物理　力学　2021.3-2012.10　Yuji Watanabe

○ 速さに比例する抵抗があり、振動が徐々に小さくなる　★　

A.力学　B.特殊相対性理論,電磁気　C.物理学その他　D.数学,その他

2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　　　　　　　　　　　2021.2.8
微分 ;　2階微分 ;;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #　　　000

〓〓〓　1次元調和振動子.減衰振動　〓〓〓　

▢ 調和振動子　質量 m　変位 x

ばね定数 k　力 F=-k*x　k>0　固有角振動数 w0=root(k/m)

速さに比例する抵抗があり、振動が徐々に小さくなる場合を考える。

緩和時間 τ　抵抗力 -(x;t)*m/τ　τ>0　τ は十分に大きい

■ 運動方程式　m*(x;;t)=-k*x-(x;t)*m/τ

　x;;t+(x;t)/τ+w0^2*x=0　★　

特性方程式　h^2+h/τ+w0^2=0

解の公式を使って　h=-1/(2*τ)±i*w0*root[1-1/(2*w0*τ)^2]

1-1/(2*w0*τ)^2>0　のとき　w0*root[1-1/(2*w0*τ)^2]=w=(w0 より小さい正の定数)　と置けば、

　h=-1/(2*τ)±i*w

t=0 で x=x0 として　x=x0*exp[-t/(2*τ)]*cos(w*t)　★　

固有振動数より小さい角振動数 w で振動する。徐々に振動が小さくなる。

■ 抵抗力 -(x;t)*m/τ=-Kv*(x;t)　粘性抵抗係数(減衰係数) Kv=m/τ　とすれば、

　w/w0=root[1-1/(2*w0*τ)^2]=root[1-Kv^2/(4*m*k)]　★　

■ τ は十分に大きい　1-1/(2*w0*τ)^2>0

　(2*w0*τ)^2>1

　w0*τ>1/2　★　

■ さらに　τ が非常に大きいとき　w~w0　とみなし、

　x=x0*exp[-t/(2*τ)]*cos(w0*t)　★　

〓〓〓　1次元調和振動子.減衰振動　〓〓〓　

▢ 調和振動子　質量 m　変位 x

ばね定数 k　力 F=-k*x　k>0　固有角振動数 w0=root(k/m)

緩和時間 τ　抵抗力 -(x;t)*m/τ　τ>0　τ は十分に大きい
粘性抵抗係数(減衰係数) Kv=m/τ

w/w0=root[1-1/(2*w0*τ)^2]=root[1-Kv^2/(4*m*k)]

w=root[k/m-1/(2*τ)^2]=root[k/m-Kv^2/(4*m^2)]

■ t=0 で x=x0 として　x=x0*exp[-t/(2*τ)]*cos(w*t)

■ さらに　τ が非常に大きいとき　w~w0　とみなし、

　x=x0*exp[-t/(2*τ)]*cos(w0*t)　

〓〓〓　{計算例}1次元調和振動子.減衰振動　〓〓〓　

▣「バークレー物理学コース 力学 p270」

▢ 調和振動子　重りの質量 m1　ばねの有効質量 m2　m1+m2=m

ばね定数 k　固有角振動数 w0=root(k/m)　周期 T=2Pi/w=2Pi*root(m/k)

緩和時間 τ　粘性抵抗係数(減衰係数) Kv=m/τ

τ が非常に大きいとき　w~w0　とみなし　x=x0*exp[-t/(2*τ)]*cos(w0*t)　

■ T=2Pi*root(m/k)　

　T^2=[(2Pi)^2/k]*m=[(2Pi)^2/k]*(m1+m2)

重りの質量 m1 を変えて、周期 T を計測する。T^2 と m1 のグラフを書く。T^2 は m1 の1次関数になるはずである(誤差はある)。グラフの傾きや初期値から、ばね定数 k と、ばねの有効質量 m2 を求める事ができる。

T=0 となるのは m1=-m2 のとき

★ m1=50_g　m2=80_g　T=0.72_sec

　[(2Pi)^2/k]=0.72^2/130

　k=(2Pi)^2*130/0.72^2=9890_g/sec^2

■ 振幅 A とすれば　A=x0*exp[-t/(2*τ)]

対数をとれば　ln(A)=-t/(2*τ)+ln(x0)

時間ごとの振幅を計測する。ln(A) と t のグラフを書く。ln(A) は t の1次関数になるはずである。

★ m=230_g　t=0 のとき ln(A)=1.50　t=455 のとき ln(A)=0　

　1.5=ln(x0)　0=-455/(2*τ)+ln(x0)

　τ=455/(1.5*2)~152_sec

〓〓〓　1次元調和振動子.減衰振動.運動エネルギー　〓〓〓　

▢ 調和振動子.減衰振動　τ が非常に大きいとき　x=x0*exp[-t/(2*τ)]*cos(w0*t)

周期 T=2Pi/w0　T は十分小さいとする

時刻 t~t+T　に、1回振動するときの運動エネルギーの平均 @K(t)　

■ 運動エネルギーは、振幅の2乗に比例する。

時刻 t~t+T の間の振幅を　x0*exp[-t/(2*τ)]　とみなして、

　@K(t)/@K(0)={exp[-t/(2*τ)]}^2=exp(-t/τ)

　@K(t)/@K(0)=exp(-t/τ)　★　

さらに　[@K(0)-@K(t)]/@K(0)=1-@K(t)/@K(0)=1-exp(-t/τ)　★　

■ t=τ　のとき　1-exp(-t/τ)=1-1/e~0.63

T2=ln(2)*τ~0.69*τ　と定めると、

t=T2　のとき　1-exp(-t/τ)=1-exp[-ln(2)]=1-1/2-1/2

 『半減期』 T2

■ @K(t)/@K(0)=exp(-t/τ)　@K(t+T)/@K(0)=exp[-(t+T)/τ]

　@K(t+T)/@K(t)=exp[-(t+T)/τ]/exp(-t/τ)=exp(-T/τ)

　[@K(t)-@K(t+T)]/@K(t)=1-@K(t+T)/@K(t)=1-exp(-T/τ)

T<<τ　のとき　1-exp(-T/τ)-1=T/τ

　[@K(t)-@K(t+T)]/@K(t)=T/τ=2Pi/(w0*τ)

{定義}　(Q値)=2Pi*@K(t)/[@K(t)-@K(t+T)]　とすると、

　(Q値)=2Pi／[2Pi/(w0*τ)]=w0*τ　★　

▲ Q値 が大きいと、1周期の振動で失われる運動エネルギーが小さい。振動系としては、安定している事を表す。ずーと振動している。

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