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☆ フィボナッチ数 ☆ |
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〇 フィボナッチ数 黄金数 黄金比 行列 2022.11-2012.6 Yuji.W ★ |
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◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 行列の累乗 〓 22.11 ▢ 2行2列行列 [A] [A]の固有値 h1,h2 固有ベクトル <@A1),<@A2) [A]の対角化行列 [P]=[<@A1)&<@A2)] [P]の逆行列 [Pi] ▷ 行列の累乗 [A]^n=(n個の [A] の積)=[P]*[h1^n 0|0 h2^n]*[Pi] |
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〓 フィボナッチ数 〓 ▢ 次のような生物を考える。オスとメスの区別はない。生物の合計の数を考える。 ・1匹の子から始まる。 n 日目の親の数 A(n) 子の数 C(n) 和 F(n)=A(n)+C(n) ▷ 親 ○ 子 o A(n),C(n),F(n) 1日目 o 0,1,1 1,1,2,3,5,8,13,…フィボナッチ数 ★ ▷ 親と子が次の日の親になるから A(n+1)=A(n)+C(n)=F(n) 親の数だけ子が産まれるから C(n+1)=A(n) 和 F(n+1)=A(n+1)+C(n+1)=F(n)+A(n) さらに A(n)=F(n-1) だから、 F(n+1)=F(n)+F(n-1) ★ フィボナッチ数を表す数列 〔 F(1)=F(2)=1 〕 |
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〓 フィボナッチ数.行列 〓 ◎ フィボナッチ数を数式で表したい。行列の累乗を使って求める事ができる。 ▢ フィボナッチ数 F(1)=F(2)=1 F(n+1)=F(n)+F(n-1) 縦ベクトル <F(n) F(n+1)) 2行2列行列 [F]=[0 1|1 1] [F]の対角化行列 [P] [P]の逆行列 [Pi] ▷ <F(2) F(3))=[F]*<F(1) F(2))=[0 1|1 1]*<1 1)=<1 2) <F(3) F(4))=[F]*<F(2) F(3))=[F]^2*<1 1) <F(n) F(n+1))=[F]*<F(n-1) F(n))=[F]^(n-1)*<1 1) ≫ <F(n) F(n+1))=[F]^(n-1)*<1 1) ★ ▷ [F]^2=[0 1|1 1]*[0 1|1 1]=[1 1|1 2] [F]^3=[0 1|1 1]^2*[0 1|1 1]=[1 1|1 2]*[0 1|1 1]=[1 2|2 3] <F(3) F(4))=[F]^2*<1 1)=[1 1|1 2]*<1 1)=<2 3) <F(4) F(5))=[F]^3*<1 1)=[1 2|2 3]*<1 1)=<3 5) ▷ [F]=[0 1|1 1] の累乗を求める Tr[F]=0+1=1 det[F]=0-1=-1 固有方程式 h^2-h-1=0 解 h=(1±√5)/2 固有値 s,t s=(1+√5)/2 t=(1-√5)/2 s+t=1 s*t=-1 ▷ 固有値 s=(1+√5)/2 に対して [-s 1|1 1-s]*<x y)=<0 0) を解いて、 s*x-y=0 例えば <@F1)=<1 s) 固有値 t=(1-√5)/2 に対して [-t 1|1 1-t]*<x y)=<0 0) を解いて、 t*x-y=0 例えば <@F2)=<1 t) ▷ [P]=[<@F1)&<@F2)]=[1 1|s t] det[P]=t-s=(1-√5)/2-(1+√5)/2=-√5 [Pi]=[-t 1|s -1]/√5 [P]*[s^n 0|0 t^n] [P]*[s^2 0|0 t^n]*[Pi] ここで s*t=-1 だったから、 [P]*[s^2 0|0 t^n]*[Pi] [F]^n ≫ [F]^n=[s^(n-1)-t^(n-1) s^n-t^n|s^n-t^n s^(n+1)-t^(n+1)]/√5 ★ ▷ <F(n) F(n+1))=[F]^(n-1)*<1 1) であったから、 <F(n+1) F(n+2))=[F]^n*<1 1) F(n+1) F(n+1)=(s^(n-1)*(3+√5)-t^(n-1)*(3-√5))/(2*√5) (分母)=3*(s^(n-1)-t^(n-1))+√5*(s^(n-1)+t^(n-1)) F(n+1)=(s^(n-1)-t^(n-1))*3/(2*√5)+((s^(n-1)+t^(n-1))/2 ★ フィボナッチ数 ▷ s=(1+√5)/2 t=(1-√5)/2 s+t=1 s-t=√5 s^2=(3+√5)/2 t^2=(3-√5)/2 s^2+t^2=3 s^2-t^2=√5 s^3=2+√5 t^3=2-√5 s^3+t^3=4 s^3-t^3=2*√5 s^4=(7+3*√5)/2 t^4=(7-3*√5)/2 s^4+t^4=7 s^4-t^4=3*√5 F(2)=0*3/(2*√5)+(1+1)/2=1 F(3)=(s-t)*3/(2*√5)+(s+t)/2=√5*3/(2*√5)+1/2=2 F(4)=(s^2-t^2)*3/(2*√5)+(s^2+t^2)/2=√5*3/(2*√5)+3/2=3 F(5)=(s^3-t^3)*3/(2*√5)+(s^3+t^3)/2=2*√5*3/(2*√5)+4/2=5 F(6)=(s^4-t^4)*3/(2*√5)+(s^4+t^4)/2=3*√5*3/(2*√5)+7/2=8 {素晴らしい!} |
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〓 フィボナッチ数 〓 ▢ フィボナッチ数 1,1,2,3,5,8,13 F(1)=F(2)=1 F(n+1)=F(n)+F(n-1) ▷ s=(1+√5)/2 t=(1-√5)/2 F(n+1)=(s^(n-1)-t^(n-1))*3/(2*√5)+((s^(n-1)+t^(n-1))/2 |
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〓 黄金比 〓 〇 黄金数 GN=(1+√5)/2=1.6180… 黄金比 1:GN 〇 フィボナチ数 F(n) GN(n+1)=F(n+1)/F(n) 数列 {GN(n)} GN(3)=F(3)/F(2)=2/1=2 GN(4)=3/2=1.5 GN(5)=5/3=1.66… GN(6)=8/5=1.6 GN(10)=55/34=1.617647… GN(20)=6765/4181=1.618034…~GN ▢ フィボナチ数 F(n) GN(n+1)=F(n+1)/F(n) 数列 {GN(n)} GN(∞)=lim{GN(n) n->∞} とすると GN(∞)=GN=(1+√5)/2 {証明しよう} ▷ 黄金数 GN は、2次方程式 x^2-x-1=0 の正の解であるから、 GN(∞)^2-GN(∞)-1=0 になる事を言えばよい F(n+2)=F(n)+F(n+1) だったから、 GN(n+2) ≫ GN(n+2)=1+1/G(n+1) ★ n->∞ とすると GN(n+2)->GN(∞) G(n+1)->GN(∞) ⇒ GN(∞)=1+1/GN(∞) GN(∞)^2-GN(∞)-1=0 GN(∞)の2次方程式 GN(∞)>1 より GN(∞)=(1+√5)/2=GN ★ ▲ 辺の比が 黄金比 1:GN の長方形の中に、最も大きい正方形(1辺 1)を作り、取り去る。残りの長方形は、元の長方形と相似になる。(辺の比が 1:GN になる。) {証明} (GN-1):1=1:GN を言えばよいから、 GN^2-GN-1=0 であることを言えばよい。 GN=(1+√5)/2 x^2-x-1=0 の解だったから、当然成り立つ |
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☆ お勉強しよう since2011 Yuji.W |