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2016/2-2012/10 Yuji.W

強制振動,共鳴

◎ 強制振動 共鳴 resonance

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

{復習}2階線型非斉次定数係数微分方程式

「2階/線型/非斉次/定数係数/微分方程式」

◆ x=x(t) x''+p*x'+q*x=f〔p,q,f:定数〕

基本解 x1,x2 特殊解 x3 一般解 x=C1*x1+C2*x2+x3 〔C1,C2:積分定数〕

基本解の求め方 複素数 h に対して x=exp(h*t) と仮定して解く

h が満たすべき方程式[特性方程式] H(h)=h^2+p*h+q=0 その解 h1,h2

 x1=exp(h1*t) x2=exp(h2*t)

■ 特殊解 x3 は、適当に求めて 一般解 x=C1*x2+C2*x2+x3

x''+b^2*x=0 H(h)=h^2+b^2=0 h=±i*b

@ expi(b*t),expi(-b*t) A cos(b*t),sin(b*t) B cos(b*t+α)

H(h)=0 の解が1つだけ[重根] h1 微分方程式の基本解 exp(h1*t) t*exp(h1*t)

◇強制振動◇

◎ 調和振動子に、周期的な力を加える

◆ 1次元調和振動子 質点の質量 m 位置 x バネ定数 k 調和振動子による力 -k*x

 固有角振動数 w0=root(k/m) 強制振動の力 F0*cos(w*t)

■ 運動方程式 m*x''=-k*x+F0*cos(w*t)

 x''+(k/m)*x=(F0/m)*cos(w*t)

 x''+w0^2*x=(F0/m)*cos(w*t) 〔w0,m,w:正の定数〕

x=exp(h*t) と仮定すれば h^2+w0^2=0 h=±i*w0

基本解 expi(w0*t) , expi(-w0*t) または cos(w0*t+α)

特殊解 x3=A*cos(w*t) と仮定すれば x3''=-A*w^2*cos(w*t)

 -A*w^2*cos(w*t)+A*w0^2*cos(w*t)=(F0/m)*cos(w*t)

 A=F0/[m*(w0^2-w^2)]

一般解 x=C*cos(w0*t+α)+cos(w*t)*(F0/m)/(w0^2-w^2) 

■ 0<w0<<w x=C*cos(w0*t+α)-cos(w*t)*F0/(m*w^2)

0<w<<w0 x=C*cos(w0*t+α)+cos(w*t)*F0/(m*w0^2)

0<w0~w x=(F0/m)*cos(w*t)/(w0^2-w^2) 非常に大きくなる 共鳴 

▲ 共鳴の場合 w=w0+Δw 微少量 Δw w0^2-(w0+Δw)^2=-2*w0*Δw

 cos(w*t)
=cos(w0*t+Δw*t)
=cos(w0*t)*cos(Δw*t)-sin(w0*t)*sin(Δw*t)
=cos(w0*t)-sin(w0*t)*Δw*t

時間がたつにつれ、異状に大きく振れていくようになる

「強制振動.共鳴」 2015/7 ◎ 調和振動子に、周期的な力を加える 

◆ 質点(質量 m) 1次元の運動 x軸

 調和振動子による力 -k*x 固有角振動数 w0=root(k/m) 強制振動の力 F0*cos(w*t)

■ 運動方程式 m*x''=-k*x+F0*cos(w*t)

一般解 x=C*cos(w0*t+α)+(F0/m)*cos(w*t)/(w0^2-w^2)]

0<w0~w x=(F0/m)*cos(w*t)/(w0^2-w^2) 非常に大きくなる 共鳴 

◇固有振動数◇

固有角振動数 w0=root(k/m) 固有振動数 f0=w0/(2Pi)=[root(k/m)]/(2Pi)

★ 50_kg重で 0.05_m k=50*9.8/0.05~Ten(4)_N/m

0.1_m で E=(1/2)*Ten(4)*0.1^2=50_J

m=25_kg のとき 固有振動数 f0=root[Ten(4)/25]/(2Pi)=10/Pi~3_Hz

★ m=10_kg f0=5_Hz

 k=4*Pi^2*m*f0^2=4*Pi^2*10*25=Ten(4)_N/m

★ 100_g重 で  1_mm k=0.1*9.8/Ten(-3)~Ten(3)_N/m

m=5_g

 固有振動数 f0=root{Ten(3)/[5*Ten(-3)]}/(2Pi)=root(20)*Ten(2)/(2Pi)~70_Hz

★ 電子レンジ マイクロ波 λ=0.1_m f=3*Ten(8)/0.1=3*Ten(9)_Hz=3_GHz

★ 塩化ナトリウム 固有振動の波長 6*Ten(-5)_m

 固有振動数 f0=[3*Ten(8)]/[6*Ten(-5)]=5*Ten(12)_Hz 赤外線

m=30*1.66*Ten(-27)_kg バネ定数 k

 k
=4*Pi^2*m*f0^2
=4*Pi^2*[30*1.66*Ten(-27)]*[25*Ten(24)]
=4*Pi^2*[30*1.66*Ten(-27)]*[25*Ten(24)]
=50_N/m

  強制振動,共鳴,減衰振動  

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