物理 電磁気 2018/5-2012/1 Yuji.W
☆ 接地した導体球(鏡像法) ☆
◎ 点電荷と導体球 接地した導体球 鏡像法 鏡映法
◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) ★_ 00
◇ 電磁気.国際単位系 クーロン力定数
ke=1/(4Pi*ε0) 〔
物理定数
〕
磁場 <B> 磁場(光速倍)
<cB> ベクトルポテンシャル <A>
CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
[国際単位系B=1_T]⇔[CGS静電単位系Bcgs=10000_G] 〔
電磁気単位 〕
〓 電位 0 の球面 〓
◎ 1つの正点電荷と１つの負電荷の周囲には、電位 0 の球面ができる
◆ 正電荷 q 位置 A 負電荷 -q/k 位置 B
次のような、負電荷を囲む、電位 0 の球面を作りたい。※ 無限遠の電位 0
球の中心 O 直径 IE AO=l 半径 IO=OE=r
AーーーーIーーBーーOーーーーE
q ( -q/k + )
■ AO/r=l/r=k BO/r=r/l=1/k AB/r=k-1/k
〓 接地した導体球(鏡像法) 〓.
■ 接地した導体球の外側に正の点電荷を置く。次のような事が起きる。
① 導体球内部に負の電荷が誘起される。負電荷は、正の点電荷に近い側に集まる。
② 導体内には正電荷も誘起されるが、地球から電子が補充され、相殺されてしまう。
③ 正の点電荷と、導体内の負電荷によって、導体球の内部の電場は 0 になる。
④ 導体球は接地されているから、電位は 0
◆ 正点電荷[電荷 q 位置 (0,0,l)] 接地した導体球[半径 R 中心:原点]
電位 0 の等電位面は、導体球面と無限遠である。
■ 次の2つの静電場系を考える。
静電場① 正点電荷と接地した導体球
静電場② 正点電荷と負点電荷
もし、２つの系の電位が、導体球内を除く空間すべてで同じになれば、導体球を除く空間すべてで同じ静電現象になる。
正点電荷と負点電荷を使って、導体球面と無限遠で電位 0 の等電位面を作ることができる。鏡像法(鏡映法)
■ 次のように正点電荷と負点電荷を配置すれば、無限遠と、半径Rの球面で、電位 0 の等電位面を作ることができる。
正点電荷 A 負点電荷 B 等電位面の球の中心 O AO=l
Aーーーー(ー-B-ーOーーーー)
AO/R=l/R=k BO/R=R/l=1/k AB/R=k-1/k
正点電荷=q 負点電荷=-q/k
〓 接地した導体球に働く引力 〓.
◆ 正点電荷と接地された導体間の引力 F
鏡映法での、正点電荷と負点電荷間の引力 f
正点電荷と導体球の中心の距離 l 導体球の半径 R
■ 正点電荷と接地した導体球が作る電場と、正点電荷と負点電荷が作る電場は、導体球の外側では同じになるから F=f
正点電荷=q 負点電荷=-q/k 電荷の距離=R*(k-1/k)
F=f=ke*q*(q/k)/[R*(k-1/k)]^2=ke*(q^2/R^2)/[k*(k-1/k)^2]
ここで k-1/k=l/R-R/l=(l^2-R^2)/(l*R)
k*(k-1/k)^2=(l/R)*[(l^2-R^2)/(l*R)]^2=(l^2-R^2)^2/(l*R^3) だから、
F
=ke*(q^2/R^2)/[(l^2-R^2)^2/(l*R^3)]
=ke*(q^2/R^2)*k/(k^2-1)^2
=ke*q^2*l*R/(l^2-R^2)^2
》引力 F=ke*q^2*l*R/(l^2-R^2)^2 ★_
★ l=2*R のとき F=(2/9)*ke*q^2/R^2=(8/9)*ke*q^2/l^2
■ 閉曲面:導体球面 でガウスの法則を適用すれば、
正点電荷と導体球の場で、
4Pi*ke*(導体内の総電荷)=$${<E>*<dS>}[導体球面上]
正点電荷と負点電荷の場で、
4Pi*ke*(負点電荷)=$${<E>*<dS>}[導体球面上]
上記の２つの系で、右辺は等しいから、
(導体内の総電荷)=(負点電荷)=-q/k=q/(l/R) ★_
これだけの電子群が、導体内で正点電荷に近い方に移動したという事。跡に生じた正電荷は、接地されているので、地球から電子群が補充され、0 になってしまう。
〓 接地した導体球(鏡像法) 〓.
■ 次のように正点電荷と負点電荷を配置すれば、無限遠と、半径Rの球面で、電位 0 の等電位面を作ることができる。
正点電荷 A 負点電荷 B 等電位面の球の中心 O AO=l
Aーーーー(ー-B-ーOーーーー)
AO/R=l/R=k BO/R=R/l=1/k AB/R=k-1/k
正点電荷=q 負点電荷=-q/k
■ 正点電荷と接地された導体間の引力 F
=ke*(q^2/R^2)*k/(k^2-1)^2=ke*q^2*l*R/(l^2-R^2)^2
■ (導体内の総電荷)=-q/k=q/(l/R)
〓 {計算例}接地した導体球(鏡像法) 〓.
◆ l=2*R のとき
■ 正点電荷 A 負点電荷 B 等電位面の球の中心 O AO=l
Aーーーー(ー-B-ーOーーーー)
AO/R=2 BO/R=1/2 AB/R=3/2
正点電荷=q 負点電荷=-q/2
■ 正点電荷と接地された導体間の引力 F=(2/9)*ke*q^2/R^2
■ (導体内の総電荷)=-q/2