お勉強しようUz〕 数学 積分

2017/2-2016/10 Yuji.W

1/root(x^2+A) の積分

. 1/root(x^2+A) の積分 1/squre(x^2+A) の積分 (x^2+A)^(-1/2) の積分

◇ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 内積* 外積# 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 〔物理定数〕 _

◇1/root(x^2+A)◇

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

1/root(x^2+1)

0.316

0.447

0.707

1

0.707

0.447

0.316

ln[x+root(x^2+1)]

-1.818

-1.444

-0.881

0

0.881

1.444

1.818

{まずこういう計算をすることが大事!2016/12}

◇1/root(x^2+A) の積分◇

■ A>0 のとき 1/root(x^2+A) はすべての実数 x で定義できる

 ${[1/root(x^2+A)]*dx}=ln[x+root(x^2+A)]+積分定数 .

{確かめ} [root(x^2+A)];x=(1/2)*(2*x)/root(x^2+A)=x/root(x^2+A)

 [x+root(x^2+A)];x
=1+x/root(x^2+A)
=[x+root(x^2+A)]/root(x^2+A)

 {ln[x+root(x^2+A)]};x
={[x+root(x^2+A)]/root(x^2+A)}/[x+root(x^2+A)]
=1/root(x^2+A) ‖

◇1/root(x^2+A) の定積分◇

■ ln[a+root(a^2+1)]+ln[-a+root(a^2+1)]=0

■ b>0 のとき ln[a+root(a^2+b)]+ln[-a+root(a^2+b)]=ln(b)

◎ x軸に対する対称性は成り立っているのか ?

■ ${[1/root(x^2+1)]*dx}[x:0~1]
={ln[x+root(x^2+1)]}[x:0~1]
=ln(1+root2)-ln(1)
=ln(1+root2)~0.881

 ${[1/root(x^2+1)]*dx}[x:-1~0]
=ln(1)-ln(-1+root2)
=-ln(-1+root2)~0.881

ここで ln(1+root2)+ln(-1+root2)=ln(1)=0

 ${[1/root(x^2+1)]*dx}[x:0~1]=${[1/root(x^2+1)]*dx}[x:-1~0]

x軸に対する対称性は確認できた{!}

■ ${[1/root(x^2+3)]*dx}[x:0~2]
={ln[x+root(x^2+3)]}[x:0~2]
=ln(2+root7)-ln(root3)
=ln(2+root7)-(1/2)*ln(3)

 ${[1/root(x^2+3)]*dx}[x:-2~0]
={ln[x+root(x^2+3)]}[x:-2~0]
=ln(root3)-ln(-2+root7)
=(1/2)*ln(3)-ln(-2+root7) 

ここで [ln(2+root7)-(1/2)*ln(3)]-[(1/2)*ln(3)-ln(-2+root7)]
=[ln(2+root7)+ln(-2+root7)]-ln(3)
=ln(3)-ln(3)
=0

 ${[1/root(x^2+3)]*dx}[x:0~2]=${[1/root(x^2+3)]*dx}[x:-2~0]

x軸に対する対称性は確認できた{!}

◇1/root(x^2+A) の積分の、x軸に対する対称性◇

◆ 正の定数 X,A に対して、次の定積分の値を比べる。

I1=${dx/root(x^2+A^2)}[x:0~X] I2=${dx/root(x^2+A^2)}[x:-X~0]

x軸に対する対称性から I1=I2 になるはず{!}

■ I1
={ln[x+root(x^2+A^2)]}[x:0~X]
=ln[X+root(X^2+A^2)]-ln(A)

 I2=ln(A)-ln[-X+root(X^2+A^2)]

ここで ln[X+root(X^2+A^2)]+ln[-X+root(X^2+A^2)]
=ln{[X+root(X^2+A^2)]*[-X+root(X^2+A^2)]}

 {~}=[root(X^2+A^2)]^2-X^2=X^2+A^2-X^2=A^2 だから、

 ln[X+root(X^2+A^2)]+ln[-X+root(X^2+A^2)]=ln(A^2)=2*ln(A)

この結果を使うと、

 I1-I2
={ln[X+root(X^2+A^2)]-ln(A)}-{ln(A)-ln[-X+root(X^2+A^2)]}
={ln[X+root(X^2+A^2)+ln[-X+root(X^2+A^2)]}-2*ln(A)
=2*ln(A)-2*ln(A)
=0

≫ I1=I2

{悩んだ!やっとできた!2016/12}

双曲線関数の利用

「積分-双曲線関数、逆双曲線関数」 2015/4

■ sinh(x) ⇒ cosh(x) cosh(x) ⇒ sinh(x) 1/cosh(x)^2 ⇒ tanh(x)

■ cosh(x/a) ⇒ a*sinh(x/a) sinh(x/a) ⇒ a*cosh(x/a)

 1/cosh(x)^2 ⇒ a*tanh(x/a)

■ 1/root(x^2-1) ⇒ arcosh(x)=ln[x+root(x^2-1)]

 1/root(x^2+1) ⇒ arsinh(x)=ln[x+root(x^2+1)]

 1/(1-x^2) ⇒ artanh(x)=(1/2)*ln[(1+x)/(1-x)]

■ 1/root(x^2-a^2) ⇒ arcosh(x/a)=ln[x+root(x^2-a^2)]-ln(a)

 1/root(x^2+a^2) ⇒ arsinh(x/a)=ln[x+root(x^2+a^2)]-ln(a)

 1/(a^2-x^2) ⇒ artanh(x/a)=(1/2)*ln[(a+x)/(a-x)]

■ 1/root(a^2-x^2) ⇒ arcsin(x/a)

 1/(x^2+1)} ⇒ arctan(x) 1/(x^2+a^2) ⇒ (1/a)*arctan(x/a)

お勉強しようUz〕 数学 積分 1/root(x^2+A^2) の積分

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