☆ 行列の累乗 ☆

《 お勉強しよう　数学　行列,テンソル 》

〇 2行2列行列　2022.11-2012.6　Yuji.W　★　

◇ 2*3=6　Ten(3)=10^3=1000　微分 ;　偏微分 :　積分 $　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　

〓　行列の累乗　〓　

〇 行列の累乗 [A]^n=(n個の [A] の積)

〇 対角行列 [h1 0|0 h2]

　[h1 0|0 h2]^2=[h1 0|0 h2]*[h1 0|0 h2]=[h1^2 0|0 h2^2]

　[h1 0|0 h2]^n=[h1^n 0|0 h2^n]　★　

〇 2行2列行列 [A]　[A]の固有値 h1,h2　固有ベクトル <@A1),<@A2)

[A]の対角化行列 [P]=[<@A1)&<@A2)]　[Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2]

単位行列 [E]　[P]*[Pi]=[Pi]*[P]=[E]　任意の行列 [B] に対して　[B]*[E]=[B]

任意の行列 [B] , [C] , [D] に対して　([B]*[C])*[D]=[B]*([C]*[D])　である事に注意して、

　[Pi]*[A]^2*[P]
=[Pi]*[A]*[A]*[P]
=[Pi]*[A]*[E]*[A]*[P]
=[Pi]*[A]*([P]*[Pi])*[A]*[P]
=([Pi]*[A]*[P])*([Pi]*[A]*[P])
=[h1 0|0 h2]*[h1 0|0 h2]
=[h1^2 0|0 h2^2]

≫　[Pi]*[A]^2*[P]=[h1^2 0|0 h2^2]

以下、同様に　[Pi]*[A]^n*[P]=[h1^n 0|0 h2^n]

　[A]^n=[P]*[h1^n 0|0 h2^n]*[Pi]　★　

〓　行列の累乗　〓　22.11

▢ 2行2列行列 [A]　[A]の固有値 h1,h2　固有ベクトル <@A1),<@A2)

[A]の対角化行列 [P]=[<@A1)&<@A2)]　[P]の逆行列 [Pi]

 ▷ 行列の累乗 [A]^n=(n個の [A] の積)=[P]*[h1^n 0|0 h2^n]*[Pi]　

〓　{計算例}行列の累乗　〓　

▢ [A]=[6 -3|4 -1]　[A]^2=[24 -15|20 -11]　[A]^n ?

▷ Tr[A]=6-1=5　det[A]=-6+12=6

固有方程式　h^2-5*h+6=0　(h-2)*(h-3)=0　h=2,3

固有値 2 に対して　[4 -3|4 -3]*<x y)=<0 0)　を解いて、

　4*x-3*y=0　例えば　<@A1)=<3 4)

固有値 3 に対して　[3 -3|4 -4]*<x y)=<0 0)　を解いて、

　x-y=0　例えば　<@A2)=<1 1)

対角化行列 [P]=[<@A1)&<@A2)]=[3 1|4 1]　det[P]=3-4=-1

[P]の逆行列 [Pi]=[1 -1|-4 3]/(-1)=[-1 1|4 -3]

▷ [A]^2
=[P]*[2^2 0|0 3^2]*[Pi]
=[3 1|4 1]*[4 0|0 9]*[-1 1|4 -3]
=[12 9|16 9]*[-1 1|4 -3]
=[24 -15|20 -11]

　[A]^n
=[P]*[2^n 0|0 3^n]*[Pi]
=[3 1|4 1]*[2^n 0|0 3^n]*[-1 1|4 -3]
=[3*2^n  3^n|4*2^n  3^n]*[-1 1|4 -3]
=[-3*2^n+4*3^n  3*2^n-3*3^n|-4*2^n+4*3^n  4*2^n-3*3^n]　★　

〓　{計算例2}行列の累乗　〓　

◎ 虚数にまで拡張する　虚数単位 i　

▢ [A]=[2*√3  -1|4  2*√3]　[A]^2=4*[2  -√3|4*√3  2]　[A]^3=32*[0 -1|4 0]

　[A]^n ?　

▷ Tr[A]=4*√3　det[A]=12+4=16

固有方程式　h^2-4*√3*h+16=0　h=2*√3±2*i

ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)　と書くと、

　h=2*√3±2*i=4*(√3/2±i/2)=4*expi(±π/6)

固有値 2*√3+2*i に対して　[-2*i  -1|4  -2*i]*<x y)=0　を解いて、

　2*x-i*y=0　例えば　<@A1)=<1 -2*i)

固有値 2*√3-2*i に対して　[2*i  -1|4  2*i]*<x y)=0　を解いて、

　2*x+i*y=0　例えば　<@A2)=<1 2*i)

対角化行列 [P]=[<@A1)&<@A2)]=[1 1|-2*i  2*i]

　det[P]=4*i　[Pi]=[2*i  -1|2*i  1]/(4*i)=[2 i|2 -i]/4

　[Pi]*[A]*[P]=4*[expi(π/6)  0|0  expi(-π/6)]=[2*√3+2*i  0|0  2*√3-2*i]

固有値の累乗　{4*expi(±π/6)}^n=4^n*expi((±n*π/6)

▷ [A]^n
=4^n*[1 1|-2*i  2*i]*[expi(n*π/6)  0|0  expi(-n*π/6)]*[2 i|2 -i]/4
=4^(n-1)*[expi(n*π/6)  expi(-n*π/6)|-2*i*expi(n*π/6)  2*i*expi(-n*π/6)]*[2 i|2 -i]
=4^(n-1)*[2*expi(n*π/6)+2*expi(-n*π/6)  i*expi(n*π/6)-i*expi(-n*π/6)|
　-4*i*expi(n*π/6)+4*i*expi(-n*π/6)  2*expi(n*π/6)+2*expi(-n*π/6)]
=4^(n-1)*[4*cos(n*π/6)  -2*sin(n*π/6)|8*sin(n*π/6)  4*cos(n*π/6)]
=4^n*[cos(n*π/6)  -sin(n*π/6)/2|2*sin(n*π/6)  cos(n*π/6)]

≫　[A]^n=4^n*[cos(n*π/6)  -sin(n*π/6)/2|2*sin(n*π/6)  cos(n*π/6)]　★　

★ n=1　[A]
=4*[cos(π/6)  -sin(π/6)/2|2*sin(π/6)  cos(π/6)]
=4*[√3/2  -1/4|1  √3/2]
=[2*√3  -1|4  2*√3]

★ n=2　[A]^2
=4^2*[cos(π/3)  -sin(π/3)/2|2*sin(π/3)  cos(π/3)]
=16*[1/2  -√3/4|√3  1/2]
=4*[2  -√3|4*√3  2]

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