☆強制振動、共鳴Uz

　物理　力学　振動　2021.2-2012.10　Yuji Watanabe

☆ 強制振動、共鳴 ☆

○ 振動している物に、さらに、周期的な力を加える　ブランコに乗っている子供の背中をタイミングよく押す

2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　　　　　　　　　　　2021.2.8
微分 ;　2階微分 ;;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #　　　000

〓〓〓　2階/線型/非斉次/定数係数/微分方程式　〓〓〓　

▢ x=x(t)　x;;t+p*(x;t)+q*x=f〔p,q,f:定数〕

基本解 x1,x2　特殊解 x3　一般解 x=C1*x1+C2*x2+x3　〔C1,C2:積分定数〕

■ 基本解の求め方　複素数 h に対して　x=exp(h*t)　と仮定して解く

h が満たすべき方程式[特性方程式]　H(h)=h^2+p*h+q=0　その解 h1,h2

　x1=exp(h1*t)　x2=exp(h2*t)

■ 特殊解 x3 は、適当に求めて　一般解 x=C1*x2+C2*x2+x3

■ H(h)=0 の解が1つだけ[重根] h1　微分方程式の基本解　exp(h1*t)　t*exp(h1*t)

■ x;;t+b^2*x=0　H(h)=h^2+b^2=0　h=±i*b

基本解は、次の３種で表せる

① expi(b*t) , expi(-b*t)　② cos(b*t) , sin(b*t)　③ cos(b*t+α)

〓〓〓　強制振動　〓〓〓　

▢ 1次元調和振動子　質点の質量 m　位置 x　バネ定数 k　調和振動子による力 -k*x

固有角振動数 w0=root(k/m)　強制振動の力 F0*cos(w*t)

■ 運動方程式　m*(x;;t)=-k*x+F0*cos(w*t)

　x;;t+(k/m)*x=(F0/m)*cos(w*t)

　x;;t+w0^2*x=(F0/m)*cos(w*t) 〔w0,m,w:正の定数〕　★　

■ x=exp(h*t) と仮定すれば　h^2+w0^2=0　h=±i*w0

基本解 expi(w0*t) , expi(-w0*t)　または　cos(w0*t+α)

特殊解 x3=A*cos(w*t) と仮定すれば　x3;;t=-A*w^2*cos(w*t)

　-A*w^2*cos(w*t)+A*w0^2*cos(w*t)=(F0/m)*cos(w*t)

　A=F0/[m*(w0^2-w^2)]

一般解　x=C*cos(w0*t+α)+cos(w*t)*(F0/m)/(w0^2-w^2)　★　

■ 細かい振動の力を加える　0<w0<<w

　1/(w0^2-w^2)　⇨　-1/w^2　として、

　x=C*cos(w0*t+α)-cos(w*t)*F0/(m*w^2)

ゆったりとした振動の力を加える　0<w<<w0

　1/(w0^2-w^2)　⇨　1/w0^2　として、　

　x=C*cos(w0*t+α)+cos(w*t)*F0/(m*w0^2)

固有振動数に近い振動数の力を加える　0<w0~w

1/(w0^2-w^2)　は非常に大きくなる

　x=cos(w*t)*(F0/m)/(w0^2-w^2)　★　共鳴

〓〓〓　共鳴　〓〓〓　

○ 調和振動子の固有振動数に近い振動数の力を加える

▢ 1次元調和振動子　質点の質量 m　位置 x　バネ定数 k　調和振動子による力 -k*x

固有角振動数 w0=root(k/m)　強制振動の力 F0*cos(w*t)

固有振動数に近い振動数の力を加える　0<w0~w　w=w0+Δw　微少量 Δw

　x=cos(w*t)*(F0/m)/(w0^2-w^2)

■ w0^2-w^2=w0^2-(w0+Δw)^2=-2*w0*Δw

　1/(w0^2-w^2)=-1/(2*w0*Δw)

また　cos(w*t)
=cos[(w0+Δw)*t]
=cos(w0*t)*cos(Δw*t)-sin(w0*t)*sin(Δw*t)
=cos(w0*t)-sin(w0*t)*Δw*t

⇨　x
=cos(w*t)*(F0/m)/(w0^2-w^2)
=-(F0/m)*[cos(w0*t)-sin(w0*t)*Δw*t]/(2*w0*Δw)
=-[F0/(2*m*w0*Δw)]*cos(w0*t)+[F0/(2*m*w0)]*sin(w0*t)*t

　x=-[F0/(2*m*w0*Δw)]*cos(w0*t)+[F0/(2*m*w0)]*sin(w0*t)*t　★　周期的な運動をするのだが、時間がたつにつれ、揺れが大きくなる。最終的には、振れ幅が無限大になる。

☆ お勉強しよう　since 2011　Yuji Watanabe