物理 力学  2017/5-2012/11 Yuji.W

惑星の運動

惑星の運動 2体問題 ケプラー問題 ケプラーの法則 ☆ 通径 latus rectum 離心率 eccentricity

10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $
 
ベクトル <A> 座標単位ベクトル <x>,<y>,<z> 内積 * 外積 #

{定義値} 2.99792458=@3 光速 c=@3*Ten(8)_m/sec (@3)^2=@9

国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ε0*μ0*c^2=1_無次元
 電場 <E> 磁場 <B> 磁場(光速倍) <cB>
CGS静電単位系 ke=1_無次元 電場 <E> 磁場 <Bcgs>
 [B=1_T]⇔[Bcgs=10000_G] 〔電磁気の単位〕〔物理定数

◇ 楕円 ◇

◆ 楕円 長半径 A 短半径 B 焦点 F 離心率 e 0≦e<1 通径 l

最短距離 r0 最遠距離 r1

■ x^2/A^2+y^2/B^2=1 F=root(A^2-B^2) e=F/A l=B^2/A

■ r0=A*(1-e) r1=A*(1+e) e=(1-r0/r1)/(1+r0/r1)

■ 楕円の面積=Pi*A*B

◇ r=l/[1+e*cos(a) ◇

■ l>0 & 0<e<1 楕円

長径 A=l/(1-e^2) 短径 B=l/root(1-e^2)

楕円の中心から焦点までの距離 F=root(A^2-B^2)=e*l/(1-e^2)

 r0=A-F=l/(1+e)

■ l>0 & e>1 双曲線(原点:x軸のマイナス側の焦点)

双曲線の中心からx切片までの距離 A=l/(e^2-1) B=l/root(e^2-1)

双曲線の中心から焦点までの距離 F=root(A^2+B^2)=e*l/(e^2-1)

 r0=F-A=l/(e+1)

■ l<0 & e>1 双曲線(原点:x軸のプラス側の焦点) -l=\l >0

双曲線の中心からx切片までの距離 A=\l/(e^2-1) B=\l/root(e^2-1)

双曲線の中心から焦点までの距離 F=root(A^2+B^2)=e*\l/(e^2-1)

 r0=F+A=\l/(e-1)

漸近線とx軸とが作る角 \a tan(\a)=root(e^2-1)

衝突係数(漸近線と焦点との距離)=\l/root(e^2-1)

円座標(r,a)

■ 平面上の点の位置 2次元デカルト座標で (x,y) 円座標で (r,a)

 x=r*cos(a) y=r*sin(a) r=root(x^2+y^2) tan(a)=y/x

■ <r>=<ru>*r <r>'=<au>*r*a'+<ru>*r'

 <r>''=<ru>*(r''-r*a'^2)+<au>*(r*a''+2*r'*a')

原点を通る力による運動

◆ 質量 m 原点を通る力 <F>=<ru>*f(r,a,t)

時刻 0 で、質点は xy平面上にあり、初速度も xy平面上にある

運動は xy平面上に限られる 円座標(r,a)

■ 運動方程式 r''-r*a'^2-f(r,a,t)/m=0 & r*a''+2*r'*a'=0

■ Lz=m*r^2*a'=一定(時間に依らない)

※ 角運動量はz成分しかない

※ 「中心力」とは、次の2つの条件を満たさなければならない。

@ 原点を通る A 力の大きさは距離のみの関数になる。

惑星の運動

◎ 惑星の運動 2体問題-重力

■ 太陽の重力による惑星の運動を考えたい。

各惑星には、他の惑星を始め、太陽系内にあるすべての重力源からの重力が働くし、さらに、太陽系外からの重力も働くわけだが、それらは一切無視し、太陽の重力だけを考える。

太陽とその惑星との2体問題になるのだが、太陽の質量は圧倒的に大きいので、次のように考える。

・太陽は原点に固定されている
・惑星は、原点に向かう中心力を受ける
・力は、原点からの距離の2乗に逆比例する
・換算質量を使って補正しない

中心力であるから、角運動量は保存され、それぞれの惑星の運動は一平面上に限られる。

全エネルギーが負のとき、必ず楕円運動になり、同じ軌道を繰り返し回る .

以上の事は、ケプラー問題(距離の逆2乗に比例する中心力による運動。斥力であってもよい。)に応用することができる。 

水星

金星

地球

火星

木星

土星

天王星

海王星

ハレー彗星

離心率

0.206

0.007

0.017

0.093

0.049

0.056

0.046

0.095

0.967

■ ハレー彗星 長半径 17.8_AU 遠日点距離 35.1_AU 周期 75.3_year

■ 月の地球に対する軌道の離心率 0.055 r0/r1=(1-e)/(1+e)=0.90

地球から見た月の大きさは1割増減する

惑星の運動の軌道

◎ 逆2乗則の力を受けるときの運動の軌道は、楕円、放物線、双曲線に限られる。無限遠へ行かない場合は、必ず、楕円になる。

◇ 時間微分 '

◆ 重力源 質量 M 原点  1質点 質量 m 原点からの距離 r

質点に働く力 <F>=-<ru>*G*M*m/r^2 位置エネルギー U(r)=-G*M*m/r

■【 運動方程式 】

円座標(r,a)で 加速度 <r>''=<ru>*(r''-r*a'^2)+<au>*(r*a''+2*r'*a') と表す事ができるから、

方位角方向 m*(r*a''+2*r'*a')=0 半径方向 m*(r''-r*a'^2)=-G*M*m/r^2

■【 方位角方向 】

 r*a''+2*r'*a'=0

 (r^2*a')'/r=0

 r^2*a'=一定=b .

■【 時間微分をなくしたい 】

r と a の関係式(軌道の式)を作りたい。時間微分をなくしたい。次の量を定義する。

 u=1/r .{核心!先人達が工夫した所!2014/3}

 r^2*a'=b より a'=b*u^2

 u'=(u;a)*a'=(u;a)*(b*u^2)

 r'=(1/u)'=-u'/u^2=-[(u;a)*(b*u^2)]/u^2=-b*(u;a)

 r''=-b*(u;a)'=-b*(u;;a)*a'=-b*(u;;a)*(b*u^2)=-b^2*u^2*(u;;a)

r^2*a'=一定=b u=1/r a'=b*u^2 r'=-b*(u;a) r''=-b^2*u^2*(u;;a)

■【 軌道 】

半径方向の運動方程式 m*(r''-r*a'^2)=-G*M*m/r^2

 r''-r*a'^2=-G*M/r^2

 -b^2*u^2*(u;;a)-(1/u)*(b*u^2)^2=-G*M*u^2

 u;;a+u=G*M/b^2=定数 .

 u(a)=C1*cos(a)+C2*sin(a)+G*M/b^2

a=0 のとき u(0)=1/r0 とすると、

 1/r0=u(0)=C1+G*M/b^2

 C1=1/r0-G*M/b^2=(G*M/b^2)*[b^2/(G*M*r0)-1]

 u(a)
=(G*M/b^2)*[b^2/(G*M*r0)-1]*cos(a)+G*M/b^2
=(G*M/b^2)*{1+[b^2/(G*M*r0)-1]*cos(a)}

 r=[b^2/(G*M)]/{1+[b^2/(G*M*r0)-1]*cos(a)} .

楕円 r=l/[1+e*cos(a)] と比べて、

 l=b^2/(G*M) & e=b^2/(G*M*r0)-1 で r=l/[1+e*cos(a)] .

『惑星の運動』2016/3

■【 楕円 】

長半径 A 短半径 B F=root(A^2-B^2) 離心率 e=F/A

通径 l=B^2/A A=l/(1-e^2) B=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)

最短距離 r0=A-F=l/(1+e) 最遠距離 r1=A+F=l/(1-e)

 e=l/r0-1=(1-r0/r1)/(1+r0/r1)

■【 惑星の運動 】

r^2*a'=一定=b l=b^2/(G*M) e=b^2/(G*M*r0)-1

 r=l/[1+e*cos(a)]

▲ 距離 r は、角度 a に依って、一意的に定まる量。距離の逆2乗の中心力を受ける質点は、螺旋運動とか、めちゃくちゃな形の軌道にはならない。定まった軌道を描く .{おもしろい!2012/12}{まとまった!2016/3}

全エネルギーと離心率

◆ 運動エネルギー K 位置エネルギー U 全エネルギー E

■ e=b^2/(G*M*r0)-1 & l=b^2/(G*M) より、

 G*M=b^2/l & 1/r0=(1+e)*G*M/b^2=(1+e)/l

■ K,U は変化するが、E は保存される。

円座標(r,a)で a=0 , r=r0 のときを考える。

 r0^2*a'=b

 K=(1/2)*m*(r0*a')^2=(1/2)*m*b^2/r0^2

 U=-G*M*m/r0

これらの量を、b,m,l,e で表す事を考える。

 K=(1/2)*m*b^2/r0^2=(1/2)*m*b^2*(1+e)^2/l^2

 U=-G*M*m/r0=-(b^2/l)*m*(1+e)/l=-m*b^2*(1+e)/l^2

 E
=K+U
=(1/2)*[m*b^2*(1+e)/l^2]*[(1+e)-2]
=-(1/2)*m*b^2*(1-e^2)/l^2

 2*m*E=-(m*b)^2*(1-e^2)/l^2

さらに 角運動量 L=m*b を使うと、

 2*m*E=-L^2*(1-e^2)/l^2 .

K,U は変化するが、E は保存されるので、この値は、常に一定の値である。

※ 0<e<1 のとき E<0

■ 2*m*E=-L^2*(1-e^2)/l^2

 1-e^2=-2*m*E*l^2/L^2

 e^2=1+2*m*E*l^2/L^2 .

〔離心率 e 通径 l 全エネルギー E 角運動量 L〕

{すっきりできた!2016/3}

{別解} 離心率 e と、エネルギー E の関係を求めよう。E を表す式から、r',r を消去すればよい。

E を表す式  E=(1/2)*m*[r'^2+(L/m)^2/r^2]-G*M*m/r

 2*m*E=m^2*r'^2+L^2/r^2-2*G*M*m^2/r

@ u=1/l+(e/l)*cos(a) u;a=-(e/l)*sin(a)

 r'=-b*(u;a)=b*(e/l)*sin(a)=[e*L/(m*l)]*sin(a)

 m^2*r'^2=(L/l)^2*e^2*sin(a)^2 @

A 1/r=[1+e*cos(a)]/l

 L^2/r^2=(L/l)^2*[1+e*cos(a)]^2 A

 @+A=(L/l)^2*(1+2*e*cos(a)+e^2)

B 2*G*M*m^2/r
=2*G*M*m^2*[1+e*cos(a)]/l
=2*(L/l)^2*[1+e*cos(a)] B

 2*m*E=@+A-B=(L/l)^2*(e^2-1) うまく a の項が消えてくれた{!}

 e^2=1+2*m*E*l^2/L^2

■【 e について 】

離心率 e は、そもそも、ただの積分定数にすぎなかったし、エネルギーとは、e^2 として、関係を作っているので、e が負の数であってもかまわない。だが、軌道方程式は、e*cos(a) として、関係式を作っているから、

 e*cos(a) を -e*cos(a) とわざわざしても、それは、

 -e*cos(a)=e*cos(Pi-a) と同じことになる。

e を負の数にすることは、ただ、軌道の向きを変えただけに過ぎなくなる。したがって、e>0 として話を進めても構わないことがわかる。

全エネルギーと長半径

■ 2*m*E=-(m*b)^2*(1-e^2)/l^2 & A=l/(1-e^2) & l=b^2/(G*M)

 E
=-(1/2)*m*b^2*(1-e^2)/l^2
=-(1/2)*m*(G*M*l)*(l/A)/l^2
=-(1/2)*G*M*m/A

≫ E=-(1/2)*G*M*m/A .

■ 運動エネルギーの平均 @K 位置エネルギーの平均 @U とすると、ビリアル定理より、

 @K:@U:E=1:-2:-1 だから、

 @K=(1/2)*G*M*m/A & @U=-G*M*m/A .

長半径 A=(最短距離+最遠距離)/2 だから、もっともな結果になった{!}

{なぜ長半径が出てくるのか謎だったが、解けた!2016/3}

『惑星の運動.全エネルギーと長半径』 2016/9

◆ 全エネルギー E 楕円の長半径 A

■ E=-(1/2)*G*M*m/A

楕円軌道の周期

楕円運動の場合 r0 と r1 がわかれば 長半径 A=(r0+r1)/2

k=r0/r1 を求めて e=(1-k)/(1+k)

 通径 l=A*(1-e^2) 短半径 B=A*root(1-e^2)=l/root(1-e^2) 焦点 F=e*A

 面積速度*2=b=root(G*M*l)=root[G*M*A*(1-e^2)]

 周期 T
=楕円の面積/面積速度
=(Pi*A*B)/[root(G*M*l)/2]
=2Pi*A*[A*root(1-e^2)]/root[G*M*A*(1-e^2)]
=2Pi/root(G*M/A^3)  うまく、B や e が消去できた

重力源の質量 M 質点の軌道の長半径 A 周期 T

 T^2/A^3=4*Pi^2/(G*M)=一定  質点の質量や短半径に依らない(ケプラーの第3法則)

{なぜ、長半径だけに依るのか謎だった、わかった!2015/5}

惑星の運動

■【 楕円 】

長半径 A 短半径 B F=root(A^2-B^2) 離心率 e=F/A

通径 l=B^2/A A=l/(1-e^2) B=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)

最短距離 r0=A-F=l/(1+e) 最遠距離 r1=A+F=l/(1-e)

 e=l/r0-1=(1-r0/r1)/(1+r0/r1)

■【 惑星の運動 】

r^2*a'=一定=b l=b^2/(G*M) e=b^2/(G*M*r0)-1

全エネルギー E 角運動量 L=m*b

軌道 r=l/[1+e*cos(a)]

 2*m*E=-L^2*(1-e^2)/l^2 e^2=1+2*m*E*l^2/L^2

■ T^2/A^3=4*Pi^2/(G*M)

お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W

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