物理 電磁気 2018/4 Yuji.W
☆ 平均値定理 ☆
◎ 電位 平均値定理
◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
◇ 電磁気.国際単位系 クーロン力定数
ke=1/(4Pi*ε0)
磁場 <B> 磁場(光速倍)
<cB> ベクトルポテンシャル <A>
CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
[国際単位系B=1_T]⇔[CGS静電単位系Bcgs=10000_G] 〔
電磁気単位 〕
〓 点電荷が作る電場(円柱座標) 〓 .
◆ 円柱座標(h,a,z) 座標単位ベクトル <hu>,<a>,<z>
z軸上正の方向に電荷 q 原点からの距離 Z 電荷と観測点との距離 s
電場 <E>=<hu>*Eh+<z>*Ez |<E>|=E
■ s=root[h^2+(Z-z)^2]
E=ke*q/s^2 Eh=E*h/s=ke*q*h/s^3 Ez=-E*(Z-z)/s=-ke*q*(Z-z)/s^3
<E>=ke*q*[<hu>*h-<z>*(Z-z)]/s^3 ★_
〓 点電荷が作る電場(球座標) 〓 .
◆ 円柱座標(h,a,z) 座標単位ベクトル <hu>,<a>,<z>
球座標(r,a,b) 座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>
z軸上正の方向に電荷 q 原点からの距離 Z
電場 <E> |<E>|=E
■ h=r*sin(a) z=r*cos(a)
<hu>=<ru>*sin(a)+<a>*cos(a) <z>=<ru>*cos(a)-<a>*sin(a)
■ s^2=[r*sin(a)]^2+[Z-r*cos(a)]^2=r^2+Z^2-2*r*Z*cos(a)
s=root[r^2+Z^2-2*r*Z*cos(a)] 余弦定理
E=ke*q/s^2
<E>/(ke*q)
=<hu>*h/s^3-<z>*(Z-z)/s^3
=[<ru>*sin(a)+<a>*cos(a)]*h/s^3-[<ru>*cos(a)-<a>*sin(a)]*(Z-z)/s^3
=<ru>*[h*sin(a)-(Z-z)*cos(a)]/s^3+<a>*[h*cos(a)+(Z-z)*sin(a)]/s^3
ここで h*sin(a)-(Z-z)*cos(a)
=r*sin(a)*sin(a)-Z*cos(a)+r*cos(a)*cos(a)
=r-Z*cos(a)
また h*cos(a)+(Z-z)*sin(a)
=r*sin(a)*cos(a)+Z*sin(a)-r*cos(a)*sin(a)
=Z*sin(a) だから、
<E>/(ke*q)
=<ru>*[r-Z*cos(a)]/s^3+<a>*Z*sin(a)/s^3
〓 点電荷が作る電場(円柱座標,球座標) 〓 .
◆ 円柱座標(h,a,z) 座標単位ベクトル <hu>,<a>,<z>
球座標(r,a,b) 座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>
z軸上正の方向に電荷 q 原点からの距離 Z 電荷と観測点との距離 s 電場 <E>
■ 円柱座標 s=root[h^2+(Z-z)^2] <E>=ke*q*[<hu>*h-<z>*(Z-z)]/s^3
■ 球座標 s=root[r^2+Z^2-2*r*Z*cos(a)]
<E>=ke*q*{<ru>*[r-Z*cos(a)]+<a>*Z*sin(a)}/s^3
〓 {計算例}点電荷が作る電場 〓 .
◆ 円柱座標(h,a,z) 座標単位ベクトル <hu>,<a>,<z>
球座標(r,a,b) 座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>
z軸上正の方向に電荷 q 原点からの距離 Z 電荷と観測点との距離 s 電場 <E>
■ xy平面上で s=root[h^2+Z^2]
<E>=ke*q*(<hu>*h-<z>*Z)/s^3
■ 球[半径 R 中心:原点]
s=root[R^2+Z^2-2*R*Z*cos(a)]
<E>=ke*q*{<ru>*[R-Z*cos(a)]+<a>*Z*sin(a)}/s^3
〓 {別解}点電荷が作る電場(球座標) 〓 .
◆ 球座標(r,a,b) 座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>
z軸上正の方向に電荷 q 原点からの距離 Z 位置 (Z,0,0)_球座標
観測点 (r,a,b)_球座標 電荷と観測点の距離 s(r,a) 電位 φ(r,a) 電場 <E(r,a)>
〔 0<r<Z 〕
● <grad(f)>=<ru>*(f;r)+<a>*(f;a)/r+<b>*(f;b)/[r*sin(a)]
■ a=0 のとき s=Z-r <E>=-<ru>*ke*q/s^2
cos(a)=r/Z のとき s=root(Z^2-r^2) <E>=<a>*ke*q/s
a=Pi/2 のとき s=root(Z^2+r^2) <E>=ke*q*(<ru>*r+<a>*Z)/s^3
a=Pi のとき s=Z+R <E>=<ru>*ke*q/s^2
■ s(r,a)=root[r^2+Z^2-2*Z*r*cos(a)] φ(r,a)=ke*q/s(r,a) ★_
■ s;r=(1/2)*[2*r-2*Z*cos(a)]/s=[r-Z*cos(a)]/s
(1/s);r=-(s;r)/s^2=-[r-Z*cos(a)]/s^3
また s;a=(1/2)*2*Z*r*sin(a)/s=Z*r*sin(a)/s
(1/s);a=-(s;a)/s^2=-Z*r*sin(a)/s^3
<E>
=-<grad(φ)>
=-<ru>*(φ;r)-<a>*(φ;a)/r
=ke*q*{<ru>*[r-Z*cos(a)]+<a>*Z*sin(a)}/s^3
》<E>=ke*q*{<ru>*[r-Z*cos(a)]+<a>*Z*sin(a)}/s^3 ★_
★ a=0 のとき s=Z-r
<E>=ke*q*<ru>*(r-Z)/(Z-r)^3=-<ru>*ke*q/s^2
★ cos(a)=r/Z のとき s=root(Z^2-r^2)
<E>=<a>*ke*q*s/s^3=<a>*ke*q/s^2
★ a=Pi/2 s=root(Z^2+r^2) <E>=ke*q*(<ru>*r+<a>*Z)/s^3
★ a=Pi s=Z+r <E>=ke*q*<ru>*(Z+r)/s^3=<ru>*ke*q*/s^2
〓 点電荷による球面上の電場 〓 .
◆ 球座標(r,a,b) 座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>
z軸上正の方向に電荷 q 原点からの距離 Z 位置 (Z,0,0)_球座標
観測点 (r,a,b)_球座標 電荷と観測点の距離 s(r,a) 電位 φ(r,a) 電場 <E(r,a)>
〔 0<r<Z 〕
■ s(r,a)=root[r^2+Z^2-2*Z*r*cos(a)]
φ(r,a)=ke*q/s(r,a)
<E(r,a)>=ke*q*{<ru>*[r-Z*cos(a)]+<a>*Z*sin(a)}/s^3
〓 点電荷の球面上の電位の平均 〓 .
◆ 球座標(r,a,b) 座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>
点電荷 電荷 q 位置 (0,0,z)
球 半径 r 中心:原点 その球面上の観測点の電位 φ(a) 点電荷と観測点との距離 s
0<r<z 点電荷は球の外部 ※ 球は導体とかではなく、ただの位置を示している
球面上の電位の平均値 @φ 原点での電位 φ0=ke*q/z
■ 三角形の余弦定理より s=root[z^2+r^2-2*z*r*cos(a)]
φ(a)=ke*q/s
球面上の面積要素=da*db*r^2*sin(a)
(4Pi*r^2)*@φ
=ke*q*$${da*db*r^2*sin(a)/s}[a:0~Pi][b:0~2Pi]
=ke*q*2Pi*r^2*${da/s}[a:0~Pi]
@φ=(1/2)*ke*q*${sin(a)*da/s}[a:0~Pi] ★_
■ ${sin(a)*da/s}=${sin(a)*da/root[z^2+r^2-2*z*r*cos(a)]}
-cos(a)=t と置けば sin(a)*da=dt [a:0~Pi] ⇔ [t:-1~1]
${sin(a)*da/s}=${dt/root[z^2+r^2+2*z*r*t]}[t:-1~1]
{root[z^2+r^2+2*z*r*t]};t
=(1/2)*(2*z*r)/root[z^2+r^2+2*z*r*t]
=z*r/root[z^2+r^2+2*z*r*t]
${sin(a)*da/s}
=[1/(z*r)]*[root[z^2+r^2+2*z*r*t][t:-1~1]
=[1/(z*r)]*{root[z^2+r^2+2*z*r]-root[z^2+r^2-2*z*r]}
=[1/(z*r)]*[(z+r)-(z-r)]
=[1/(z*r)]*(2*r)
=2/z
■ @φ=(1/2)*ke*q*${sin(a)*da/s}[a:0~Pi]=(1/2)*ke*q*(2/z)=ke*q/z
@φ=φ0 ★_
球の外部に電荷があるとき、球の表面上の電位の平均は、球の中心の電位に等しい。
〓 点電荷の球面上の電位の平均.平均値定理 〓 .
◆ 球座標(r,a,b)
点電荷 電荷 q 位置 (0,0,z)
球 半径 r 中心:原点 その球面上の観測点の電位 φ(a) 点電荷と観測点との距離 s
0<r<z 点電荷は球の外部 ※ 球は導体とかではなく、ただの位置を示している
球面上の電位の平均値 @φ 原点での電位 φ0=ke*q/z
■ s=root[z^2+r^2-2*z*r*cos(a)] φ(a)=ke*q/s
@φ=ke*q/z=φ0
球の外部に電荷があるとき、球の表面上の電位の平均は、球の中心の電位に等しい。