お勉強しようUz 物理定数〕数学.微分

2016/2-2012/1 Yuji.W

☆sin(x)/x☆

◎ sin(x)/x sin(a*x)/x

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) .

☆sin(x)/x sin(a*x)/x☆

◎ Ecel で計算してみた

■ sin(x->0)=0 sin(x->0)/x(x->0)=0/0 ?

x

1

0.5

0.25

0.125

0.0625

0.03125

sin(x)

0.841471

0.479462

0.247404

0.124675

0.062459

0.031245

sin(x)/x

0.841471

0.958851

0.989816

0.997398

0.999349

0.999837

 sin(x->0)/x(x->0)=1 になりそうだ{!}

■ lim[x->0]{sin(3*x)/x}=0/0=1 ?

x

1

0.5

0.25

0.125

0.0625

0.03125

sin(3*x)

0.14112

0.997495

0.681639

0.366273

0.186403

0.093613

sin(3*x)/x

0.14112

1.99499

2.726555

2.93018

2.982453

2.995607

 lim[x->0]{sin(3*x)/x}=3 になりそうだ{!}

{この表を、高校時代に作るべきだったなあ!作らせて欲しかったなあ!2013/9}

◇sin(x)/x の極限◇

◎ x->0 のとき sin(x)/x を求めたい。図形から求めよう。

◆ 下図で ADB は円周の一部(半径 1) OA=OB=OD=1

 ∠OAE=∠OBE=∠OCA=∠R ∠AOC=∠BOC=x 0<x<Pi/2

※ sin(x)/x の極限を考えるとき、xの単位は、ラジアンでも ° でも何でもよい。ただし、以下の議論では、単位をラジアンとしている{!}

■ AC=sin(x) 弧AD=x AE=sin(x)/cos(x) ⇒

 @AC<弧AD ⇒ sin(x)<x A弧AD<AE ⇒ x<sin(x)/cos(x)

まとめて 0<x<Pi/2 で cos(x)<sin(x)/x<1

極限をとれば cos(x->+0)=1 ⇒

 lim[x->+0]{sin(x)/x}=1

■ 次に、マイナス側から極限をとる。x->-0

x<0 で x=-h h>0

 cos(x)=cos(-h)=cos(h) sin(x)/x=sin(-h)/(-h)=-sin(h)/(-h)=+sin(h)/h

0<h<Pi/2 で、

 @sin(x)/x-cos(x)=+sin(h)/h-cos(h)>0

 A1-sin(x)/x=1-sin(h)/h>0

まとめて、

 -Pi/2<x<0 (0<h<Pi/2) で cos(x)<sin(x)/x<1

 lim[x->-0]{sin(x)/x}=1

■ x の値を、プラス側から 0 に近づけても、マイナス側から 0 に近づけても、

 lim[x->0]{sin(x)/x}=1

{別解}sin(x->0)=0 x(x->0)=0 lim[x->0]{sin(x)/x}=0/0 ?

ロピタルの定理が使えて、

 lim[x->0]{sin(x)/x}=lim[x->0]{sin(x);x/x;x}=lim[x->0]{cos(x)/1}=1

◇sin(a*x)/x◇

◎ lim[x->0]{sin(a*x)}=0 lim[x->0]{x}=0 だから、

 lim[x->0]{sin(a*x)/x}=1?

違う。なぜか。

■ 分子の中の変数と、分母の変数が、同じ速さで極限値に近づかないといけない。

a*x と x では、同じ速さで極限値に近づいていないので、1 にならない{!}。{高校で、教わらなかったような気がするなあ!}

■ lim[x->0]{sin(a*x)/a*x}=1

{∵}分子も分母も同じ速さで 0 に近づいているから。

■ lim[x->0]{sin(a*x)/x}
=lim[x->0]{a*sin(a*x)/(a*x)}
=a*1
=a〔

{わかってなかった!}

  sin(x)/x  

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