☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/9-2012/2 Yuji.W

脱出速度,宇宙速度

◎ 脱出速度 第1宇宙速度 第2宇宙速度 第3宇宙速度 流れ星の速さ

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

☆宇宙速度☆

◎ 宇宙速度 いろいろある

地球に対して 

第1宇宙速度 地球の地表面で等速円運動をする速さ Vce1=7.91_km/sec

第2宇宙速度(脱出速度) 地球の重力源を脱出するために必要な、地表面での速さ

 Vce2=11.18_km/sec

太陽に対して 

第1宇宙速度(地球の公転速度) 太陽を中心に、地球の公転半径の位置で等速円運動をする速さ

 Vcs1=29.8_km/sec

第2宇宙速度(脱出速度) 太陽の重力源を脱出するために必要な、地球公転半径での速さ

 Vcs2=42.1_km/sec

■ 太陽の重力源を脱出するために、地球の公転速度 Vcs1 を利用する。

 Vcs2-Vcs1=42.1-29.8=12.3_km/sec

地球の引力源を脱したときに、この速さで、地球が公転している方向に飛んでいれば、太陽系の重力を脱する事ができる。

 そのために必要な、地球の地表面での速さ(第3宇宙速度) Vce3

 Vce3~16.6_km/sec

☆第1宇宙速度(公転速度)☆

◆ 重力源の質量 M 等速円運動の半径 R その速さ Vc1

■ Vc1^2/R=G*M/R^2 Vc1=root(G*M/R) _円運動の場合の公転速度

■ 重力源:地球 地表面で

 Vce1=root(G*Me/Re)=7.91_km/sec _人工衛星の地表面での公転速度(第1宇宙速度)

{別解} 重力加速度 g=G*M/Re^2 Vce1=root(g*Re)

■ 重力源:太陽 地球公転半径で

G*Ms=1.33*Ten(20)_m^3/sec^2

 Vcs1
=root(G*Ms/De)
=root{[1.33*Ten(20)]/[1.5*Ten(11)]}
=root(8.87)*Ten(4)
=2.98*Ten(4)_m/sec
=29.8_km/sec 
_地球の公転速度

☆第2宇宙速度(脱出速度)☆

◆ 重力源の質量 M 質点の質量 m その距離 r そこでの速さ Vc2

そこでの運動エネルギー K(r) 位置エネルギー U(r)

r=∞ で K(∞)=U(∞)=0 とする 質点の質量は変化ないとする(実際のロケットでは、質量を失う事で、前に進む)

■ K(r)=(1/2)*m*Vc2^2 U(r)=-G*M*m/r

 K(r)+U(r)=K(∞)+U(∞)=0

 (1/2)*m*Vc2^2-G*M*m/r=0

 Vc2=root(2*G*M/r) _脱出速度

距離によって、速さが決まる(無限遠で E=0 としている)

■ 重力源:地球 地表面で

 Vce2=root(2*G*Me/Re)=root2*Vce1=1.414*7.9=11.18_km/sec _地球からの脱出速度(第2宇宙速度)

重力源:太陽 地球公転半径で

■ 重力源:太陽 地球公転半径で

 Vcs2=root(2*G*Ms/De)=root2*Vcs1=1.414*29.8=42.1_km/sec _太陽からの脱出速度

★ Vc2 ∝ root(M/R) だから

木星の場合 地球に対する質量比=318 地球に対する半径比=11

 Vc2=11*root(318/11)=11*5.4~60km/sec

月の場合 地球に対する質量比=0.01 地球に対する半径比=0.27

 Vc2=11*root(0.01/0.27)=11*0.19~2km/sec

☆第3宇宙速度☆

◎ 第3宇宙速度は複雑

◆ ロケットを地球の地表面から打ち上げ、地球の重力圏を脱出し、さらに、太陽の重力圏を脱出したい。そのときに必要な、打ち上げの速さ Vce3 第3宇宙速度

ロケットの質量 m 質量は変化ないとする(実際のロケットでは、質量を失う事で、前に進む)

■ 太陽の重力を脱出するのに必要な、地球公転半径での速さ Vcs2=42.1_km/sec

ただし、地球の公転速度 Vcs1 をうまく利用する。公転速度の方向に、打ち上げる。

 Vcs1=29.8_km/sec だから、

 42.1-29.8=12.3_km/sec

地球の地表面での速さ Vce3 で発射し、地球の重力を脱出し、12.3_km/sec の速さを得たい。

 (1/2)*m*(Vce3^2-12.3^2)=G*Me*m/Re=m*Vce1^2=m*7.91^2

 Vce3^2=2*7.91^2+12.3^2=125.14+151.29=276.43

 Vce3~16.6_km/sec _第3宇宙速度

※ いろいろな資料で 16.7 と書いてあるが、本当に計算してみたのかな?{2015/6!}

★ 太陽系のかなたから地球付近まで飛来した粒子が、さらに、地球の引力に引かれて、高さ100kmに達したときの速さ

 おおよそ 42+11=53_km/sec _流れ星の速さ 音速の 156 倍

☆流れ星の速さ☆

◆ 重力源の質量 M 質点の質量 m その距離 r そこでの速さ v(r)

そこでの運動エネルギー K(r) 位置エネルギー U(r)

■ K(r)=(1/2)*m*v(r)^2 U(r)=-G*M*m/r

 K(r1)+U(r1)=K(r2)+U(r2)

 (1/2)*m*v(r1)^2-G*M*m/r1=(1/2)*m*v(r2)^2-G*M*m/r2

 v(r1)^2-v(r2)^2=2*G*M*(1/r1-1/r2) _

G*M(earth)=3.99*Ten(14)_m^3/sec^2=3.99*Ten(5)_km^3/sec^2

★ r1=6380_km r2=1.6*Ten(6)_km v(r1)=1.6*8=12.8_km/sec

 1/r1-1/r2=1/6380-1/[1.6*Ten(6)]~1.57*Ten(-4)

 v(r2)^2
=12.8^2-2*3.99*Ten(5)*[1.57*Ten(-4)]
=163.84-125.29
=38.55

 v(r2)~6.2_km/sec

★ 重力源:太陽 地球の公転半径 De=1.50*Ten(11)_m v(∞)=16.1_km/sec

root(2*G*Ms/De)=42.1_km/sec v(De) ?

{解} v(De)^2
=v(∞)^2+2*G*Ms/De
=16.1^2+42.1^2
~259+1772
~2031

 v(De)~45_km/sec

★ 太陽系のかなたから地球付近まで飛来した粒子が、さらに、地球の引力に引かれて、高さ100kmに達したときの速さ

 おおよそ 42+11=53_km/sec _流れ星の速さ 音速の 156 倍

☆逆2乗則の力による落下にかかる時間☆

◆ 重力源の質量 M 質点の質量 m 重力源までの距離 D 初速度 0

重力源に達する時間 Tf

■ 初速度が 0 でなく、運動エネルギーを持ち、円運動をするとすると、

半径 R 回転周期 Tr Tr^2/R^3=4Pi^2/(G*M)

■ 楕円運動の場合

楕円の長半径 L 回転周期 Tr Tr^2/L^3=4Pi^2/(G*M) 短半径に依らない

離心率が幾つであっても同じ(太陽がどこにあっても同じ)

■ 考えている問題は、短半径->0 D=2*L

 Tf=回転周期/(2*root8)~0.2*回転周期〔

★IF{ 地球から太陽へ } Tf~0.2_年

★IF{ 月から地球へ } Tf~0.2_ヶ月~6_日

  脱出速度,宇宙速度  

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