_★ コンデンサー　 静電容量　静電エネルギー　球殻　condenser　capacitor ★_

◇ ベクトル <A>　単位ベクトル <-u>　座標単位ベクトル <x>　内積 *　外積 #
　積 *　商 /　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　微分 ;　時間微分 '　積分 $

【電磁気.国際単位系】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)　ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
　電磁場 <E>,<B>　磁場(光速倍) <cB>　ベクトルポテンシャル <A>
【CGS静電単位系】ke=1_無次元　<Bcgs>=<cB>　<Acgs>=c*<A>
　B=1_T ⇔ Bcgs=Ten(4)_G　1_A/c=0.1_esu/cm〔電磁気の単位〕〔物理定数〕

.★ 球形コンデンサーの静電エネルギーを最大にしたい　「バークレー物理学コース電磁気」問題3.17

◆ 導体球　半径 b　その外側に同心導体球殻　半径 a

導体球の電荷 +Q　導体球殻の電荷 -Q　半径 r での電場 E(r)=ke*Q/r^2

E0=E(b)=ke*Q/b^2=一定　静電容量 C　電位差 V

静電エネルギーを最大にしたい　a は固定　b を変化させる　静電エネルギー U(b)

■ C=1/[ke*(1/b-1/a)]

　V=ke*Q*(1/b-1/a)=ke*(E0*b^2/ke)*(1/b-1/a)=E0*b^2*(1/b-1/a)

　U
=(1/2)*C*V^2
=(1/2)*{1/[ke*(1/b-1/a)]}*[E0*b^2*(1/b-1/a)]^2
=[E0^2/(2*ke)]*(a*b^3-b^4)/a

≫　U=[E0^2/(2*ke)]*(a*b^3-b^4)/a ★.　{核心!}

　U(b) ∝ a*b^3-b^4　U(b=0)=0　U(b=a)=0

　U(b);b=3*a*b^2-4*b^3=b^2*(3*a-4*b)

　U(b);b=0 の解　b=(3/4)*a　そのとき、
　a*b^3-b^4=a^4*[(3/4)^3-(3/4)^4]=(27/256)*a^4　最大値になる

　U_max
=[E0^2/(2*ke)]*(27/256)*a^4/a
=(27/512)*E0^2*a^3/ke ★.

{難しかった!2016/11}

◎ 2つの球殻が作るコンデンサーの静電容量を求めよう。

◆ 球殻2つ　中心は同じ　半径 R1,R2　R1<R2

内側に電荷 +Q　外側に電荷 -Q　電位差 V　静電容量 C

■ R1<r<R2 で　電場 E=ke*Q/r^2　電位 φ=ke*Q/r

　V=ke*Q*(1/R1-1/R2)

　C=Q/V=(1/ke)/(1/R1-1/R2) ★.

▲ (R2-R1)/R2<<1　のとき　R1~R2

　C
=(1/ke)*R1^2/(R2-R1)
=[1/(4Pi*ke)]*(4Pi*R1^2)/(R1-R2)
=[1/(4Pi*ke)]*(内側の球殻の表面積)/(間隔)　平行平面コンデンサーと同じ

■ U=(1/2)*Q^2/C=(1/2)*ke*Q^2*(1/R1-1/R2)

{別解}　U
=(1/2)*ε0*$$${E^2*dV}
=(1/2)*ε0*ke^2*Q^2*$$${(1/r^4)*4Pi*r^2*dr}[r:R1~R2]
=(1/2)*ke*Q^2*$$${(1/r^2)*dr}[r:R1~R2]
=(1/2)*ke*Q^2*[-1/r][r:R1~R2]
=(1/2)*ke*Q^2*(1/R1-1/R2)

★ 地球と大気による球殻コンデンサーとみなすと、

地球の半径 6400km　大気 地上 50km

　R1=6.4*Ten(6)_m　R2=6.45*Ten(6)_m

　C=1.1*Ten(-10)*6.4*Ten(6)*6.45*Ten(6)/[5*Ten(4)]~0.1_F

◆ 2つの同心球殻2つ　内側の球殻の内径 a　外径 b　外側の球殻の内径 c　外径 d

0~a 空洞　a~b 導体　b~c 空洞　c~d 導体

外側の球殻と内側の球殻とを導線で結び、電圧 V をかける。電荷が内側の球殻に +Q、外側の球殻に -Q、貯まるとする。

中心からの距離 r　電場 E(r)　電位 φ(r)　静電容量 C　電荷面密度 σ(r)

■【 静電容量 】

　E(r<b)=0　E(b<r<c)=ke*Q/r^2　E(r>c)=0

　V=ke*Q*(1/b-1/c)　Q=V/[ke*(1/b-1/c)]　C=Q/V=1/[ke*(1/b-1/c)] ★.

■【 電荷面密度 】

　σ(b)=Q/(4Pi*b^2)=V/[4Pi*ke*(1/b-1/c)*b^2]

　σ(c)=-Q/(4Pi*c^2)=-V/[4Pi*ke*(1/b-1/c)*c^2]

〔☆お勉強しよう　2017-2011　Yuji.W☆〕