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2016/2-2012 Yuji.W

行列の累乗

◎ 固有値 固有ベクトル 対角化 行列の累乗 2次元数列

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

行列の累乗

行列の累乗 [A]^n=(n個の [A] の積)

■ 対角化行列 [D(s,t)]=[s 0|0 t]

 [D(s,t)]^2=[s 0|0 t]*[s 0|0 t]=[s^2 0|0 t^2]=[D(s^2,t^2)]

 [D(s,t)]^n=[D(s^n,t^n)] .

■ [Pi]*[A]*[P]=[D(s,t)] のとき [Pi]*[A]^2*[P]=[D(s^2,t^2)] .

{証明} [P]*[Pi]=[E] を使うと、

 [Pi]*[A]^2*[P]=[Pi]*[A]*[A]*[P]=[Pi]*[A]*([P]*[Pi])*[A]*[P]
=([Pi]*[A]*[P])*([Pi]*[A]*[P])=[D(s,t)]*[D(s,t)]=[D(s,t)]^2
=[D(s^2,t^2)]

■ 同様にして、

 [Pi]*[A]^n*[P]=[D(s^n,t^n)] [A]^n=[P]*[D(s^n,t^n)]*[Pi] .

{計算例}

★ [A]=[2*root3 -1|4 2*root3] [A]^2=4*[2 -root3|4*root3 2]

 [A]^3=32*[0 -1|4 0] [A]^n=? ‖

◇ 虚数単位 i 複素共役 ~

● 任意の複素数 x+i*y
=root(x^2+y^2)*[x/root(x^2+y^2)+i*y/root(x^2+y^2)]
=root(x^2+y^2)*expi(a)

ただし a=arctan(y/x)

■ 固有方程式 h^2-4*root3*h+16=0

固有値 s=2*root3+2*i=4*expi(Pi/6)=4*z
 t=2*root3-2*i=4*expi(-Pi/6)=4*z! zの複素共役

 z+z!=2*cos(n*Pi/6) z-z!=i*2*sin(n*Pi/6)

固有ベクトル <-1 2*root3+2*i-2*root3) ⇔ <1 -2*i)
 <-1 2*root3-2*i-2*root3) ⇔ <1 2*i)

対角化された行列 [D(s,t)]=4*[expi(Pi/6) 0|0 expi(-Pi/6)]

 [D(s^n,t^n)]=4^n*[z 0|0 z!]

 [P]=<1 -2*i)&<1 2*i)=[1 1|-2*i 2*i] det[P]=4*i

 [Pi]=[2*i -1|2*i 1]/(4*i)=(1/4)*[2 i|2 -i]

 [D(s^n,t^n)]*[Pi]
=4^n*[z 0|0 z!]*(1/4)*[2 i|2 -i]
=4^(n-1)*[2*z i*z|2*z! -i*z!]

 [A]^n
=[P]*[D(s^n,t^n)]*[Pi]
=4^(n-1)*[1 1|-2*i 2*i]*[2*z i*z|2*z! -i*z!]

=4^(n-1)*[2*(z+z!) i*(z-z!)|-i*4*(z-z!) 2*(z+z!)]

=4^(n-1)*[4*cos(n*Pi/6) -2*sin(n*Pi/6)|
+8*sin(n*Pi/6) 4*cos(n*Pi/6)] 
.

n=1 [A]=[2*root3 -1|4 2*root3]

n=2 [A]^2=4*[2 -root3|4*root3 2]

n=3 [A]^3=16*[0 -2|8 0]=32*[0 -1|4 0]

2次元数列

◎ 2次元数列の一般項を、行列の累乗を使って求める。

▼ 2次元数列{X(n),Y(n)} x列とy列が絡み合っている{!}

 X(n+1)=X(n)+4*Y(n) Y(n+1)=X(n)-2*Y(n) X0=Y0=1 {1,1}

 X1=1+4*1=5 Y1=1-2*1=-1 {5,-1}
 X2=5-4*1=1 Y2=5+2*1=7 {1,7}
 X3=1+4*7=29 Y3=1-2*7-=-13 {29,-13}

{1,1} {5,-1} {1,7} {29,-13}…{X(n),Y(n)}… ▼

■ <X(n+1) Y(n+1))=[A]*<X(n) Y(n)) [A]=[1 4|1 -2] .

行列が利用できる。

 det[A]=-6

[A] の固有方程式 h^2+h-6=0 h=-3,2 [D]=[-3 0|0 2]

 [D]^n=[(-3)^n 0|0 2^n]

固有ベクトル <4 -3-1)=4*<1 -1) ⇔ <1 -1) <4 2-1)=<4 1)

 [P]=[1 4|-1 1] det[P]=5 [Pi]=[1 -4|1 1]/5

 [D]^n*[Pi]
=[(-3)^n 0|0 2^n]*[1 -4|1 1]/5
=[(-3)^n -4*(-3)^n|2^n 2^n]/5

 [A]^n
=[P]*[D]^n*[Pi]
=[1 4|-1 1]*[(-3)^n -4*(-3)^n|2^n 2^n]/5
=[(-3)^n+2^(n+2) -4*(-3)^n+2^(n+2)|
-(-3)^n+2^n 4*(-3)^n+2^n]/5
 <X(n) Y(n))
=[A]^n*<1 1)
=<(-3)^n+2^(n+2)-4*(-3)^n+2^(n+2)
 -(-3)^n+2^n+4*(-3)^n+2^n)/5
=<(-3)^(n+1)+2^(n+3) 3*(-3)^n+2^(n+1))/5

 <X(n) Y(n))=<2^(n+3)+(-3)^(n+1) 2^(n+1)-(-3)^(n+1))/5 .

n=0 2^(n+3)=8 (-3)^(n+1)=-3 2^(n+1)=2
n=1 2^(n+3)=16 (-3)^(n+1)=+9 2^(n+1)=4
n=2 2^(n+3)=32 (-3)^(n+1)=-27 2^(n+1)=8
n=3 2^(n+3)=64 (-3)^(n+1)=+81 2^(n+1)=16

n=0 X(0)=5/5=1 Y(0)=5/5=1 {1,1}
n=1 X(1)=25/5=5 Y(1)=-5/5=-1 {5,-1}
n=2 X(2)=5/5=1 Y(2)=35/5=7 {1,7}
n=3 X(3)=145/5=29 Y(3)=-65/5=-13 {29,-13}

  行列の累乗  

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