お勉強しようwithUz 数学.行列

2016/2-2012/6 Yuji.W

☆フィボナッチ数☆

◎ フィボナッチ数 黄金数 黄金比 行列

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

☆フィボナッチ数☆

◎ フィボナッチ数 黄金比、黄金数

■ 次のような生物を考える。

・1匹の子から始まる。
・1日で、子から親へ成長する。
・親は、親になった次の日から毎日、子を1匹ずつ産む。
・親も子も、決して死なない。
・その生物の合計の数を考える。

親を ○ 、子を o で表すと、

 1日目 o=1
 2日目 ○=1
 3日目 ○o=2
 4日目 ○o○=○*2+o=3
 5日目 (○o)*2+○=○*3+o*2=5
 6日目 (○o)*3+○*2=○*5+o*3=8
 7日目 (○o)*5+○*3=○*8+o*5=13
 …

フィボナッチ数になる。

■ 黄金数 GN=(1+root5)/2=1.6180…
 黄金比 1:GN

フィボナチ数に対して 数列 {f(n)} f(n)=F(n)/F(n-1) を考えると、

 f(3)=2/1=2 f(4)=3/2=1.5 f(5)=5/3=1.66… f(6)=8/5=1.6
 f(10)=55/34=1.617647… f(20)=6765/4181=1.618034…

 f(∞)=lim{f(n)}[n->∞]=GN

{証明} ポイントは3つ

・フィボナッチ数 {Fn} の定義 F(n+2)=F(n+1)+F(n)
・f(∞)=lim{F(n)/F(n-1)}[n->∞] だから、1項前でも同様に、
 lim{F(n-1)/F(n-2)}[n->∞]=f(∞)
・黄金数とは、2次方程式 x^2-x-1=0 の正の解

 f(∞)^2-f(∞)-1=0 になることを言えばよい。

 F(n)/F(n-1)=[F(n-1)+F(n-2)]/F(n-1)=1+F(n-2)/F(n-1)

 f(∞)
=lim[n->∞]{F(n)/F(n-1)}
=1+lim[n->∞]{F(n-2)/F(n-1)}
=1+1/f(∞)

 f(∞)=1+1/f(∞) f(∞)^2-f(∞)-1=0   』

■ 辺の比が 黄金比 1:GN の長方形の中に、最も大きい正方形(1辺 1)を作り、取り去る。残りの長方形は、元の長方形と相似になる。(辺の比が 1:GN になる。)

{証明} (GN-1):1=1:GN を言えばよいから、

 GN^2-GN-1=0 であることを言えばよい。

 GN=(1+root5)/2 x^2-x-1=0 の解だったから、当然成り立つ。 』

☆フィボナッチ数-数列☆

「3項間の漸化式」 -2014/-9

◆ A(n+2)-a*A(n+1)+b*A(n)=0 ◆

■ 仮定 定数 p,q B(n)=A(n+1)-p*A(n) B(n+1)=q*B(n)

 A(n+2)-p*A(n+1)=q*[A(n+1)-p*A(n)]

 A(n+2)-(p+q)*A(n+1)+p*q*A(n)=0

与式と比べて p+q=a , p*q=b p,q は次の2次方程式の解 x^2+a*x+b=0

フィボナッチ数 0,1,1,2,3,5,8,13,21 … f(n) ただし、f(0)から始めていることに注意

 f(0)=0 f(1)=f(2)=1 f(n+2)=f(n+1)+f(n)〔

■ 仮定 B(n)=f(n+1)-p*f(n) B(n+1)=q*B(n)

 f(n+2)-p*f(n+1)=q*[f(n+1)-p*f(n)] f(n+2)-(p+q)*f(n+1)+p*q*f(n)=0

 p+q=1 p*q=-1 p,q は次の方程式の解 x^2-x-1=0 x=(1±√5)/2

ここで s=(1+√5)/2~1.6 t=(1-√5)/2~-0.6 s+t=1 s*t=-1 として、

 B(n)=f(n+1)-t*f(n) B(n+1)=s*B(n)

 B(0)=f(1)-t*f(0)=1 B(1)=f(2)-t*f(1)=1-t=s B(2)=f(3)-t*f(2)=2-t
 B(3)=f(4)-t*f(3)=3-2*t … B(n)=s^n

 f(n+1)-t*f(n)=s^n〔〕3項間の漸化式が2項間の漸化式になった{!}

さらに仮定 定数 r C(n)=f(n)+r*s^n C(n+1)=t*C(n)

 f(n+1)+r*s^n=t*[f(n)+r*s^(n-1)] f(n+1)=t*f(n)+(t-s)*r*s^(n-1)

 (t-s)*r=1 r=-√5/5 C(n)=f(n)-s^n*√5/5 C(n+1)=t*C(n)

 C(1)=-√5/5 C(n)=-(√5/5)*t^n

 s=(1+√5)/2~1.6 t=(1-√5)/2~-0.6 f(n)=(√5/5)*(s^n-t^n)〔

{確かめ} f(1)=(√5/5)*(q-p)=(√5/5)*√5=1

 f(2)=(√5/5)*(q^2-p^2)=(√5/5)*(q+p)*(q-p)=(√5/5)*1*(q-p)=1

 f(3)=(√5/5)*(q^3-p^3)=(√5/5)*(q-p)*[(q+p)^2-p*q]=1*2=2

☆フィボナッチ数-行列☆

● 対角化行列[D(s,t)] [Pi]*[A]*[P]=[D(s,t)]

 [A]^n=[P]*[D(s^n,t^n)]*[Pi]

フィボナッチ数 0,1,1,2,3,5,8,13,21 … f(n) ただし、f(0)から始めていることに注意

 f(0)=0 f(1)=f(2)=1 f(n+2)=f(n+1)+f(n)

変数は1つであるが、一般項は、ひとつ前の項と、2つ前の項に依る。2つずつセットにして、数列を作り直す。

フィボナチ行列 [F]=[1 1|1 0] [F]^2=[2 1|1 1] [F]^3=[3 2|2 1]

 <F(1))=<f(1) f(0))=<1 0)

 <F(2))=<f(2) f(1))=<1 1)=[F]*<1 0)

 <F(3))=<f(3) f(2))=<2 1)=[F]^2*<1 0)

 <F(4))=<f(4) f(3))=<3 2)=[F]^3*<1 0)

 <F(n+1))=<f(n+1) f(n))=[F]^n*<1 0) 

▲ [F]^n を求めれば、f(n) がわかる。

■ [F]=[1 1|1 0] det[F]=-1

■ 固有方程式 h^2-h-1=0

解 s=(1+root5)/2~1.62 t=(1-root5)/2~-0.62 

このあと、具体的な数字ではなく、s,t を使って表していく。{核心!}

 s+t=1 s*t=-1

固有ベクトル <1 s-1)=<1 -t) ⇔ <-1 t)  <1 t-1)=<1 -s) ⇔ <-1 s)

 [P]=<-1 t)&<-1 s)=[-1 -1|t s] det[P]=-s+t=-root5

 [Pi]=[s 1|-t 1]/(-root5)

 [D(s^n,t^n)]*[Pi]
=[s^n 0|0 t^n]*[s 1|-t 1]/(-root5)
=-[s^(n+1) s^n|-t^(n+1) t^n]/root5

 [F]^n
=[P]*[D(s^n,t^n)]*[Pi]
=-[-1 -1|t s]*[s^(n+1) s^n|-t^(n+1) t^n]/root5

1行1列 [s^(n+1)-t^(n+1)]/root5

1行2列 [s^n+t^n]/root5

2行1列 -[t*s^(n+1)-s*t^(n+1)]/root5=[s^n-t^n]/root5

2行2列 -[t*s^n+s*t^n]/root5=[s^(n-1)+t^(n-1)]/root5

<f(n+1) f(n))=[F]^n*<1 0)

 f(n)=(s^n-t^n)/root5 ・ 

s=(1+root5)/2 , t=(1-root5)/2

 f(1)=(s-t)/root5=1

 f(2)=(s^2-t^2)/root5=1

 f(3)=(s^3-t^3)/root5=2

  フィボナッチ数  

inserted by FC2 system