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2016/2-2012/10 Yuji.W

減衰振動

◎ 減衰振動 damped oscillation 速さに比例する抵抗 粘性抵抗

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

☆減衰振動☆

◎ 速さに比例する抵抗があり、振動が徐々に小さくなる

「2階/線型/斉次/定数係数/微分方程式」 ◆ x=x(t)

2階/線型/斉次/定数係数/微分方程式 x''+p*x'+q*x=0〔p,q:定数〕

重ね合わせの原理が成り立つ 基本解 x1,x2 一般解 x=C1*x1+C2*x2

■ 複素数 h に対して x=exp(h*t) と仮定して解く

h が満たすべき方程式[特性方程式] H(h)=h^2+p*h+q=0 その解 h1,h2

 x1=exp(h1*t) x2=exp(h2*t) x=C1*x1+C2*x2

■ x''+b^2*x=0 H(h)=h^2+b^2=0 h=±i*b

@ expi(b*t),expi(-b*t) A cos(b*t),sin(b*t) B cos(b*t+α)

■ H(h)=0 の解が1つだけ[重根] h1 微分方程式の基本解 exp(h1*t) t*exp(h1*t)

◆ 質点(質量 m) 粘性抵抗 -Kv*x'

 固有角振動数 root(k/m)=w0 Kv/m=2*Γ root(w0^2-Γ^2)=w w0^2=w^2+Γ^2

※ Γ=Kv/m と定義することもある(ファインマンの本はそう)

w0>Γ>0 として話を進める バネの力が大きく、振動が起きる w>0

■ w^2=w0^2-Γ^2=k/m-[Kv/(2*m)]^2=(4*m*k-Kv^2)/(2*m)^2

 w=root(4*m*k-Kv^2)/(2*m)

■ 運動方程式 m*x''=-k*x-Kv*x'

 x''+2*Γ*x'+w0^2*x=0

 x''+2*Γ*x'+(w^2+Γ^2)*x=0 〔Γ,w:正の定数〕  2階/線型/斉次/微分方程式

x=exp(h*t) と仮定すると H(h)=H^2+2*Γ*h+(w^2+Γ^2)=0 h=-Γ±i*w

基本解 x1=exp(-Γ*t)*expi(w*t) x2=exp(-Γ*t)*expi(-w*t)

一般解 x
=C1*exp(-Γ*t)*expi(w*t)+C2*exp(-Γ*t)*expi(-w*t)
=exp(-Γ*t)*[C1*expi(w*t)+C2*expi(-w*t)]

ここで expi(w*t)=cos(w*t)+i*sin(w*t) を使えば、

 C1*expi(w*t)+C2*expi(-w*t)
=(C1+C2)*cos(w*t)+i*(C1-C2)*sin(w*t)
=C3*cos(w*t)+C4*sin(w*t) 〔C3,C4:新しい積分定数〕

 x=exp(-Γ*t)*[C3*cos(w*t)+C4*sin(w*t)] 

 x'
=
-Γ*exp(-Γ*t)*[C3*cos(w*t)+C4*sin(w*t)]
+exp(-Γ*t)*w*[-C3*sin(w*t)+C4*cos(w*t)]
=-exp(-Γ*t)*{C3*[Γ*cos(w*t)+w*sin(w*t)]+C4*[Γ*sin(w*t)-w*cos(w*t)]}

≫ x=exp(-Γ*t)*[C3*cos(w*t)+C4*sin(w*t)] 

 x'=-exp(-Γ*t)*{C3*[Γ*cos(w*t)+w*sin(w*t)]+C4*[Γ*sin(w*t)-w*cos(w*t)]}

t=0 のとき x=C3 x'=-C3*Γ+C4*w 

t=0 で x=x0 , x'=0 のとき、

 x0=x=C3 0=x'=-C3*Γ+C4*w

 C3=x0 C4=x0*Γ/w

 x=x0*exp(-Γ*t)*[cos(w*t)+sin(w*t)*Γ/w] 

 x'
=
-Γ*x0*exp(-Γ*t)*[cos(w*t)+sin(w*t)*Γ/w]
+x0*exp(-Γ*t)*w*[-sin(w*t)+cos(w*t)*Γ/w]
=x0*exp(-Γ*t)*[-Γ*cos(w*t)-Γ*sin(w*t)*Γ/w-w*sin(w*t)+cos(w*t)*Γ]
=-x0*exp(-Γ*t)*sin(w*t)*(Γ^2+w^2)/w

ここで w0^2=w^2+Γ^2 を使えば、

 x'=-x0*exp(-Γ*t)*sin(w*t)*w0^2/w

≫ t=0 で x=x0 , x'=0 のとき

 x=x0*exp(-Γ*t)*[cos(w*t)+sin(w*t)*Γ/w] 

 x'=-x0*exp(-Γ*t)*sin(w*t)*w0^2/w

root(k/m)=w0 Kv/m=2*Γ root(w0^2-Γ^2)=w〕

t=0 で x=0 , x'=v0 のとき、

 0=x=C3 v0=x'=-C3*Γ+C4*w

 C3=0 C4=v0/w

 x=exp(-Γ*t)*sin(w*t)*v0/w

 x'
=-Γ*exp(-Γ*t)*sin(w*t)*v0/w+exp(-Γ*t)*cos(w*t)*v0
=v0*exp(-Γ*t)*[cos(w*t)-sin(w*t)*Γ/w]

≫ t=0 で x=0 , x'=v0 のとき、

 x=exp(-Γ*t)*sin(w*t)*v0/w

 x'=v0*exp(-Γ*t)*[cos(w*t)-sin(w*t)*Γ/w]

『減衰振動』 2015/9

◆ 1次元調和振動 位置 x 質点(質量 m) バネ定数 k 粘性抵抗 -Kv*x'

 固有角振動数 w0=root(k/m) 減衰率 Γ=Kv/(2*m)

 角振動数 w=root(w0^2-Γ^2)=root(4*m*k-Kv^2)/(2*m) 周期 T

※ Γ=Kv/m と定義することもある(ファインマンの本はそう)

■ 運動方程式 m*x''=-k*x-Kv*x'

t=0 で x=x0 , x'=0 のとき x=x0*exp(-Γ*t)*[cos(w*t)+sin(w*t)*Γ/w]

 x'=-x0*exp(-Γ*t)*sin(w*t)*w0^2/w

t=0 で x=0 , x'=v0 のとき x=(v0/w)*exp(-Γ*t)*sin(w*t)

 x'=v0*exp(-Γ*t)*[cos(w*t)-sin(w*t)*Γ/w]

■ T=2Pi/w=4Pi*m/root(4*m*k-Kv^2)

0<w0<Γ のとき root(Γ^2-w0^2)=w〔w‥実数〕 と置くと、

 Γ^2-w0^2=w^2 w0^2=Γ^2-w^2

 x''+2*Γ*x'+(Γ^2-w^2)*x=0

 z''+2*Γ*z'+(Γ^2-w^2)*z=0

 特性方程式 H(h)=h^2+2*Γ*h+(Γ^2-w^2)=0 h=-Γ±w

基本解 E[(-Γ±w)*t] 一般解 z=E(-Γ*t)*[C1*E(w*t)+C2*E(-w)] 

振動しない

  減衰振動  

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