物理 力学 2021.7-2014.5 Yuji.W
〇 一様な重力場 (0,0) から (1,1) まで滑り落ちる 自由落下+水平運動 斜面 円 サイクロイド ★
2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3)
微分 : 偏微分
; 積分 $ ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル
<A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 # 2021.7
〓 降下問題とは 〓
◇ 降下問題 一様な重力場 1つの質点の運動
働く力は、重力と、軌道を変えるための力(軌道に垂直、速さに影響しない)のみ 摩擦はない
鉛直方向を含む平面内 始点と終点を決める 始点での速さ 0 終点まで滑らかに動き動き、終点まで達する(始点より高い所を通らない)
運動は質量に依らないから単位質量を考える。終点に達するまでの時間を問題にする。
始点から終点まで、なるべく早く着くためには、道のりが小さければよいと思えるが、そういうわけではない。最初に、急斜面を下りて、速さを得てから、徐々に緩やかな斜面を進んだ方が、早く着く。
{以上の条件をはっきりさせないで、いきなり説明に入る資料が多い!2014/5}
〓 降下問題 〓
◇ 降下問題 横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸 始点:原点 終点:(1,1)
質点の質量 1 重力加速度 g 重力 <yu>*g
軌道 y=y(x) 道のり s
t=0 で s=0 , s;t=0 始点から終点までにかかった時間 T 距離 S 終点での速さ V
⓪ 自由落下 終点 (0,1) 距離 1
① 自由落下(真下に落ちる)+水平運動 終点 (1,1) 距離 2
② 斜面 距離 √2
③ 球面 距離 Pi/2
④ サイクロイド
〓 ⓪ 自由落下 〓
◇ 距離 1 だけ自由落下するのにかかる時間 T0 終点での速度 V0
■ (1/2)*g*T0^2=1
T0=root(2/g)=√2*root(1/g)~0.4515_sec ★
V0=g*T0=root(2*g)~4.429_m/sec
〓 ① 自由落下+水平 〓
◇ まず自由落下する。(0,1) に達したら水平に等速直線運動をする。つなぎめは、滑らかで、非常に短い曲線でつなぎ、その部分での時間は無視できるとする。
終点 (1,1) 距離 2
■ (水平運動での速さ)=g*T0=g*root(2/g)=root(2*g)
T=T0+1/root(2*g)=√2*root(1/g)+(√2/2)*root(1/g)=(3/2)*√2*root(1/g)
T/T0=3/2 ★
T=0.677_sec
〓 ② 斜面 〓
◇ 45°の斜面 距離 √2~1.414
■ 斜面にそって、加速度 g/√2 の等加速度運動
(1/2)*(g/√2)*T^2=S2
T^2=2*√2*S2/g=2*√2*√2=4/g
T=2*root(1/g)
T/T0=√2 ★
T=0.639_sec
〓 ③ 円 〓
◇ 半径 1 の円 x=1-cos(a) y=sin(a) [a:0~Pi/2] 距離 Pi/2~1.57
■ エネルギーを考えて (1/2)*(a;t)^2=g*sin(a)
a;t=root[2*g*sin(a)]
t;a=1/(a;t)=[1/root(2*g)]/root[sin(a)]
T=[1/root(2*g)]*${da/root[sin(a)]}[a:0~Pi/2]
⦿ 楕円積分 ${da/root[sin(a)]}[a:0~Pi/2]~2.62 ⦿
T=2.62/root(2*g)
T/T0=2.62/2=1.31 ★
T=0.591_sec
{まとめ} 自由落下+水平 2_m 0.677_sec
斜面 1.414_m 0.639_sec 円 1.57_m 0.591_sec
〓 2点を通るサイクロイド 〓
〇 すべての放物線は互いに相似であったように、すべてのサイクロイドは互いに相似である。大きさは、サイクロイドを作る円の半径によって定まる。
任意の2点を通るサイクロイドは無数にあって、1つには定まらないが、始点(折り返し点)と、もうひとつに点を通るサイクドイドは、1つに定まる ★ {ここをちゃんと押さえてくれないから、ずーと悩む事になるのだ!2015/12}
◇ 横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸 元の円の半径 R 回転角 a_rad
サイクロイド x=R*[a-sin(a)] y=R*[1-cos(a)]
点(1,1)を通るサイクロイドを定めたい。
■ R*[a-sin(a)]=1 & R*[1-cos(a)]=1
R を消去すると a-sin(a)=1-cos(a)
a=1+sin(a)-cos(a) ★
★ a=120_°=2*Pi/3_rad~2.093 のとき
1+sin(a)-cos(a)=1+√3/2+1/2~2.366
★ a=150_°=5*Pi/6_rad~2.617 のとき
1+sin(a)-cos(a)=1+1/2+√3/2~2.366
▶ a=1+sin(a)-cos(a) を満たす解は 2.093<a<2.617
計算機を使って求めて a=2.41201114_rad~138° としたとき、
sin(2.41201)~0.666567731 cos(2.41201)~-0.745453413
1+sin(a)-cos(a)~2.4120211
ほぼ a=1+sin(a)-cos(a) を満たす
このとき R~0.572910378
{まとめ} R~0.572910378 の サイクロイド
a=2.41201114_rad~138° のとき x~y~1
※ a サイクロイドの元になる円の回転した角度
〓 サイクロイドを滑り落ちる 〓
◇ 一様な重力場 重力加速度 g 1つの質点がサイクロイドを滑り落ちる 摩擦はない 運動は質量に依らないから、単位質量であるとする
横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸 サイクロイドの元の円の半径 R
回転した角 a x=R*[a-sin(a)] y=R*[1-cos(a)]
始点 時刻 t=0 a=0 x=0 y=0 (速さ)=0
[a:0~a] のとき 移動した距離 s(a) かかった時間 T(a)
■ s(a)=4*R*[1-cos(a/2)] T(a)=a*root(R/g)
〓 ④ サイクロイド 〓
◇ 一様な重力場 重力加速度 g 1つの質点がサイクロイドを滑り落ちる 摩擦はない
横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸 サイクロイドの元の円の半径 R~0.5729
回転した角 a x=R*[a-sin(a)] y=R*[1-cos(a)] [a:0~2.412_rad]
始点 時刻 t=0 a=0 x=0 y=0 (速さ)=0 終点 x=1 , y=1
移動した距離 距離 4*R*[1-cos(a/2)] かかった時間 T=a*root(R/g)
T0=root(2/g)
■ T/T0
=2.412*root(0.5729/g)/root(2/g)
=2.412*root(0.5729/2)
=2.412*0.5352
~1.291 ★
T=0.583_sec
距離 4*0.5729*[1-cos(2.412/2)]=4*0.5729*0.6432~1.474 ★
〓 降下問題 〓
◇ 一様な重力場 (0,0) から (1,1) まで滑り落ちる
■
自由落下+水平 2_m 0.677_sec
45°の斜面 1.414_m 0.639_sec 円 1.57_m 0.591_sec
サイクロイド 1.474_m 0.583_sec
☆ お勉強しよう since 2011 Yuji Watanabe