☆お勉強しようUz☆ 物理.特殊相対性理論

2016/4-2015/11 Yuji.W

☆ニュートリノ,ベータ崩壊☆

◎ neutrino ベータ崩壊

質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc 運動量(光速倍) <pc> 速度(対光速比) <b>

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇ニュートリノ◇

■ ニュートリノは光子と違い、質量がある事がわかっている。ただし、非常に軽いので、質量 0 とみなし、常に光速で進むとする。また エネルギー=運動量(光速倍) となる。

◇中性子⇒陽子+電子+ニュートリノ◇

◎ ベータ崩壊では、ニュートリノの存在がキーポイントとなる。

● @Mn=939.565_MeV @Mp=938.272_MeV @Me=0.511_MeV

◆ ベータ崩壊 n -> p + (e-) + (nu) 崩壊後の全運動エネルギー K

■ K=@Mn-@Mp-@Me=939.565-938.272-0.511=0.782_MeV 


◆ ベータ崩壊 n -> p + (e-) + (nu) 崩壊前の n と、崩壊後の p は静止しているとする

崩壊後の (e-) と (nu) の運動量(光速倍)の大きさ pc ※ 方向は逆

崩壊後の (e-) と (nu) のエネルギー Ee , Enu

■ 各々の粒子で Ee^2=@Me^2+pc^2 @  Enu=pc A

エネルギー保存 @Mn=@Mp+Ee+Enu B

@ABで 未知数 pc,Enu,Ee 3つ 解ける{!}

@Aより Enu=root(Ee^2-@Me^2) C

BCより (@Mn-@Mp-Ee)^2=Ee^2-@Me^2

 左辺=(@Mn-@Mp)^2-2*(@Mn-@Mp)*Ee+Ee^2

 (@Mn-@Mp)^2-2*(@Mn-@Mp)*Ee+Ee^2=Ee^2-@Me^2

 Ee=[(@Mn-@Mp)^2+@Me^2]/[2*(@Mn-@Mp)]

 Ee=(1.293^2+0.511^2)/(2*1.293)~1.933/(2*1.293)~0.747_MeV

 pc=root(Ee^2-@Me^2)=root(0.747^2-0.511^2)~root(0.297)~0.545_MeV

 Enu=pc=0.545_MeV  〔p が静止している場合〕

 電子の運動エネルギー Ke=Ee-@Me=0.747-0.511=0.236_MeV

『ベータ崩壊』 2015/8

◆ ベータ崩壊 n -> p + (e-) + (nu) 崩壊前の n と、崩壊後の p は静止している場合

■ 崩壊後の電子のエネルギー Ee=0.747_MeV 運動エネルギー K=0.236_MeV

崩壊後のニュートリノのエネルギー Enu=pc=0.545_MeV

▲ 崩壊後の p の運動を考えれば、0.545_MeV が最大値となる

 ★ 3重水素 3H -> 3He + e- + ニュートリノ 崩壊後の運動エネルギー K=0.0186_MeV

ニュートリの質量は無視できる

{解} まず、3He の静止質量を求めよう。結合エネルギー 2.6*3=7.8_MeV である。
3He=2*p+n だから、

 (3He の静止質量)=938.3*2+939.6-7.8=2808.4_MeV

3H の静止質量 @M 崩壊後の運動エネルギー K=0.0186_MeV だから、

 0.01386=@M-0.5-2808.4 @M=2808.9

3H=p+2*n だから、3H の結合エネルギー ΔE

 ΔE=(938.3+939.6*2)-2808.9=8.6_MeV

★ (Pi-) -> (μ-) + (反ニュートリノ)

静止質量(光速の2乗倍) 139.6_MeV 105.7_MeV 非常に小さい

--ヘリウェル 特殊相対論 p154 12.5--

μ中間子

 E1=(139.6^2+105.7^2)/(2*139.6)=(19488+11172)/(2*139.6)~109.8_MeV

 K1=109.8-105.7=4.1_MeV

 p1=root(109.8^2-105.7^2)=root(215.5*4.1)~29.7_MeV

 b1=p1/E1=29.7/109.8~0.27

ニュートリノ

 E2=K2=p2=139.6-109.8=29.8_MeV ※ p1との違いは、計算上の誤差

{ニュートリノの質量は無視できるが、エネルギーや運動量では、大きな量を分担している!}

★ (Pi+) -> (e+) + (ニュートリノ)

静止質量(光速の2乗倍) 139.6_MeV 0.5_MeV 非常に小さい

--ヘリウェル 特殊相対論 p154 12.6--

 E1=(139.6^2+0.5^2)/(2*139.6)=(19488+0.25)/(2*139.6)~69.801_MeV

 E2=139.6-69.8=79.8_MeV

 K1=69.8-0.5=69.3_MeV

 p1=root(69.8^2-0.5^2)=69.798_MeV

 b1=p1/E1=69.798/69.801~0.99996

★ (Pi-) -> (μ-) + (反ニュートリノ)

静止質量(光速の2乗倍) 139.6_MeV 105.7_MeV 非常に小さい

(Pi-)の静止質量が、すべて、(μ-) のエネルギーになったとすれば、

 E=139.6_MeV K=139.6-105.7=33.9_MeV

 p=root(139.6^2-105.7^2)=root(245.3*33.9)=91.2_MeV

 b=91.2/139.6=0.65

☆陽子+ニュートリノ⇒中性子+陽電子☆

◆ 反ニュートリノが、静止している陽子に衝突し、中性子、陽電子になる

nu--> |pc|

n--> (e+)-->

3粒子の質量(光速の2乗倍) Mp=938.3_MeV , Mn=939.6_MeV , Me=0.5_MeV

ニュートリノのエネルギー Enu

■ 衝突前のエネルギー Enu+938.3

衝突後の静止エネルギー 939.6+0.5=940.1

この反応が起きるためには Enu+938.3 > 940.1

 Enu > 1.8_MeV

 ΔE > 940.1-938.3=1.8_MeV

◇2陽子⇒重水素+陽電子+ニュートリノ◇

◆ p + p -> d + (e+) + (nu)  重水素 d ニュートリノ (nu)

p--> <--p

<--d (e+)--> (nu)-->

@Mp @Mp
Ed,@Md Ee,@Me Enu,0

(nu) の質量は無視できる 陽子の運動エネルギーも無視できる 質量の中心系1次元

(nu) のエネルギー Enu [(nu) の運動量の大きさ]=Enu 運動量には方向がある

--ヘリウェル 特殊相対論 p155 12.7--

■ エネルギー保存 2*@Mp=Ed+Ee+Enu

運動量保存 root(Ed^2-@Md^2)=root(Ee^2-@Me^2)+Enu

衝突後の全運動エネルギー K
=(Ed+Ee+Enu)-(@Md+@Me)
=2*@Mp-@Md-@Me
=2*938.272-1875.614-0.511
=0.419_MeV 

■ さらに、重水素が静止したとき Ed=@Md

エネルギー保存 2*@Mp=Ed+Ee+Enu  運動量保存 root(Ee^2-@Me^2)+Enu=0

ここで 2*@Mp-Ed=2*@Mp-@Md=ΔE と置いておくと、

 (ΔE-Ee)^2=Ee^2-@Me^2

 ΔE^2-2*ΔE*Ee+Ee^2=Ee^2-@Me^2

 Ee=(ΔE^2+@Me^2)/(2*ΔE)

ΔE=2*@Mp-@Md=2*938.272-1875.614=0.93

 Ee=(0.93^2+0.511^2)/(2*0.93)=1.123021/1.86~0.604_MeV

 |Enu|=root(0.604^2-0.511^2)=root(0.103695)~0.322_MeV

  ニュートリノ,ベータ崩壊  

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