☆ 積分.平均 ☆

☆ uzお勉強しよう　数学

〇 　2023.2-2013.10　Yuji.W　★　

◇ 2*3=6　Ten(3)=10^3=1000　微分 ;　偏微分 :　積分 $　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　　000　

〓　積分.平均　〓　

 ◎ なぜ、積分を使うと、平均が求められるのか?

▢ 変数 x　xの関数 f(x)

● 離散量3つ f(x1) , f(x2) , f(x3)　

　(平均)=[f(x1)+f(x2)+f(x3)]/3=(値の和)/(データの個数)

〇 x1~xn の平均 @{f(x) x1~xn}

x1~xn を微少量 dx で分けて　x1,x2,x3,…,xn　とする　n*dx=xn-x1

　@{f(x) x1~xn}
=[f(x1)+f(x2)+…++f(xn)]/n
=[f(x1)+f(x2)+…++f(xn)]*dx/(xn-x1)

dx->0　を考えて、

　@{f(x) x1~xn}=${f(x)*dx〔x|x1~xn〕}/(xn-x1)　★　

〇 f(x)≧0 の場合

 f(x) のグラフの面積を考える。

面積を変えないまま、高さをならし、長方形を作る。その長方形の高さが、関数 f(x) の平均値となる。

　(面積)=${f(x)*dx〔x|x1~xn〕}

長方形を作った場合の横の長さ xn-x1

　@{f(x) x1~xn}=(面積)/(横の長さ)=${f(x)*dx〔x|x1~xn〕}/(xn-x1)　★　

〓　{計算例}関数の平均　〓　

▢ 変数 x　xの関数 f(x)　x1~x2 の平均 Avg{f(x) x1~x2}

★ ${x^2*dx〔x|0~1〕}=${x^3/3〔x|0~1〕}=1/3

　Avg{x^2 0~1}=${x^2*dx〔x|0~1〕}/(1-0)=(1/3)/1=1/3

★ ${exp(x)*dx〔x|0~1〕}=${exp(x)〔x|0~1〕}=e-1

　Avg{exp(x) 0~1}=${exp(x)〔x|0~1〕}/(1-0)=(e-1)/1=e-1~1.72

▲ exp(0)=1　exp(1/2)~1.65　exp(1)=e~2.72　

　[exp(0)+exp(1/2)+exp(1)]/3=(1+1.65+2.72)/3=5.37/3=1.79

★ ${exp(-x)*dx〔x|0~1〕}=-${exp(-x)〔x|0~1〕}=-1/e+1=-1/2.72+1=0.63

▲ exp(0)=1　exp(-1/2)=1/root(e)~0.61　exp(-1)=1/e~0.37

　[exp(0)+exp(-1/2)+exp(-1)]/3=(1+0.61+0.37)/3=1.98/3=0.66

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