数学 積分 2021.5-2013 Yuji.W
◎ 側面積 体積 重心 ★
2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 000
微分 ; 2階微分 ;; 偏微分 : 積分 $ ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル
<A) 単位ベクトル <Au> 内積 *
外積 # 2021.5
〓〓〓 曲線の重心 〓〓〓
◎ 線密度一定の細いひも
▢ xy平面 曲線 y=f(x) [x:x1~x2] 曲線の長さ L 曲線の重心のy座標 Gy
曲線上の線分要素 dL=root(dx^2+dy^2)=root[1+(y;x)^2]*dx
■ L=${root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2]
. L*Gy=${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2] ★
〓〓〓 平面図形の重心 〓〓〓
◎ 面密度一定の平面図形
▢ xy平面 平面図形 [x:x1~x2] 面積 A 重心のy座標 Gy
微小量 dx に対して、x~x+dx に含まれる図形
その図形のy軸方向の長さ l(x) 重心の位置のy座標 gy(x)
■ A=${l(x)*dx}[x:x1~x2]
. A*Gy=${l(x)*gy(x)*dx}[x:x1~x2]
〓〓〓 {まとめ}平面図形の重心の位置のy座標 〓〓〓
▢ 平面図形 面積 A 重心のy座標 Gy
■ ① 半径 1 の円の 1/4 Gy=4/(3*Pi)~0.425
② 半径 0.5 の円が作るサイクロイドの 1/2 周期分 高さ 1 幅 Pi/2 Gy=5/12~0.417
※ 半径 1 の円が作るサイクロイドだと Gy=5/6~0.833
③ 下に開いた放物線の左半分 高さ 1 幅 1 Gy=0.4
④ sin(x) の 1/4 周期分 高さ 1 幅 Pi/2 Gy=Pi/8~0.393
▼ 図形と重心のy座標を示す。幅が 1 でないものは、幅を 1 に縮めた図形にしてある。幅を縮めても、重心のy座標は変わらない。
〓〓〓 回転体のパップスの定理 〓〓〓
▢ 回転体 母線 y=f(x) [x:x1~x2] 0≦y 回転軸:x軸 側面積 S 体積 V
母線の長さ L 母線の重心と回転軸との距離 GLy
母線と回転軸の間の図形の面積 A 図形の重心と回転軸との距離 GAy
■ L=${root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2]
. L*GLy=${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2]
. A=${y*dx}[x:x1~x2]
. A*GAy=(1/2)*${y^2*dx}[x:x1~x2]
. S=2*Pi*${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:x1~x2]
. V=Pi*${y^2*dx}[x:x1~x2]以上の6つの式より、
. S=2*Pi*L*GLy V=2*Pi*A*GAy ★
{やっとわかった!5年かかった!2017/11}
▶ 2*Pi*GLy=(母線の重心が1回転して移動した距離)
. 2*Pi*GAy=(母線と回転軸との間の図形の重心が1回転して移動した距離)
. (側面積)=(母線の長さ)*(母線の重心が移動した距離) ★
. (体積)=(図形の面積)*(図形の重心が移動した距離) ★
〓〓〓 円錐 〓〓〓
▢ 円錐[半径 1 高さ 1]
■ S=(1/2)*√2*(2Pi*1)=Pi*√2 V=(1/3)*1*Pi=Pi/3
■ L=√2 GLy=1/2 A=1/2 GAy=1/3
. 2*Pi*L*GLy=2*Pi*√2*(1/2)=Pi*√2=S. 2*Pi*A*GAy=2*Pi*(1/2)*(1/3)=Pi/3=V
〓〓〓 球 〓〓〓
▢ 球[半径 1]
■ S=4*Pi V=(4/3)*Pi
■ L=Pi GLy=2/Pi A=Pi/2 GAy=4/(3*Pi)
. 2*Pi*L*GLy=2*Pi*Pi*(2/Pi)=4*Pi=S
. 2*Pi*A*GAy=2*Pi*(Pi/2)*[4/(3*Pi)]=(4/3)*Pi=V
〓〓〓 三角関数 〓〓〓
▢ 回転体 母線 y=sin(x) [x:0~Pi/2]
■ A=1 GAy=Pi/8~0.3925 V=2*Pi*A*GAy=2*Pi*1*(Pi/8)=Pi^2/4~2.4649
■ 数値積分より L~1.910 GLy~0.6001
. S=2*Pi*L*GLy~7.198
数値積分より S~7.211 V~2.467
☆ お勉強しよう since 2011 Yuji Watanabe