℒdt[t:t1~t2]+${f'}dt[t:t1~t2]
=S+f(q2,t2)-f(q1,t1)
変分を考えると、第2項と第3項は消えるから、
δ\S=δS

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〇 最小作用の原理から、運動方程式を導き出す 〓 ◎ ◇ ●
▢ 1次元 位置エネルギー U(x) 質量 m
▷ S=${K-U}*dt=${(1/2)*m*x'^2-U(x)}*dt
実際に起きる運動x(t)から、ほんの少し x(t)+η(t) ずれた運動を考える。作用も δS 増えるとする。
「最小作用の原理」実際の運動の作用が、最も小さい => このずれに対する「作用」のずれの1次の効果が 0 である。
S+δS=${(1/2)m(x'+η')^2-U(x+η)}*dt
=${(1/2)m(x'+η')^2-U(x+η)}*dt
ところが、
(x'+η')^2=x'^2+2*x'*η'+(2次以上の小さな値)
U(x+η)=U(x)+η*U;x+(2次以上の小さな値)
まとめると、2次以上の小さな値を無視すると
δS=${m*x'*η'-η*U;x}*dt
(第1項)を部分積分すると、
${m*x'*η'}*dt=m*x'*η-m*${x''*η}*dt
したがって、
δS=[m*x'*η][t:t1~t2]-${m*(x;;t)*η+η*U;x}*dt
η(t) は、実際に起きる運動のずれを表し、その端の値は、実際の運動と同じであるので、
η(T1)=η(T1)=0 => [m*x(t)'*η(t)][t:t1~t2]=0-0=0
したがって、
δS=-${(m*(x;;t)+U;x)*η}*dt
このずれ δS は、η が何であっても、0 にならなくてはならない(最小作用の原理)ので、
m*(x;;t)+U;x=0
m*(x;;t)=-U;x=F

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