数学 図形  2017/10-2013 Yuji.W

☆ 回転体のパップスの定理

◎ パップス・ギュルダンの定理 回転体 側面積 質量の中心 重心 Pappus-Guldinus スイス 数学者 1577-1643 _

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

〓 質量の中心 

■ 2質点 質量 m1,m2 位置 x1,x2

 質量の中心 G=(m1*x1+m2*x2)/(m1+m2)

■ 曲線の質量の中心 曲線の線密度が 1 であるとして求める

面積の質量の中心 面積の面密度が 1 であるとして求める

〓 回転体の側面積.パップスの定理 

◆ 母線 y=f(x) x1<x<x2 0≦y x軸の周りを1回転させ、回転体を作る

母線の長さ L 側面積 S

母線が線密度一定の針金だとみなし、その質量の中心の回転軸からの距離 r1

■ L=${root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2]

 S=2Pi*${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2]

ここで、

 r1
=(${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2])/${root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2]
=(${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2])/L _

 ${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2]=r1*L

⇒ S=2Pi*${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2]=2Pi*r1*L

》 S=2Pi*r1*L _

{やっとわかった!5年かかった!2017/11}

〓 回転体の体積.パップスの定理 

◆ 母線 y=f(x) x1<x<x2 0≦y x軸の周りを1回転させ、回転体を作る

母線とx軸と2直線 x=x1,x=x2 に囲まれた平面の面積 A 回転体の体積 V

母線が作る平面の面密度が一定だとみなし、その質量の中心の回転軸からの距離 r2

■ A=${y*dx}[x:x1~x2]

 r2=(${(y/2)*y*dx}[x:x1~x2])/A=(1/2)*(${y^2*dx}[x:x1~x2])/A _

 ${y^2*dx}[x:x1~x2]=2*r2*A

 V=Pi*${y^2*dx}[x:x1~x2]=2Pi*r2*S

》 V=2Pi*r2*S _

〓 回転体のパップスの定理 

◆ 母線 y=f(x) x1<x<x2 0≦y x軸の周りを1回転させ、回転体を作る

母線の長さ L 母線の質量の中心の回転軸からの距離 r1

母線と回転軸との間の断面積 A 断面積の質量の中心の回転軸からの距離 r2

 r1=(${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2])/L

 r2=(1/2)*(${y^2*dx}[x:x1~x2])/A

側面積 S=2Pi*r1*L 体積 V=2Pi*r2*A

〓 パップスの定理の利用 〓 

◆ 円錐 底面の半径 R 高さ H 直角三角形を一回転

 r1=R/2 r2=R/3 A=R*H/2

S=2Pi*(R/2)*L=Pi*R*L V=2Pi*(R/3)*(R*H/2)=Pi*R^2*H/3

〓 円に関する量の積分 〓

■ 面積=${root(1-x^2)*dx}={2*arcsin(x)+sin[2*arcsin(x)]}/4

 ${root(R^2-x^2)*dx}={2*arcsin(x/R)+sin[2*arcsin(x/R)]}*R^2/4

■ ${[1/root(1-x^2)]*dx}=arcsin(x)

A>0 ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=arcsin(x/A)

■ y=root(1-x^2) 弧の長さ=${root[1+(y;x)^2]*dx}=arcsin(x)

■ 円 y=root(1-x^2)の円周上の弧[0≦x<X≦1 y≧0]の質量の中心のy成分 Gy

 弧の質量の中心 Gy=X/arcsin(X)

■ 次の4つの曲線または直線に囲まれた面積の質量の中心のy成分 Gy

@ 円 y=root(1-x^2) A x軸 B y軸 C 直線 x=X〔 X=定数 0<X≦1 〕

 Gy={2*arcsin(X)+sin[2*arcsin(X)]}/(8*X)

〓 パップスの定理の利用-2- 〓 

◆ 球 半径 R 半円を一回転

 L=Pi*R A=(1/2)*Pi*R^2 S=4*Pi*R^2 V=(4/3)*Pi*R^3 r1 ? r2 ?

■ r1=S/(2Pi*L)=(4*Pi*R^2)/[(2Pi)*(Pi*R)]=(2/Pi)*R

 r2=V/(2Pi*A)=[(4/3)*Pi*R^3]/{(2Pi)*[(1/2)*Pi*R^2}=(4/3)*R/Pi

》 r1/R=2/Pi~0.637 r2/R=(4/3)/Pi~0.425 _

{別解} 母線 y=root(R^2-x^2)

 r1=${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~R]/(Pi*R/2)

ここで y*root[1+(y;x)^2]=root(R^2-x^2)*[R/root(R^2-x^2)]=R {定数!}

 ${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~R]
=R*${dx}[x:0~R]
=R*[x][x:0~R]
=R^2

⇒ r1=R^2/(Pi*R/2)=(2/Pi)*R ‖

また r2=(1/2)*(${y^2*dx}[x:x1~x2])/A

ここで ${y^2*dx}[x:0~R]
=${(R^2-x^2)*dx}[x:0~R]
=[R^2*x-x^3/3][x:0~R]
=R^3-R^3/3
=(2/3)*R^3

⇒ r2=(1/2)*[(2/3)*R^3]/(Pi*R^2/4)=[(4/3)/Pi]*R ‖

◆ 円 半径 R 円の接線を回転軸として1回転 断面積 A=Pi*R^2 体積 V

V=2Pi*R*A=2Pi*R*(Pi*R^2)=2*Pi^2*R^3~19.7*R^3

▲ (半径 R の球の体積)=(4/3)*Pi*R^3=4.2*R^3

 体積比=(2*Pi^2)/[(4/3)*Pi]=(3/2)*Pi~4.7

〓 パップスの定理.一般 〓 

■ 長さ a の線分を、その軌道が常に、線分と垂直になるように動かす。

線分の中点がえがいた軌道の長さ L その線分がえがく面積 S

 S=L*a 

{証明}?

■ 平面を動かす。その軌道と平面は常に垂直であるとする。

平面の面積 S 重心の移動した距離 L

 その平面の作る体積 V=S*L 

{証明}?

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