☆ 極限 sin(x)/x ☆
〇 三角関数 2023.6-2012.1 Yuji.W ★
◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 000
〓 極限.三角関数 〓
〇 sin(h)/h
|
h |
0.3 |
0.2 |
0.1 |
|
sin(h) |
0.296 |
0.199 |
0.0998 |
|
sin(h)/h |
0.985 |
0.993 |
0.998 |
予想 lim{h->0|sin(h)/h}=1 ★
〇 sin(3*h)/h
|
h |
0.3 |
0.2 |
0.1 |
|
sin(3*h) |
0.783 |
0.565 |
0.296 |
|
sin(3*h)/h |
2.611 |
2.823 |
2.955 |
予想 lim{h->0|sin(3*h)/h}=3 ★
▲ lim{h->0|sin(3*h)/(3*h)}=1 であるから{!}
〇 [cos(h)-1]/h
|
h |
0.3 |
0.2 |
0.1 |
|
[cos(h)-1] |
-0.0447 |
-0.0199 |
-0.005 |
|
[cos(h)-1]/h |
-0.149 |
-0.100 |
-0.05 |
予想 lim{h->0|[cos(h)-1]/h}=0 ★
{こういう計算を高校生の時にしておけば、数学が得意になった気がするけどなあ!23.6}
〓 極限 sin(x)/x 〓
▢ 上図で ADB は円周の一部(半径 1) OA=OB=OD=1
∠OAE=∠OBE=∠OCA=∠R ∠AOC=∠BOC=x 0<x<Pi/2
▷ AC=sin(x) 弧AD=x AE=sin(x)/cos(x) ⇒
① AC<弧AD ⇒ sin(x)<x ② 弧AD<AE ⇒ x<sin(x)/cos(x)
①②より 0<x<Pi/2 で cos(x)<sin(x)/x<1
x->+0 の場合を考えて lim[x->+0]{sin(x)/x}=1 ★
▷ 次に、マイナス側から極限をとる。
x<0 で x=-h h>0
cos(x)=cos(-h)=cos(h) sin(x)/x=sin(-h)/(-h)=-sin(h)/(-h)=+sin(h)/h
0<h<Pi/2 で、
① sin(x)/x-cos(x)=+sin(h)/h-cos(h)>0 ② 1-sin(x)/x=1-sin(h)/h>0
①②より
-Pi/2<x<0 (0<h<Pi/2) で cos(x)<sin(x)/x<1
lim[x->+0]{sin(x)/x}=1 ★
▷ x の値を、プラス側から 0 に近づけても、マイナス側から 0 に近づけても、
lim[x->0]{sin(x)/x}=1 ★
〓 極限 sin(3*x)/x 〓
▢ lim[x->0]{sin(3*x)/x} ?
▷ 分子の中の変数と、分母の変数が、同じ速さで極限値に近づかないといけない。 ★
3*x と x では、同じ速さで極限値に近づいていないので、1 にならない{!}。{高校で、教わらなかったような気がするなあ!}
▷ lim[x->0]{sin(3*x)/(3*x)}=1 分子も分母も同じ速さで 0 に近づいている
lim[x->0]{sin(3*x)/x}=3 ★
{わかってなかった!}
☆ uzお勉強しよう since2011 Yuji.W