お勉強しよう 〕 物理.力学

2016/10-2014/5 Yuji.W

☆最速降下曲線

◎ 一様な重力場 降下問題 サイクロイド cycloid サイクロイドを滑り落ちるのにかかる時間 最速降下曲線 brachistochrone curve

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔物理定数〕.  .
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

☆降下問題☆

降下問題  次のような条件で、

・一様な重力場 ※ 一般の保存力場に拡張してもよい

・1つの質点 重力場では、運動は質量に依らないから単位質量を考える

・運動は、鉛直方向を含む平面内に限る

・その平面内で、始点と終点を決める

・始点から終点まで、始点の高さを超えない

・始点での、速さ 0

以上のような条件で、始点から終点までにかかる時間を求める

 重力加速度 g 原点からの軌道の長さ s 質点の速さ s' かかる時間 T

{以上の条件をはっきりさせないで、いきなり説明に入る資料が多い!2014/5}

◇問題1-3つの経路◇

■【 問題1 】

横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸 始点:原点 終点:終点 P(X,X)

次の3つの経路で滑り落ちる場合にかかる時間 T1,T2,T3

@ 傾斜角45°の斜面

A 半球内[半径 X]

B サイクロイド ただし、原点をサイクロイドの折り返し点と一致させる

◇問題1-斜面を滑り落ちる◇

◆ 傾斜角45°の斜面 かかる時間 T1

■ 距離=root2*X

斜面方向への力=m*g*root2/2 斜面方向への加速度=g*root2/2

 (1/2)*(g*root2/2)*T1^2=root2*X

 T1=2*root(X/g) .

☆問題1-半球内を滑り落ちる☆

◆ 半球内 半径 R かかる時間 T 質点の位置を円座標(R,a)で表す

始点:(R,0) 終点:(R,Pi/2)

■ エネルギーを考える。半球からの抗力は、常に、運動方向に対して垂直であるから、仕事をしない。重力のみによる位置エネルギーだけを考えればよい。

 運動エネルギー=(1/2)*m*(R*a')^2

 位置エネルギー=m*g*R*sin(a)

 (1/2)*m*(R*a')^2=m*g*R*sin(a)

 a'^2=2*(g/R)*sin(a)

 t;a=root[R/(2*g)]/root[sin(a)]

 T=root[R/(2*g)]*${da/root[sin(a)]}[a:0~Pi/2]

ここで ${da/root[sin(a)]}[a:0~Pi/2]~2.62

 T=root[R/(2*g)]*2.62=(2.62/root2)*root(X/g)~1.85*root(R/g) .

 速さ=R*a'=R*root[2*(g/R)*sin(Pi/2)]=root2*root(g*R)

◇2点を通るサイクロイド◇

『垂れ下がったサイクロイド』 2015/12

◆ 横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸 元の円の半径 R 回転角 a_rad

■ x=R*[a-sin(a)] y=R*[1-cos(a)]

◎ 任意の2点を通るサイクロイドは無数にある。1つには定まらない。サイクロイドの始点(折り返し点)と、もうひとつに点を通るサイクドイドは、1つに定まる .
{ここをちゃんと押さえてくれないから、ずーと悩む事になるのだ!2015/12}

◆ 次の2点を通るサイクロイド @ サイクロイドの始点(折り返し点) A x=y

@ a=0 A a=? グラフより a~135°

■ x=y

 R*[a-sin(a)]=R*[1-cos(a)]

 a-sin(a)=1-cos(a)

 a=1+sin(a)-cos(a)

 a~2.41201_rad~138° このとき、

 sin(a)~0.66656 cos(a)~-0.74545 1+sin(a)-cos(a)~2.41201

≫ a~2.41201_rad~138° のとき x=y=1.74545*R

{復習}サイクロイドの長さ

◆ サイクロイド a=0 から a までのサイクロイドの長さ s(a) 0≦a<Pi

■ s(a)=4*R*[1-cos(a/2)] .

◇サイクロイドを滑り落ちる◇

◆ サイクロイド 横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸 サイクロイドの元の円の半径 R

a=0 から a まで滑り落ちるのにかかる時間 t(a)

■【 エネルギーの関係 】

 運動エネルギー=(1/2)*m*s'^2
 位置エネルギー=m*g*y=m*g*R*[1-cos(a)]

摩擦はないから (1/2)*m*s'^2=m*g*R*[1-cos(a)]

 s'^2=2*g*R*[1-cos(a)] @

■【 s' と a' 】

 s(a)=4*R*[1-cos(a/2)]

 s'=2*R*sin(a/2)*a' A

■ @Aより 4*R^2*sin(a/2)^2*a'^2=2*g*R*[1-cos(a)]

 2*(R/g)*{sin(a/2)^2/[1-cos(a)]}*a'^2=1

ここで sin(a/2)^2/[1-cos(a)]=(1/2)*[1-cos(a)]/[1-cos(a)]=1/2

 (R/g)*a'^2=1

 root(R/g)*a'=1 サイクロイドの元の円は一定の回転速度で回転していく{!}

 t;a=root(R/g)=一定

 t(a)=root(R/g)*a .

◇問題1-サイクロイドを滑り落ちる◇

◆ 横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸 始点O 原点 終点 P(X,X)

サイクロイドを滑り落ちるのにかかる時間 T3

サイクロイドの元の円の半径 R X=1.74545*R

点Pの回転角a~2.41201_rad~138°

a=0 から a まで滑り落ちるのにかかる時間 t(a)=root(R/g)*a

■ T3
=root[(X/1.74545)/g]*2.141201
=2.41201/root(1.74545)*root(X/g)
~1.83*root(X/g)
.

■【 問題1の答 】

原点から点 (X,X) まで滑り落ちるのにかかる時間

@ 傾斜角45°の斜面 T1=2*root(X/g)

A 円[半径 X]  T2=1.85*root(X/g)

B サイクロイド T3=1.83*root(X/g) .

{ガリレイは円だと予想したそうだ、素晴らしい!2014/5}

◇問題2-3つの経路◇

◆ 横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸 始点:原点 終点:(Pi*R,2*R)

サイクロイドの元の円の半径 R

次の3つの経路で滑り落ちる場合にかかる時間 T1,T2,T3

@ 斜面 A 半球内+平面 B サイクロイド〔始点:サイクロイドの折り返し点 ※ この条件がないと、サイクロイドが定まらない〕

■【 斜面を滑り落ちる 】

 斜面方向への力=m*g*(2*R)/(Pi*R)=2*m*g/Pi

 斜面方向への加速度=2*g/Pi

 斜面の長さ=R*root(4+Pi^2)

 (1/2)*(2*g/Pi)*T1^2=R*root(4+Pi^2)

 T1^2=(R/g)*Pi*root(4+Pi^2)

 T1
=root(Pi)*root[root(4+Pi^2)]*root(R/g)
~1.77*1.93*root(R/g)
~3.42*root(R/g)
.

■【 半球内+平面 】

サイクロイドの元の円の半径 R 半球の半径=2*R

 半球内を滑り落ちるのにかかる時間
=1.85*root(2*R/g)
=1.85*root2*root(R/g)
~2.62*root(R/g)

 平面の距離=Pi*R-2*R=(Pi-2)*R

 平面を滑る速さ=root2*root(2*g*R)=2*root(g*R)

 平面を滑るのにかかる時間
=(Pi-2)*R/[2*root(g*R)]
=[(Pi-2)/2]*root(R/g)
~0.57*root(R/g)

 T2=2.62*root(R/g)+0.57*root(R/g)=3.19*root(R/g) .

■【 サイクロイド 】

a=0 から a まで滑り落ちるのにかかる時間 t(a)=root(R/g)*a

 T3=t(Pi)=Pi*root(R/g)=3.14*root(R/g) .

■【 問題2の答 】

横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸 始点:原点 終点:(Pi*R,2*R)

@ 斜面 T1=3.42*root(R/g)

A 半球内+平面 T2=3.19*root(R/g)

B サイクロイド T3=3.14*root(R/g) .{けっこう接戦だな!}

{よくできました!2016/2}

◇問題2-3つの経路◇

◆ 横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸 始点:原点 終点:(Pi*R,R)

サイクロイドの元の円の半径 R

次の3つの経路で滑り落ちる場合にかかる時間 T1,T2,T3

@ 斜面 A 半球内+平面 B サイクロイド〔始点:サイクロイドの折り返し点 ※ この条件がないと、サイクロイドが定まらない〕

■【 斜面を滑り落ちる 】

 斜面方向への力=m*g*R/(Pi*R)=m*g/Pi

 斜面方向への加速度=g/Pi

 斜面の長さ=R*root(1+Pi^2)

 (1/2)*(g/Pi)*T1^2=R*root(1+Pi^2)~3.2969*R

 T1^2=(R/g)*2Pi*root(1+Pi^2)

 T1
=root(2Pi)*root[root(1+Pi^2)]*root(R/g)
~2.51*1.82*root(R/g)
~4.57*root(R/g)
.{遅い!2016/2}

■【 半球内+平面 】

 半球内を滑り落ちるのにかかる時間=1.85*root(R/g)

 平面の距離=Pi*R-R=(Pi-1)*R

 平面を滑る速さ=root2*root(g*R)

 平面を滑るのにかかる時間
=(Pi-1)*R/[root2*root(g*R)]
=[(Pi-1)/root2]*root(R/g)
~1.51*root(R/g)

 T2=1.85*root(R/g)+1.51*root(R/g)=3.36*root(R/g) .

■【 サイクロイド 】

a=0 から a まで滑り落ちるのにかかる時間 t(a)=root(R/g)*a

 T3=t(Pi)=Pi*root(R/g)=3.14*root(R/g) .

■【 問題2の答 】

横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸 始点:原点 終点:(Pi*R,R)

@ 斜面 T1=4.57*root(R/g)

A 半球内+平面 T2=3.36*root(R/g)

B サイクロイド T3=3.14*root(R/g) .

{よくできました!2016/2}

☆一様な重力場での最速降下曲線☆

「変分法」 ◇微分;x 時間微分' y;x=Y

■ 変数 x その関数 y(x) その微分 y;x=Y

以上の3つから表される汎関数(関数の関数) F(x,y,Y)

その積分 I=${F(x,y,Y)*dx}[x:x1~x2]

I が停留値をとるような関数 y(x) を求める方法

次の条件式を満たす F;y=d(F;Y)/dx〔〕オイラー・ラグランジュ方程式

■ 【 F=F(y,Y) 】のとき F-Y*(F;Y)=一定〔〕ベルトラミの公式

◆ 次のような条件で、

・一様な重力場 ※ 一般の保存力場に拡張してもよい

・1つの質点 重力場では、運動は質量に依らないから単位質量を考える

・チューブを用意し、その中を運動させる チューブは任意の形にできる ただし、鉛直線を含む平面に限る

・摩擦はない

・質点に働く力は、重力とチューブによる抗力のみ。抗力は軌道に垂直に働くから、運動エネルギーに影響を及ぼさない。位置エネルギー+運動エネルギー は保存される。

・初速度は0 静かに落とす

・始点と終点を定める

・始点から終点まで、始点の高さを超えない。超えると止まってしまう。

以上の条件の元で、始点から終点までにかかる時間が最も短い場合の、曲線の形を求める

鉛直下向き:x軸 水平方向:y軸 始点:原点 終点 (X,Y) かかる時間 T

※ 座標軸の方向により、式が違ってくる{!}

重力加速度 g 原点からの軌道の長さ s 質点の速さ s'

曲線の形 y=f(x) y;x=Y

{以上の条件をはっきりさせないで、いきなり説明に入る資料が多い!2014/5}

■ エネルギー保存則(単位質量当たり)より s'=root(2*g*x)

 t;s=1/root(2*g*x)

また ds=root[(dx)^2+(dy)^2]=root(1+Y^2)*dx

 dt=(t;s)*ds=[1/root(2*g))]*root[(1+Y^2)/x]*dx〔

 T=${dt}[t:始点~終点]

 F(x,y,Y) ∝ root[(1+Y^2)/x] y に依らないから F;Y が定数であることを示せば、オイラー方程式を満たす。〔

☆サイクロイド☆

◎ サイクロイドが最速降下曲線であることを示そう。オイラー方程式を満たすことを示せばよい。

「サイドクロイド」

※ すべてのサイドクロイドは相似 円と同様

◆ 縦軸下向き x軸 横軸 y軸 原点:左上 元の円の回転角 a

■ 半径 1 元の円の中心の位置 (1,a) 縦 x=1-cos(a) 横 y=a-sin(a)

■ 半径 R 元の円の中心の位置 (R,R*a) x=R*(1-cos(a)) y=R*(a-sin(a))

※ xとyの1対1対応にこだわるなら 0<a<Pi 0<y<Pi*R

◇ 微分;x 時間微分' y;x=Y

● sin(a/2)^2=(1/2)*(1-cos(a)) cos(a/2)^2=(1/2)*(1+cos(a))

◆ サイクロイドは、すべて相似であるから、R=1 の場合を調べれば十分である。 x=1-cos(a) y=a-sin(a) ※ a:元の円の回転角

 F(x,y,Y)=root[(1+Y^2)/x] F;Y=定数 を示す

■ F;Y=(Y/x)*root[x/(1+Y^2)]=Y/root[x*(1+Y^2)]

 Y=y;x=(y;a)/(x;a)=(1-cos(a))/sin(a)

 1+Y^2
=1+(1-cos(a))^2/sin(a)^2
=[sin(a)^2+(1-cos(a))^2]/sin(a)^2
=2*(1-cos(a))/sin(a)^2

 x*(1+Y^2)=2*(1-cos(a))^2/sin(a)^2 root[x*(1+Y^2)]=root2*(1-cos(a))/sin(a)

 F;Y ∝ Y/root[x*(1+Y^2)]=[(1-cos(a))/sin(a)]/[(1-cos(a))/sin(a)]=1

F;Y が定数であることがわかったので、サイクロイド曲線は、オイラー方程式を満たし、かかる時間は最小であることが言える。〔

☆重力列車☆

◎ 重力を利用し、水平方向に移動できる。どんな軌道でも、摩擦がなく、滑らかで、水平線を超えなければ、任意の地点に移動できる。ただサイクロイドだと、最も早く移動できる。

◆ 一様な重力場 摩擦なし サイクロイドに従って動く

サイクロイドを作る元の円の半径 R 水平移動距離 y 最深部の深さ x

かかる時間 T 

■ y=2Pi*R x=2*R=y/Pi=0.32*y

 T=2Pi*root(R/g)=root(2Pi/g)*root(y)=0.8*root(y)〔

 水平移動距離の速さ v=y/T=y/[0.8*root(y)]=1.25*root(y)

★ y=400_km=40*Ten(4) root(y)=632

 T=506_sec=8分半 v=790_m/sec=2800_km/h ジュット戦闘機並

 x=130_km 地殻を突き破ってマグマの所

★ y=1_km=1000_m root(y)=31.6

 T=25_sec v=40_m/sec=144_km/h x=320_m

{これぐらいは、今でも建設できそうだな!2014/5}

◇サイクロイド上での振動◇

◎ 一様な重力場 サイクロイド上 摩擦なし

● 単振動の周期 T0=2Pi*root(R/g)~6.28*root(R/g)

半球内の振動(a:0~Pi/2)の周期 T=1.18*T0~7.41*root(R/g)

◆ 質点[質量 m] 一番低い所 原点 水平 x軸 鉛直方向上向き y軸

サイクロイド 回転角 a x=R*[a+sin(a)] , y=R*[1-cos(a)]

最大回転角 a0 運動エネルギー K 位置エネルギー U

運動エネルギー 

 x'/R=a'*[1+cos(a)] y'/R=a'*sin(a)

 (x'/R)^2+(y'/R)^2
=a'^2*[1+cos(a)]^2+a'^2*sin(a)^2
=a'^2*[1+2*cos(a)+cos(a)^2+sin(a)^2]
=2*a'^2*[1+cos(a)]
=4*a'^2*cos(a/2)^2

 K/m=(1/2)*R^2*[4*a'^2*cos(a/2)^2]=2*R^2*a'^2*cos(a/2)^2

位置エネルギー 

 U/m=g*y=g*R*[1-cos(a)]=2*g*R*sin(a/2)^2

エネルギー保存より 

 2*R^2*a'^2*cos(a/2)^2+2*g*R*sin(a/2)^2=2*g*R*sin(a0/2)^2

 a'=root(g/R)*root[sin(a0/2)^2-sin(a/2)^2]/cos(a/2)

 dt=root(R/g)*cos(a/2)/root[sin(a0/2)^2-sin(a/2)^2]

 T/4=root(R/g)*${(cos(a/2)/root[sin(a0/2)^2-sin(a/2)^2])*da}[a:0~a0] 

● 正の数 A -A<x<A a=arcsin(x/A) と置いて ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=a

● I=${(cos(a/2)/root[sin(a0/2)^2-sin(a/2)^2])*da}[a:0~a0]

sin(a/2)=u sin(a0/2)=u0 と置く

 u;a=(1/2)*cos(a/2) du=(1/2)*cos(a/2)*da

 [a:0~a0]=[u:0~u0]

 cos(a/2)=root(1-u^2)

 (cos(a/2)/root[sin(a0/2)^2-sin(a/2)^2])*da
=2*du/root(u0^2-u^2)

 I
=2*${[1/[root(u0^2-u^2)]*du}[u:0~u0]
=2*[arcsin(u/u0)][u:0~u0]
=2*arcsin(1)
=2*(Pi/2)
=Pi

 T/4=root(R/g)*Pi

 T=4Pi*root(R/g)  サイクロイド上の振動の周期 初期値の位置 a0 に依らない

▲ 単振動の周期 T0=2Pi*root(R/g) 半球内の振動(a:0~Pi/2)の周期  T=1.18*T0

サイクロイド T=2*T0

『半球内の運動』 2015/12

◆ 半球[半径 R] 質点[質量m] 半球内を滑り落ちる 摩擦なし

■ 真横から真下までにかかる時間 1.85*root(R/g)

 振動する周期 7.41*root(R/g)

※ 45°に傾いた斜面を滑り落ちる場合 距離 root2*R 加速度 g*roo2/2

 かかる時間 2*root(R/g)

.  最速降下曲線  .

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