数学 図形  2017/10-2013 Yuji.W

☆ 回転体のパップスの定理

◎ パップス・ギュルダンの定理 回転体 側面積 体積 曲線の質量の中心 面積のの質量の中心 重心 Pappus-Guldinus スイス 数学者 1577-1643 _

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

〓 回転体の側面積や体積 〓

■ 球[半径 1] S=4*Pi V=(4/3)*Pi

■ 円錐[底面の半径 R 高さ H 母線の長さ L]

 S=Pi*L*R=Pi*root(R^2+H^2)*R V=(1/3)*Pi*H*R^2

■ 三角関数 y=sin(x) [x:0~Pi/2] S ? V=Pi^2/4

〓 曲線や面積の質量の中心 

◆ 曲線 y=f(x) 0<x<X 0≦y 曲線の線密度 1 曲線の長さ L

曲線の質量の中心のy座標 GLy=(${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~X])/L

◆ 曲線 y=f(x) 0<x<X 0≦y

次の4つの曲線または直線に囲まれた図形を考える
 @ 曲線 A x軸 B y軸 C 直線 x=X

面密度 1 面積 A

■ 面積の質量の中心のy座標 GAy=(1/2)*(${(y^2*dx}[x:0~X])/A

〓 回転体のパップスの定理 

◆ 回転体 母線 y=f(x) 0<x<X 0≦y 回転軸:x軸

回転体の側面積 S 体積 V 母線の長さ L

次の4つの直線や曲線に囲まれた図形の面積 A
@ 母線 A x軸 B y軸 C 直線 x=X

母線の質量の中心のy座標 GLy 面積Aの質量の中心のy座標 GAy

S=2*Pi*${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~X]

 GLy
=(${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~X])/L
=S/(2*Pi*L)

 S=2*Pi*GLy*L _

■ V=Pi*${y^2*dx}[x:0~X]

 GAy
=(1/2)*(${(y^2*dx}[x:0~X])/A
=V/(2*Pi*A)

 V=2*Pi*GAy*A _

{やっとわかった!5年かかった!2017/11}

〓 縦にスライスした円の質量の中心 〓

◆ xy平面上に円 半径 1 中心:原点 y=root(1-x^2)

次の4つの曲線や直線に囲まれた図形を考える

@ 半径1の円 A x軸 B y軸 C 直線 x=X 〔 X:1より小さい正の定数 〕

■ 弧の長さ L=arcsin(X) 面積 A=arcsin(X)/2+sin[2*arcsin(X)]/4

 弧の質量の中心のy座標 GLy=X/arcsin(X)

 面積Aの質量の中心のy座標 GAy=(1/2)*(X-X^3/3)/A

〓 球 

◆ 球 半径 1 中心:原点 0<x<1

弧の長さ L=Pi/2 断面積 A 側面積 S 体積 V

弧の質量の中心のy座標 GLy 断面積の質量の中心のy座標 GAy

■ GLy=1/arcsin(1)=1/(Pi/2)=2/Pi

パップスの定理を使って S=2*Pi*GLy*L=2*Pi*(2/Pi)*(Pi/2)=2*Pi

 (半径1の球の表面積)=2*S=4*Pi

■ A=Pi/4

 GAy=(1/2)*(X-X^3/3)/A=(1/2)*(1-1^3/3)/(Pi/4)=4/(3*Pi)~0.42

パップスの定理を使って V=2*Pi*GAy*A=2*Pi*[4/(3*Pi)])*(Pi/4)=(2/3)*Pi

 (半径1の球の体積)=2*V=(4/3)*Pi

〓 スライスした球 

◆ 球 半径 1 中心:原点 球のうち、yz平面と 平面 x=1/2 に囲まれた部分を考える xy平面上の母線 y=root(1-x^2) パラメータ a を使って x=sin(a) y=cos(a)

弧の長さ L=Pi/6

 xy平面上で x>0 , y>0 の部分の断面積 A=Pi/12+sin(Pi/3)/4=Pi/12+root3/8

母線の弧の質量の中心のy座標 GLy=X/arcsin(X)=(1/2)/(Pi/6)=3/Pi~0.96

 断面積Aの質量の中心のy座標 GAy
=(1/2)*(X-X^3/3)/A
=(1/2)*[1/2-(1/2)^3/3]/A
=(1/2)*[1/2-1/24]/A
=(11/48)/(Pi/12+root3/8)
=11/(4*Pi+6*root3)
~0.48

スライスした球の側面積 S
=2*Pi*${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~1/2]
=2*Pi*${cos(a)*1*da}[a:0~Pi/6]
=2*Pi*[sin(a)][a:0~Pi/6]
=2*Pi*(1/2)
=Pi

また 体積 V
=Pi*${y^2*dx}[x:0~1/2]
=Pi*[x-x^3/3][x:0~1/2]
=Pi*(1/2-1/24)
=(11/24)*Pi
~1.44

■ パップスの定理を使うと、

 S
=2*Pi*GLy*L
=2*Pi*(3/Pi)*(Pi/6)
=Pi {いいね!2017/11}

また V
=2*Pi*GAy*A
=2*Pi*[11/(4*Pi+6*root3)]*(Pi/12+root3/8)
=(11/24)*Pi {いいね!2017/11}

〓 パップスの定理.一般 〓 

■ 長さ a の線分を、その軌道が常に、線分と垂直になるように動かす。

線分の中点がえがいた軌道の長さ L その線分がえがく面積 S

 S=L*a 

{証明}?

■ 平面を動かす。その軌道と平面は常に垂直であるとする。

平面の面積 S 重心の移動した距離 L

 その平面の作る体積 V=S*L 

{証明}?

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