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☆ 惑星の運動 ☆ |
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〇 ケプラー問題 軌道 楕円 ★ 2022.8-2011 Yuji.W |
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◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 楕円 〓 22.8 〇 2次元デカルト座標 (x,y) 長径 A 短径 B 焦点 F=root(A^2-B^2) 楕円を表す式 x^2/A^2+y^2/B^2=1 ※ 楕円の中心の位置をずらしたり、楕円の向きを傾けたりすれば、別の式になる 〇 楕円では、2定点(焦点)までの距離の和が一定である。 ※ 普通、これを楕円の定義とする。楕円上の任意の点 P(x,y) |x|≦A 焦点 F1 (F,0) , F2 (-F,0) PF1=A-x*F/A PF2=A+x*F/A PF1+PF2=2*A 〇 PF1=r x=F+r*cos(a) 離心率 e=F/A 通径(x=F のときの y の値の正の方) l=B^2/A r*[1+e*cos(a)]=l 〇 離心率 (焦点の位置のずれの割合) e=F/A=root(A^2-B^2)/A=root[1-(B/A)^2] F=A*e B=A*root(1-e^2) 〇 通径 (x=F のときの y の値の正の方) l=B^2/A=A*(1-e^2) 〇 r_min=l/(1+e) r_max=l/(1-e) e=(1-r_min/r_max)/(1+r_min/r_max) |
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〓 中心力による運動 〓 22.8 ▢ 1質点 質量 m 中心力による運動 円座標(r,a) 力[動径成分 Fr 接線成分 Fa=0] 速さ v 運動エネルギー K ▷ r^2*(a;t)=一定=b 角運動量 L=m*b ▷ 軌道の形 (1/r);;a+1/r=-Fr*r^2/(m*b^2) ▷ v^2=b^2*[[(1/r);a]^2+1/r^2] K=(1/2)*m*b^2*{[(1/r);a]^2+1/r^2} |
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〓 惑星の運動 〓 〇 太陽の重力による惑星の運動を考える。次のように仮定する。 ・太陽からの重力だけ働く。他の天体からの重力は考えない。 ・太陽の質量は圧倒的に大きいので、太陽は原点に固定される。 ※ 太陽は原点に固定されていないとして扱いたい場合は、換算質量を使って補正すればよい。 ・惑星は、原点に向かう中心力を受ける。 ・力は、原点からの距離の2乗に逆比例する。 ・惑星は質点であるとみなす。 ・軌道の範囲は有限である。無限遠には飛んで行かない。 次のようになる。 ・角運動量は保存され、惑星の運動は一平面上に限られる。 ※ 惑星ごとに、その一平面は異なってよい。 ・運動エネルギーが位置エネルギーの絶対値より小さい場合、無限の彼方へ飛んでいくという事は起きない。その時、軌道は必ず楕円(円を含む)になる。同じ軌道を繰り返し回る。 |
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〓 惑星の運動の軌道 〓 ▢ 円座標(r,a) 重力定数 G 太陽の質量 M 惑星の質量 m 重力 <F>=-<ru>*G*M*m/r^2 r^2*(a;t)=一定=b ▷ 中心力による運動の結果より、 軌道の形を表す方程式 (1/r);;a+1/r=(G*M*m/r^2)*r^2/(m*b^2)=G*M/b^2 ≫ (1/r);;a+1/r=G*M/b^2 ★ ● 微分方程式 (1/r);;a+1/r=1/l の解 1/r=[1+e*cos(a)]/l ● 通径 l=b^2/(G*M) 離心率 e として 1/r=[1+e*cos(a)]/l r*[1+e*cos(a)]=l=b^2/(G*M) ★ 0≦e<1 のとき 楕円 e=0 のとき 円 ※ e は積分定数の1つであって、定める必要がある。もう1つの積分定数として、角度 a の自由度がある。今の場合は a=0 のとき r_min=l/(1+e) になるように定めてある。 |
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〓 円運動の場合のエネルギー 〓 ▢ e=0 回転半径 R 速さ V 運動エネルギー Kc 位置エネルギー Uc エネルギー Ec ▷ 運動方程式より m*V^2/R=G*M*m/R^2 V=root(G*M/R) Kc=(1/2)*m*V^2=(1/2)*m*(G*M/R)=(1/2)*G*M*m/R Uc＝-G*M*m/R Ec=Kc+Uc=-(1/2)*G*M*m/R ★ {まとめ} Kc=(1/2)*G*M*m/R Uc＝-G*M*m/R Ec=-(1/2)*G*M*m/R ▷ b=R*V=R*root(G*M/R)=root(G*M*R) |
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〓 離心率とエネルギー 〓 〇 a=0 のとき r=r_min 最も太陽に近い所にいる時のエネルギーを考える ▢ 惑星の運動 運動エネルギー K(r) 位置エネルギー U(r)=-G*M*m/r a=0 のとき r_min , v_max , K(r_min) , U(r_min)=-G*M*m/r_min ▷ a=0 のとき r_min*(a;t)=v_max b=r^2*(a;t)=r_min^2*(a;t)=r_min*v_max r_min*v_max=b ★ v_max^2=b^2/r_min^2=G*M*l/r_min^2 r_min=l/(1+e) だったから、 v_max^2=G*M*(1+e)*r_min/r_min^2=G*M*(1+e)/r_min K(r_min)=(1/2)*m*v_max^2=(1/2)*G*M*m*(1+e)/r_min ★ {関係式がたくさんあって、わかりにくい!22.8} {確かめ} e=0 のとき 円運動 Kc=(1/2)*G*M*m/R Uc=-G*M*m/R Ec=-(1/2)*G*M*m/R ▷ E ≫ E=-(1/2)*(1-e)*G*M*m/r_min ★ 楕円の長径 A=l/(1-e^2)=r_min/(1-e) を使うと、 E=-(1/2)*G*M*ｍ/A ★ ▷ 1-e=-2*E*r_min/(G*M*m) e=1+2*E*r_min/(G*M*m) ★ 離心率とエネルギー U(r_min)=-G*M*m/r_min を使うと e=1-2*E/U(r_min) e=1+2*E*r_min/(G*M*m)=1-2*E/U(r_min) ★ ▲ 楕円運動の場合 U(r_min)<E<0 だから e<1 ▲ 楕円の軌道の式の積分定数であった離心率 e が、エネルギーの値によって定まった{!} |
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〓 楕円運動と円運動のエネルギー 〓 ▢ 楕円運動 離心率 e 最短距離 r_min エネルギー E 半径 r_min の円運動 エネルギー Ec ▷ 楕円 E=-(1/2)*(1-e)*G*M*m/r_min 円 Ec=-(1/2)*G*M*m/r_min E-Ec=(1/2)*G*M*m*e/r_min ★ エネルギーの差が、離心率になる{!} ♡ おもしろいなあ{!}この事実に触れてある参考文献は見ないなあ{!22.8} |
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〓 惑星の運動 離心率とエネルギー 〓 22.8 ▢ 惑星の運動 円座標(r,a _C) r^2*(a;t)=一定=b 角運動量 L=m*b 通径 l=B^2/A=A*(1-e^2) 長径 A=l/(1-e^2)=r_min/(1-e) 運動エネルギー K 位置エネルギー U=-G*M*m/r エネルギー E=K+U=一定 a=0 のとき r_min , v_max , K(r_min) , U(r_min)=-G*M*m/r_min ▷ r_min=l/(1+e) v_max^2=G*M*(1+e)/r_min K(r_min)=(1/2)*G*M*m*(1+e)/r_min E=-(1/2)*(1-e)*G*M*m/r_min=-(1/2)*G*M*ｍ/A e=1+2*E*r_min/(G*M*m)=1-2*E/U(r_min) ▲ 0≦e<1 のとき E<0 となり、楕円運動になる。 ▷ 半径 r_min の円運動 エネルギー Ec=-(1/2)*G*M*m/r_min E-Ec=(1/2)*G*M*m*e/r_min |
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〓 太陽系での観測値 〓 〇 地球の公転運動 v_mean=29.78_km/sec 観測値は、 r_max=1.017_au v_min=29.29_km/sec r_max*v_min=29.79 r_min=0.983_au v_max=30.29_km/sec r_min*v_max=29.78 ほぼ等しくなった{!} 〇
ハレー彗星 長半径 17.8_AU 遠日点距離 35.1_AU 周期 75.3_year 〇 月の地球に対する軌道の離心率 0.055 r_min/r_max=(1-e)/(1+e)=0.90 地球から見た月の大きさは1割増減する |
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☆ お勉強しよう since2011 Yuji.W |