☆等電位球面Uz

　物理　電磁気　2018/5-2012/1　Yuji.W

☆ 等電位球面 ☆

◎ 2つの点電荷　等電位面　電位 0 の面　アポロニウスの円　アポロニウスの球

◇ ベクトル <A>　内積 *　外積 #　10^x=Ten(x)　微分 ;x　時間微分 '　積分 $
　ネイピア数 e　e^x=exp(x)　i^2=-1　e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) ★_

◇ 電磁気.国際単位系　クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)　〔物理定数〕
　磁場 　磁場(光速倍) <cB>　ベクトルポテンシャル <A>
CGS静電単位系　ke=1_無次元　<Bcgs>=<cB>　<Acgs>=c*<A>
　[国際単位系B=1_T]⇔[CGS静電単位系Bcgs=10000_G]　〔電磁気単位〕

〓　アポロニウスの円(球)　〓.

　PA:PB=k:1〔 k>1 〕　Pの軌跡?

　　AーーーーIーーBーーOーーーーE

AB を k:1 に内分する点 I　外分する点 E　IEの中点 O　IO=OE=r　AO=l

■ IE を直径とする円(球)になる

　AI/AB=k/(k+1)　AE/AB=k/(k-1)　r/AB=k/(k^2-1)

■ AO/r=l/r=k　BO/r=r/l=1/k

〓　等電位球面　〓.

◎ 無限遠の電位を 0 として、以下、考える。

1つの正点電荷の電位は、空間上どこでも　電位>0

1つの負点電荷の電位は、空間上どこでも　電位<0

1つの正点電荷と１つの負電荷の電位は、空間上のどこかで　電位=0　となる ★_

◆ 2つの点電荷　電荷 q , -q/k〔 q:正の定数　k:1より大きい定数〕

位置 A,B　AB=s　観測点までの距離 r1,r2　電位 φ

2つの点電荷が作る電位が 0 になる面を考える。

■ 無限遠での電位 0 として　φ=ke*q*[1/r1-1/(k*r2)]

φ=0　にするためには　1/r1=1/(k*r2)　r1/r2=k

「アポロニウスの円」の定理より、

電位 0 の面は、次のような球となる。

① 負電荷を囲む球　※ 球の中心は、負電荷の位置ではない

② 2つの点電荷を結ぶ線分を内分する点 I　外分する点 E　とすれば、IE を直径とする球

　　AーーーーIーーBーーOーーーーE

AB=s　AI=s*k/(k+1)　AE=s*k/(k-1)　半径 r=s*k/(k^2-1)　AO=r*k　BO=r/k

■ IO=OE=r　AO=l　を使って表せば、

　AO/r=l/r=k　BO/r=r/l=1/k　AB=(l^2-r^2)/l　AI=l-r　AE=l+r

{よりわかりやすくまとめられたと思う!2018/5}

■ さらに、点Oに、任意の大きさの電荷を持つ、点電荷を置いてもよい。重ね合わせの原理より、等電位面は保たれる。

〓　等電位球面　〓.

◆ 1つの正点電荷と１つの負電荷の周囲には、電位 0 の球面ができる

　正電荷 q　位置 A　　負電荷 -q/k　位置 B

次のような、負電荷を囲む、電位 0 の球面を作りたい。※ 無限遠の電位 0

球の中心 O　直径 IE　AO=l　半径 IO=OE=r

　　AーーーーIーーBーーOーーーーE
　　q　　　　(　 -q/k　 +　　　　)

■ AO/r=l/r=k　BO/r=r/l=1/k　AB/r=k-1/k

■ さらに、点Oに、任意の大きさの電荷を持つ、点電荷を置いてもよい。重ね合わせの原理より、等電位面は保たれる。

〓　点電荷が球面上に作る電場　〓 .

◆ 球座標(r,a,b)　座標単位ベクトル <ru>,<a>,

z軸上正の方向に電荷 q　原点からの距離 Z

球[半径 R　中心:原点]　その球面上に観測点

■ s=root[Z^2+R^2-2*Z*R*cos(a)]

<E>=ke*q*{<ru>*[R-Z*cos(a)]+<a>*Z*sin(a)}/s^3

〓　等電位球面の電場　〓.

◎ 3つの点電荷を使って、等電位球面を作る

◆ 球座標(r,a,b)　座標単位ベクトル <ru>,<a>,

仮想的な球[半径 R]

z軸上に３つの点電荷　①[q　z=R*k]　②[-q/k　z=R/k]　③[q/k　原点]　〔 k:1より大きい定数〕

３つの点電荷と観測点の距離 s1,s2,s3

３つの点電荷が球面上に作る電場 <E1(a)>,<E2(a)>,<E3(a)>　その和 <E(a)>

■ s1
=root[(R*k)^2+R^2-2*(R*k)*R*cos(a)]
=R*root[k^2+1-2*k*cos(a)]

<E1(a)>
=ke*q*{<ru>*[R-R*k*cos(a)]+<a>*R*k*sin(a)}/s1^3
=ke*(q/R^2)
*{<ru>*[1-k*cos(a)]+<a>*k*sin(a)}/[k^2+1-2*k*cos(a)]^(3/2)

■ s2
=root[(R/k)^2+R^2-2*(R/k)*R*cos(a)]
=(R/k)*root[k^2+1-2*k*cos(a)]

<E2(a)>
=ke*(-q/k)*{<ru>*[R-(R/k)*cos(a)]+<a>*(R/k)*sin(a)}/s2^3
=-ke*(q/R^2)
*{<ru>*[k^2-k*cos(a)]+<a>*k*sin(a)}/[k^2+1-2*k*cos(a)]^(3/2)

■ s3=R　<E3>=ke*(q/k)*<ru>*R/R^3=ke*(q/R^2)*<ru>/k

■ <E(a)>
=<E1(a)>+<E2(a)>+<E3(a)>
=<ru>*ke*(q/R^2)*{1/k-(k^2-1)/[k^2+1-2*k*cos(a)]^(3/2)}

》<E(a)>=<ru>*ke*(q/R^2)*{1/k-(k^2-1)/[k^2+1-2*k*cos(a)]^(3/2)} ★_

電場は動径成分しかないから、半径 R の球面は等電位になる。

〓　等電位球面の電場　〓.　◇ クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)

◆ 球座標(r,a,b)　座標単位ベクトル <ru>,<a>,

仮想的な球[半径 R]

z軸上に３つの点電荷　①[q　z=R*k]　②[-q/k　z=R/k]　③[q/k　原点]　〔 k:1より大きい定数〕

３つの点電荷が球面上に作る電場 <E(a)>

■ <E(a)>=<ru>*ke*(q/R^2)*{1/k-(k^2-1)/[k^2+1-2*k*cos(a)]^(3/2)}

球[半径 R　中心:原点]の表面が等電位面

〓　{計算例}等電位球面の電場　〓.

◆ 球座標(r,a,b)　座標単位ベクトル <ru>,<a>,

仮想的な球[半径 R]

z軸上に３つの点電荷　①[q　z=2*R]　②[-q/2　z=R/2]　③[q/2　原点]

３つの点電荷が球面上に作る電場 <E(a)>

■ k=2　<E(a)>=<ru>*ke*(q/R^2)*{1/2-3/[5-4*cos(a)]^(3/2)} ★_

球[半径 R　中心:原点]の表面が等電位面

〓　2つの電荷が作る電気力線　〓.

　 z軸上に2つの電荷　正点電荷 q　位置 z=h　負点電荷 -q　位置 z=-h

z軸対称　円柱座標(r,a,z)　電場z軸成分 Ez　それ以外の成分なし

■ Ez=-2*ke*q*h/(r^2+h^2)^(3/2)

　全電束=4Pi*ke*q*h*${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]

　d(r^2)=2*dr*dr

　${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}
=(1/2)*${d(r^2)/(r^2+h^2)^(3/2)}
=(1/2)*(-2)/root(r^2+h^2)
=-1/root(r^2+h^2)

　${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~∞]
=-[1/root(r^2+h^2)][r^2:0~∞]
=1/h

　全電束=4Pi*ke*q*h*(1/h)=4Pi*ke*q ★.

※ 正点電荷のごく近くの全電束=負点電荷のごく近くの全電束=4Pi*ke*q

■ 電束が全電束の半分になる半径 R

　4Pi*ke*q*h*${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]=4Pi*ke*q/2

　${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]=1/(2*h)

　${r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)}[r:0~R]
=-[1/root(r^2+h^2)][r^2:0~R^2]
=1/h-1/root(R^2+h^2)

　1/h-1/root(R^2+h^2)=1/(2*h)

　root(R^2+h^2)=2*h

　R^2+h^2=4*h^2

　R=root3*h

▲ 正点電荷からxy平面に平行に出た電気力線は、xy平面では、z軸から半径 root3*h の円を描く。 ★.

{1日ぼんやり考えていたら、解決方法を思いついた!2016/11}