〓　円電荷の電場、電位　〓 .

.★ 円電荷(円の内部に電荷、電荷面密度=一定)が中心軸状に作る電位

◎ 円電荷の結果を利用する

◆ 円柱座標(h,a,z)　座標単位ベクトル <hu>,<a><z>

xy平面上に円電荷　半径 R　中心:原点

電荷面密度 σ=一定　全電荷 Q=Pi*R^2*σ

観測点:(0,0,z)〔 z>0 〕　電場 <E>=<z>*E(z)　電位 φ(z)

■ 円盤電荷上の半径 r~r+dr の部分を考える。　電荷=2Pi*σ*r*dr

　電場 dE
=ke*(2Pi*σ*r*dr)*z/(r^2+z^2)^(3/2)
=2Pi*ke*σ*z*r*dr/(r^2+z^2)^(3/2)

　dφ=ke*(2Pi*σ*r*dr)/root(r^2+z^2)=2Pi*ke*σ*r*dr/root(r^2+z^2)

　E=2Pi*ke*σ*z*${r*dr/(r^2+z^2)^(3/2)}[r:0~R]

　φ=2Pi*ke*σ*${r*dr/root(r^2+z^2)}[r:0~R]

■ r^2=s　と置けば　2*r*dr=ds　[r:0~R] ⇔ [s:0~R^2]

　${r*dr/(r^2+z^2)^(3/2)}[r:0~R]
=(1/2)*${ds/(s+z^2)^(3/2)}[s:0~R^2]
=-(1/2)*2*[1/root(s+z^2)][s:0~R^2]
=-1/root(R^2+z^2)+1/z

　${r*dr/root(r^2+z^2)}[r:0~R]
=(1/2)*${ds/root(s+z^2)}[s:0~R^2]
=(1/2)*2*[root(s+z^2)][s:0~R^2]
=root(R^2+z^2)-z

■ <E(z)>=<z>*2Pi*ke*σ*[1-z/root(R^2+z^2)] ★_

　φ(z)=2Pi*ke*σ*[root(R^2+z^2)-z] ★_

全電荷 Q　を使えば　2Pi*ke*σ=2Pi*ke*[Q/(Pi*R^2)]=2*ke*Q/R^2

国際単位系で　ke=1/(4Pi*ε0)

　<E(z)>=<z>*[σ/(2*ε0)]*[1-z/root(R^2+z^2)]

　φ(z)=[σ/(2*ε0)]*[root(R^2+z^2)-z]

★ 円の中心　z=0　<E(0)>=<z>*2Pi*ke*σ　φ(0)=2Pi*ke*σ*R

★ z=R　<E(z)>=<z>*2Pi*ke*σ*(1-root2/2)

　φ(z)=2Pi*ke*σ*R*(root2-1)

★ 無限遠　z=∞　<E(z)>=0　φ(z)=0

〓　有限な平面電荷の電位の次元解析　〓 .

◆ 有限な平面電荷　電荷面密度 σ=一定　任意の観測点の電位 φ　全電荷 Ｑ

■【 次元解析 】

　Q=σ*面積　[Q]=[σ]*[長さ^2]

　[φ]=[ke]*[Q]/[長さ]=[ke]*[σ]*[長さ^2]/[長さ]=[ke]*[σ]*[長さ]

≫　[φ]=[ke]*[σ]*[長さ] ★.平面電荷の電位

〓　相似な図形の電位　〓 .

◆ 2つの相似な平面電荷 A,B　電荷面密度 σ=一定　相似比 a:b　(面積比 a^2:b^2)

ある特定の位置の電位 φA,φB

■ 次元解析より　[φ]=[ke]*[σ]*[長さ]　であるから、

　φA:φB=a:b ★.

〓　円電荷の端の電位　〓 .

.★ 円電荷(電荷面密度=一定)の端(円周上)の電位

● 全電荷 Q　円の中心の電位=2Pi*ke*σ*R=2*ke*Q/R

◆ 円電荷　電荷面密度 σ=一定　半径 R　観測点:円の円周上　電位 φ

全電荷 Q=Pi*R^2*σ

■ 円座標(r,a) で表す　原点:観測点　基準線:原点と円の中心を結ぶ直線

※ デカルト座標で表せば　円 (x-R)^2+y^2=R^2

次の微少部分を考える　r~r+da　a~a+da

　そこにある電荷=σ*(r*da)*dr　観測点(原点)からの距離 r

このときの r の最大値 r_max とすると　r_max=2*R*cos(a)

　φ=ke*σ*$${[(r*da)*dr/r]}[r:0~r_max][a:-Pi/2~Pi/2]

　φ=ke*σ*(4*R)=4*ke*σ*R

≫　φ/(ke*σ*R)=4 ★.円電荷の端の電位

{なるほどね!2016/9}

〓　円電荷の静電エネルギー　〓 .

◆ 円電荷　半径 R　電荷面密度 σ=一定　全電荷 Q=Pi*R^2*σ　静電エネルギー(こういう状態を作るのに必要なエネルギー) U

■ 半径 r の円電荷が持つ静電エネルギー U(r)

微少半径 dr に対して、

　dU(r)=U(r+dr)-U(r)=(2Pi*r*dr*σ)*(4*ke*σ*r)=8Pi*ke*σ^2*r^2*dr

　U
=8Pi*ke*σ^2*${r^2*dr}[r:0~R]
=8Pi*ke*σ^2*[r^3/3][r:0~R]
=(8Pi/3)*ke*σ^2*R^3

≫　U=(8Pi/3)*ke*σ^2*R^3 ★.

σ の代わりに Q を使えば、

　U
=(8Pi/3)*ke*[Q/(Pi*R^2)]^2*R^3
=[8/(3*Pi)]*ke*Q^2/R ★.

{できた!2016/11}

〓　穴の空いた円電荷　〓 .

◆ 円電荷[半径 R2]　半径 R1 の同心円の穴が空いている　電荷面密度 σ=一定

円の中心の電位 φ〔 無限遠を基準点とする 〕

電子の電荷 Qe　質量 m

■【 電位 】穴が空いていない場合の電位=2Pi*ke*σ*R2

半径R1の円には、電荷面密度 -σ があるとしたときの電位=-2Pi*ke*σ*R1

　φ=2Pi*ke*σ*(R2-R1) ★.

■【 速さ v 】

電子が、その電位の分のエネルギーを得て、飛び去るときの速さ v

　Qe*φ=(1/2)*m*v^2

　v=root[2*Qe*φ/m] ★.

★ σ=-4_esu　R2=3_cm　R1=1_cm

　φ=-2Pi*4*2=-50.24_静電V ★.

　v
=root{2*[4.8*Ten(-10)]*50.24/[9*Ten(-28)]
=root[54*Ten(18)]
~7.4*Ten(9)_cm/sec
=74000_km/sec

〓　ρ0*(1-a/r)の電場　〓 .

■ 半径aの球に、電荷密度 (ρ0)*(1-a/r)  電場を求めよう。

  半径r内の電荷Q(r)=(ρ0)*${4(pi)r^2(1-a/r)}dr[r:0->r]
=4(pi)*(ρ0)*[r^3/3-r^4/(4a)]

  全電荷Q=(pi)*(ρ0)*a^3/3  一様な電荷密度の場合の 1/4

  <E(r<a)>=[(ρ0)/(ε0)]*[r/3-r^2/(4a)]<ru>

  <E(r>a)>=(ρ0)*a^3/[12(ε0)*r^2]<ru>

■ div<E> を求めよう。●div<f(r)<ru>>={[r^2*f(r)];r}/r^2

  div<E(r<a)>=[(ρ0)/(ε0)]*[r^3/3-r^4/(4a)];r/r^2
=[(ρ0)/(ε0)]*[1-r/a]=(電荷密度)/(ε0)

  div<E(r>a)> ∝ (r^2/r^2);r/r^2=(1);r/r^2=0

〓　電荷面密度 ∝ h/(r^2+h^2)^(3/2)　〓 .

◆ 円柱座標(r,a,z)　xy平面上に電荷

電荷面密度 σ=[Q*h/(2Pi)]/(r^2+h^2)^(3/2)〔 h:正の定数 〕

z軸上、z=h における電場の大きさ E　電場の方向:z軸方向

※ Q は総電荷を表す

※ 電荷面密度のパラメータの h と、位置を表す h が同じである

■ (r~r+dr にある電荷)=2Pi*r*dr*σ=Q*h*r*dr/(r^2+h^2)^(3/2)

　(その電荷の電場)=ke*Q*h*r*dr/(r^2+h^2)^(5/2)

　(そのz軸方向成分)=ke*Q*h^2*r*dr/(r^2+h^2)^3

　E=ke*Q*h^2*${r*dr/(r^2+h^2)^3}[r:0~∞]

　E=ke*Q*h^2/(4*h^4)=ke*Q/(2*h)^2 ★.電荷Ｑが、距離 2*h 離れてあるのと同じ