物理 力学  2017/8-2015/11 Yuji.W

エネルギー積分

位置を積分して、時間を求める 自由落下 調和振動子.1次元

☆ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

◇ エネルギー積分 ◇

◆ 1次元1質点の運動 力は保存力 エネルギー保存則が成り立つとき

■ 運動エネルギー K=(1/2)*m*x'^2

 x'=root(2*K/m)〔時間微分 '〕

 t;x=root(m/2)/root(K) .

ここで K+U(x)=E=一定(時間に依らない) が成り立つのなら、

 t;x=root(m/2)/root[E-U(x)] .{強引だなあ!2014/3}

◇ 振動の周期 ◇

◆ エネルギーの壁が x1,x2 にあるとき、振動現象を起こす。周期 T(E)

■ t;x=root(m/2)/root(K)

 T
=2*root(m/2)*${dx/root[E-U(x)]}[x:x1~x2]
=root(2*m)*${dx/root[E-U(x)]}[x:x1~x2] 
.

◇ 自由落下

◆ 一様な重力場 1質点1次元自由落下 質量 m 重力加速度 g 鉛直方向下向き x軸 K=(1/2)*m*x'^2 U=-m*g*x

t=0 で x=0 , x'=0 K=U=E=0

■ t;x=root(m/2)/root[m*g*x]=[1/root(2*g)]/root(x)

 t
=[1/root(2*g)]*${dx/root(x)}[x:0~x]
=[1/root(2*g)]*[2*root(x)][x:0~x]
=root(2/g)*root(x)

≫ t=root(2/g)*root(x) .

見慣れた形に直せば x=(1/2)*g*t^2

◇ 調和振動子.1次元

◆ 調和振動子.1次元 位置 x 質量 m バネ定数 k 周期 T U=(1/2)*k*x^2

t=0 で x=x0 , x'=0 K=0 U=(1/2)*k*x0^2 E=(1/2)*k*x0^2

■ E-U(x)=(1/2)*k*x0^2-(1/2)*k*x^2=(k/2)*(x0^2-x^2)

 T
=4*root(m/2)*${root(2/k)*dx/root(x0^2-x^2)}[x:0~x0]
=4*root(m/k)*${dx/root(x0^2-x^2)}[x:0~x0]

ここで、積分の所は、

${dx/root(x0^2-x^2)}=arcsin(x/x0)

 ${dx/root(x0^2-x^2)}[x:0~x0]
=arcsin(x0/x0)-arcsin(0/x0)
=Pi/2-0
=Pi/2

 T=4*root(m/k)*(Pi/2)=2Pi*root(m/k) .

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