物理 力学

2013/ Yuji.W

☆パップスの定理☆

◎重心の移動距離と面積や体積との関係 ☆pappus

表示のお約束 物理定数 ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 成分:x 内積* 外積#
微分;x 2階微分;;x 時間微分' 積分$ 球座標(r,a,b) 円柱座標(r.,a,z)
sin=S cos=C tan=T lin=ln e^(i*x)=expi(x) 桁Ten 2013/9/20

◇パップスの定理-元祖◇

◇線分 CA の長さの2乗 CA^2

■パップス Pappus エジプトの数学者 4世紀

直角

■元祖パッブスの定理(中線定理)

三角形ABC AB の中点 M AM=BM=AB/2

 CA^2+CB^2=2*(CM^2+AM^2) 

■CA=CB のとき 二等辺三角形 CA^2=CM^2+AM^2

 直角三角形ACMのピタゴラスの定理

{証明}直角三角形を4つ作り、ピタゴラスの定理を使って、証明する。

 直角三角形APM≡直角三角形BQM より、PM=QM

直角三角形APCで CA^2=PA^2+PC^2=PA^2+(CM+PM)^2
=PA^2+CM^2+2*CM*PM+PM^2=(PA^2+PM^2)+CM^2+2*CM*PM
=AM^2+CM^2+2*CM*PM

直角三角形BQCで CB^2=QB^2+QC^2=QB^2+(CM-QM)^2
=QB^2+CM^2-2*CM*QM+QM^2
=BM^2+CM^2-2*CM*QM

 CA^2+CB^2
=(AM^2+CM^2+2*CM*PM)+(BM^2+CM^2-2*CM*QM)

 AM^2+BM^2=2*AM^2 2*CM*PM-2*CM*QM=0 だから、

 CA^2+CB^2=2*(CM^2+AM^2) 』{簡単にできた!2012/12}

◇パップスの定理-2次元回転◇

■長さ a の線分を、端を原点として1回転させ、円を作る。

線分の中点がえがく円の周の長さ L その線分がえがく円の面積 S

 L=2Pi*(a/2)=Pi*a L*a=Pi*a^2=S 

■長さ a の線分を、原点から b だけ離して1回転させ、円環を作る。

線分の中点がえがく円の周の長さ L その線分がえがく円の面積 S

 L=2Pi*(a/2+b)=Pi*(a+2*b) L*a=Pi*(a^2+2*a*b)

 S=Pi*[(a+b)^2-b^2]=Pi*(a^2+2*a*b)

 L*a=S 

◇パップスの定理-2次元一般◇

■長さ a の線分を、その軌道が常に、線分と垂直になるように動かす。

線分の中点がえがいた軌道の長さ L その線分がえがく面積 S

 L*a=S 

{証明}?

◇パップス・ギュルダンの定理-3次元回転体◇

■ギュルダン スイス 数学者 1577-1643

■ある平面を1回転させて、回転体を作る

平面の面積 S 重心の移動した距離 L

回転体の体積 V=S*L 

{例}長方形(横 R 縦 h) 縦を軸とした中空の円柱

 S=R*h L=2Pi*(R/2)=Pi*R S*L=Pi*R^2*h=V

{例}長方形(横 R 縦 h) 縦の1辺から x だけ離れた直線を軸とした中空の円柱

 S=R*h L=2Pi*(R/2+x)=Pi(R+2*x) S*L=Pi*(R^2+2*R*x)*h

 V=Pi*[(R+x)^2-x^2]*h
=Pi*[R^2+2*R*x]*h

 S*L=V

{例}直角三角形(底辺 R 高さ h) 高さを軸とした円錐

 S=R*h/2 重心の半径=(R/2)*(2/3)=R/3 L=2Pi*(R/3)=(2/3)*Pi*R

 S*L=(1/3)*Pi*R^2*h=V {素晴らしい!}

◇パップスの定理-3次元一般◇

■平面を動かす。その軌道と平面は常に垂直であるとする。

平面の面積 S 重心の移動した距離 L

 その平面の作る体積 V=S*L 

{証明}?

◇パップスの定理の利用◇

{例}底面積Sをまっすぐ上にhだけ持ち上げ、角柱や円柱を作る。

 V=S*h

{例}縦h、横rの長方形の縦の一辺を回転の軸として一回転させ、円柱を作る。

円柱の体積V

 S=r*h L=2Pi*(r/2)=Pi*r S*L=[Pi*r]*[rh]=Pi*r^2*h=V

{例}底辺r、高さh の直角三角形を、その高さの部分を軸として一回転させ、円錐を作る。

 S=rh/2 L=2Pi*(r/3)=(2/3)Pi*r S*L=(1/3)Pi*r^2*h=V

{例}半径 r の半円を、直線の部分を軸として一回転させ、球を作る。

半円の重心の、直線からの距離 x を求めよう。

 S=Pi*r^2/2 L=2Pi*x S*L=Pi*^2*r^2*x V=(4/3)Pi*r^3

 Pi^2*r^2*x=(4/3)Pi*r^3

 x=(4/3Pi)*r~0.42*r

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