☆お勉強しようUz☆ 数学.図形

2016/3-2012/11 Yuji.W

☆r=l/[1+e*cos(a)]☆

◎ 軌道 r=l/[1+e*cos(a)] {ケプラー問題を考えるのに、この式の理解が大事!2016/3}

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 .

◇円座標(r,a)表示◇

◆ r=l/[1+e*cos(a)] 

★ l=1 e=2 引力 双曲線

a→

0

Pi/6

Pi/4

Pi/3

Pi/2

2Pi/3

3Pi/4

5Pi/6

Pi

cos(a)

1

0.866

0.707

0.5

0

-0.5

-0.707

-0.866

-1

r

0.33

0.37

0.41

0.5

1

-2.42

-1.37

-1

★ l=-1 e=2 斥力 双曲線

a→

0

Pi/6

Pi/4

Pi/3

Pi/2

2Pi/3

3Pi/4

5Pi/6

Pi

cos(a)

1

0.866

0.707

0.5

0

-0.5

-0.707

-0.866

-1

r

-0.33

-0.37

-0.41

-0.5

-1

2.42

1.37

1

◇r=l/[1+e*cos(a)]◇

◆ 円座標(r,a) 軌道 r=l/[1+e*cos(a)]〔l:定数 e:正の定数〕

円座標で (l/(1+e) , 0)_c (l , Pi/2)_c (l/(1-e) , Pi)_c

デカルト座標に変換すれば x=r*cos(a) y=r*sin(a)

軌道は、x軸に対して対称

arccos(-1/e)=\a とすると 1+e*cos(\a)=0

■【 r>0 となる条件 】

@ 0<e<1 l>0 のとき a の任意の値に対して、r は正の値をとる。また、r は、周期関数になる。軌道は、楕円を描く。

A e=1 l>0 のとき a=Pi 以外の値で、r は正の値をとる。放物線になる。

B e>1 l>0 のとき |a|<\a で、r は正の値をとる。双曲線になる。

C e>1 l<0 のとき |a|>\a で、r は正の値をとる。双曲線になる。

D 0<e≦1 l<0 のとき a の任意の値に対して、r は正の値をとらない。軌道を考えるとき、考える必要がない。

※ e<0 の場合は、x軸を軸として対称移動しただけだから、考える必要がない。e は正の定数と限定してもよい。

※ r<0 のとき、原点に対して点対称の位置にあると考えれば、もうひとつの双曲線が表れる。

◇0<e<1 & l>0◇

◆ 円座標(r,a) 軌道 r=l/[1+e*cos(a)]〔l:正の定数 e:定数 0<e<1〕

■【  デカルト座標に直す 】

 x=r*cos(a) y=r*sin(a) x^2+y^2=r^2

軌道の式より r+r*e*cos(a)=l

 r+e*x=l

 r=l-e*x

 r^2=l^2-2*e*l*x+e^2*x^2

 x^2+y^2=l^2-2*e*l*x+e^2*x^2

 (1-e^2)*x^2+2*e*l*x+y^2=l^2

 (1-e^2)*{x^2+2*[e*l/(1-e^2)]*x}+y^2=l^2

 (1-e^2)*[x+e*l/(1-e^2)]^2+y^2=l^2+e^2*l^2/(1-e^2)

 右辺=l^2*[1+e^2/(1-e^2)]=l^2/(1-e^2)

 (1-e^2)*[x+e*l/(1-e^2)]^2+y^2=l^2/(1-e^2)

 (1-e^2)*[x+e*l/(1-e^2)]^2+y^2/[l/root(1-e^2)]^2=1

 [x+e*l/(1-e^2)]^2/[l/(1-e^2)]^2+y^2/[l/root(1-e^2)]^2=1

ここで A=l/(1-e^2) B=l/root(1-e^2) F=e*l/(1-e^2) と置けば、

 (x+F)^2/A^2+y^2/B^2=1 .楕円

A:長径 B:短径 F:楕円の中心から焦点までの距離

■【 A,B,F の関係 】

 A^2-B^2
=l^2/(1-e^2)^2-l^2/(1-e^2)
=[l^2/(1-e^2)^2]*[1-(1-e^2)]
=e^2*l^2/(1-e^2)^2
=F^2

 通径 B^2/A=[l^2/(1-e^2)]/[l/(1-e^2)]=l

 F/A=[e*l/(1-e^2)]/[l/(1-e^2)]=e 離心率

r0=A-F として、

 r0
=A-F
=l/(1-e^2)-l*e/(1-e^2)
=l*(1-e)/(1-e^2)
=l/(1+e)

≫ r0=l/(1+e)

 1+e=l/r0

 e=l/r0-1

『楕円 0<e<1 & l>0』 2016/3

◆ 円座標(r,a) 軌道 r=l/[1+e*cos(a)]〔l:正の定数 e:定数 0<e<1〕

■ (x+F)^2/A^2+y^2/B^2=1

長径 A=l/(1-e^2) 短径 B=l/root(1-e^2)

楕円の中心から焦点までの距離 F=root(A^2-B^2)=e*l/(1-e^2)

B^2/A=l 離心率 e=F/A r0=A-F=l/(1+e) e=l/r0-1

{よしまとまった!2016/3}

◇e=1 & l>0◇

■ 2*x+y^2=l^2

 x=-(1/2)*y^2+l^2/2 .放物線

◇e>1 & l>0◇

◆ 円座標(r,a) 軌道 r=l/[1+e*cos(a)]〔l:正の定数 e:定数 e>1〕

 

 双曲線の中心からx切片までの距離=

 双曲線の中心から焦点までの距離=

■ e^2-1>0 に注意して、

 (e^2-1)*[x-e*l/(e^2-1)]^2-y^2=l^2/(e^2-1)

 [x-e*l/(e^2-1)]^2/[l/(e^2-1)]^2-y^2/[l/root(e^2-1)]^2=1

ここで A=l/(e^2-1) B=l/root(e^2-1) F=e*l/(e^2-1) と置けば、

 (x-F)^2/A^2-y^2/B^2=1 .双曲線(原点:x軸のマイナス側の焦点)

 A:双曲線の中心からx切片までの距離
 F:双曲線の中心から焦点までの距離

■【 A,B,F の関係 】

 A^2+B^2
=l^2/(e^2-1)^2+l^2/(e^2-1)
=[l^2/(e^2-1)^2]*[1+(e^2-1)]
=e^2*l^2/(e^2-1)^2
=F^2

 B^2/A=l F/A=e

r0=F-A として、

 r0
=e*l/(e^2-1)-l/(e^2-1)
=l*(e-1)/(e^2-1)
=l/(1+e)

≫ r0=l/(1+e)

 1+e=l/r0

 e=l/r0-1

『双曲線 e>1 & l>0』 2016/3

◆ 円座標(r,a) 軌道 r=l/[1+e*cos(a)]〔l:正の定数 e:定数 e>1〕

■ (x-F)^2/A^2-y^2/B^2=1 双曲線(原点:x軸のマイナス側の焦点)

双曲線の中心からx切片までの距離 A=l/(e^2-1) B=l/root(e^2-1)

双曲線の中心から焦点までの距離 F=root(A^2+B^2)=e*l/(e^2-1)

B^2/A=l e=F/A r0=F-A=l/(1+e) e=l/r0-1

{よしまとまった!2016/3}

◇e>1 & l<0◇

◆ 円座標(r,a) 軌道 r=l/[1+e*cos(a)]〔l:負の定数 e:定数 e>1〕

★ e=2  l=-1

a→

2Pi/3

3Pi/4

5Pi/6

Pi

cos(a)

-0.5

-0.707

-0.866

-1

r

2.42

1.37

1

x軸のマイナス側から、プラス側の焦点に近づいてきて、反発されて、x軸のマイナス側の無限遠に遠ざかる

 双曲線の中心からx切片までの距離=1/3
 双曲線の中心から焦点までの距離=2/3
 焦点までの最短距離=1

■ \l=-l \l>0

 (e^2-1)*[x+e*\l/(e^2-1)]^2-y^2=\l^2/(e^2-1)

 [x+e*\l/(e^2-1)]^2/[\l/(e^2-1)]^2-y^2/[\l/root(e^2-1)]^2=1

ここで A=\l/(e^2-1) B=\l/root(e^2-1) F=e*\l/(e^2-1) と置けば、

 (x+F)^2/A^2-y^2/B^2=1 .双曲線(原点:x軸のプラス側の焦点)

 A:双曲線の中心からx切片までの距離
 F:双曲線の中心から焦点までの距離

■【 A,B,F の関係 】

 A^2+B^2
=\l^2/(e^2-1)^2+\l^2/(e^2-1)
=[\l^2/(e^2-1)^2]*[1+(e^2-1)]
=e^2*\l^2/(e^2-1)^2
=F^2

 B^2/A=\l F/A=e

r0=F+A として、

 r0
=e*\l/(e^2-1)+\l/(e^2-1)
=\l*(e+1)/(e^2-1)
=\l/(e-1)

≫ r0=\l/(e-1)

 e-1=\l/r0

 e=1+\l/r0

『双曲線2 e>1 & l<0』 2016/3

◆ 円座標(r,a) 軌道 r=l/[1+e*cos(a)]〔l:負の定数 e:定数 e>1〕

■ -l=\l >0

(x+F)^2/A^2-y^2/B^2=1 双曲線(原点:x軸のプラス側の焦点)

双曲線の中心からx切片までの距離 A=\l/(e^2-1) B=\l/root(e^2-1)

双曲線の中心から焦点までの距離 F=root(A^2+B^2)=e*\l/(e^2-1)

B^2/A=\l e=F/A r0=F+A=\l/(e-1) e=1+\l/r0

{よしまとまった!2016/3}

◇漸近線◇

◆ 円座標(r,a) 軌道 r=l/[1+e*cos(a)]〔l:負の定数 e:定数 e>1〕

\l=-l \l>0 r=-\l/[1+e*cos(a)]

■【 漸近線とx軸とが作る角 \a 】

 tan(\a)=B/A=[¥l/root(e^2-1)]/[¥l/(e^2-1)]=root(e^2-1)

■【 衝突係数(漸近線と焦点との距離) 】

 衝突係数=F*sin(\a)=F*(B/F)=B=\l/root(e^2-1) .

◇r=\l/[\e*cos(a)-1]◇

◆ 円座標(r,a) 軌道 r=\l/[\e*cos(a)-1]〔\l,\e:正の定数 \e>1〕

★ \l=1 , \e=2

a→

0

Pi/6

Pi/4

Pi/3

cos(a)

1

0.866

0.707

0.5

r

1

1.37

2.41

x軸のプラス側から、マイナス側の焦点に近づいてきて、反発されて、x軸のプラス側の無限遠に遠ざかる

 双曲線の中心からx切片までの距離=1/3
 双曲線の中心から焦点までの距離=2/3
 焦点までの最短距離=1

■【 デカルト座標に直す 】

x=r*cos(a) , y=r*sin(a) x^2+y^2=r^2

 r*\e*cos(a)-r=\l

 \e*x-\l=r

 (\e*x-\l)^2=r^2

 \e^2*x^2-2*x*\e*\l+\l^2=x^2+y^2

 (\e^2-1)*x^2-2*x*\e*\l-y^2=-\l^2

 (\e^2-1)*[x^2-2*x*\e*\l/(\e^2-1)]-y^2=-\l^2

 (\e^2-1)*[x-\e*\l/(\e^2-1)]^2-y^2=\e^2*\l^2/(\e^2-1)-\l^2

 右辺=[\l^2/(\e^2-1)]*[\e^2-(\e^2-1)]=\l^2/(\e^2-1)

 (\e^2-1)*[x-\e*\l/(\e^2-1)]^2-y^2=\l^2/(\e^2-1)

 [x-\e*\l/(\e^2-1)]^2/[\l/(\e^2-1)]^2-y^2/[\l/root(\e^2-1)]^2=1

ここで A=\l/(\e^2-1) B=\l/root(\e^2-1) F=\e*\l/(\e^2-1) と置けば、

 (x-F)^2/A^2-y^2/B^2=1 .双曲線(原点:x軸のマイナス側の焦点)

 A:双曲線の中心からx切片までの距離
 F:双曲線の中心から焦点までの距離

■【 A,B,F の関係 】

 A^2+B^2
=\l^2/(\e^2-1)^2+\l^2/(\e^2-1)
=\l^2/(\e^2-1)^2*[1+(\e^2-1)]
=\e^2*\l^2/(\e^2-1)^2
=F^2

≫ A^2+B^2=F^2

 B^2/A=\l F/A=\e

 マイナス側の焦点から、軌道への最短距離 r0
=F+A
=\e*\l/(\e^2-1)+\l/(\e^2-1)
=\l/(\e-1)

■【 漸近線 】

漸近線とx軸とが作る角 \a tan(\a)
=B/A
=[\l/root(\e^2-1)]/[\l/(\e^2-1)]
=root(\e^2-1)

■【 曲がる角) 】

 a_bend=2Pi-2*\a

■【 衝突係数(漸近線と焦点との距離) 】

 衝突係数
=F*sin(\a)
=F*(B/F)
=B
=\l/root(\e^2-1)

  r=l/[1+e*cos(a)]  

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