お勉強しよう 〕 数学.積分

2016/9-2012/1 Yuji.W

平均

◎ 積分の利用 平均 重心

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔物理定数 .〕
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

☆平均☆

◎ なぜ、積分を使うと、平均が求められるのか?

■ 離散量3つの場合の平均

 Avg[f(x)]=[f(x1)+f(x2)+f(x3)]/3=(それぞれの値の和)/(データの個数)

■ 関数 f(x) x1~xn の平均 Avg[f(x)]

微少量 dx で分けて、x1,x2,x3,…,xn とする

データの個数 (xn-x1)/dx {核心!}

 Avg[f(x)]
=[f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)]/(データの個数)
=[f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)]/[(xn-x1)/dx]
=[f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)]*dx/(xn-x1)
=${f(x)*dx}[x:x1~xn]/(xn-x1)〔
〕{素晴らしい!2013/10}

{公式をただ覚えるより、こういう事を考えるのが大事だ!2013/10}

■ x1~xn の f(x) のグラフを考える。面積を変えないまま、高さをならし、長方形を作る。その長方形の高さが、関数 f(x) の平均値となる。

 面積=${f(x)*dx}[x:x1~xn]

長方形を作った場合の横の長さ xn-x1

 Avg[f(x)]=${f(x)*dx}[x:x1~xn]/(xn-x1)〔

「関数 f(x) の平均値」

■ 関数 f(x) x=x1~x2 の平均値 Avg{f(x)}={${f(x)*dx}[x:x1~x2]}/(x2-x1)

● 1^2+2^2+3^2+…+n^2=n*(n+1)*(2*n+1)/6

★ f(x)=x^2 x:0~10 平均を、次の値と見なして、求めてみよう。

 平均=(0^2+1^2+2^2+3^2+…+10^2)/11=(10*11*21/6)/11=35

積分で求めると、

 平均
={${x^2*dx}[x:0~10]}/(10-0)
={[x^3/3][x:0~10]}/10
=(1000/3-0)/10
=33.3

☆平均-計算例☆

◆ 関数 f(x) x=x1~x=x2 の平均 Avg[f(x)][x:x1~x2]
=[1/(x2-x1)]*${f(x)*dx}[x:x1~x2]
=面積を変えないまま、高さをならした長方形の高さ

■ 中央値 M=(1/2)*[f(x1)+f(x2)]

★ Avg[a*x+b][x:0~X]=(1/X)*[(1/2)*a*x^2+b*x][x:0~X]=(1/2)*a*X+b

 M=[b+(a*X+b)]/2=(1/2)*a*X+b

★ Avg[x^2][x:0~X]=(1/X)*[x^3/3][x:0~X]=X^2/3

 M=(0+X^2)/2=X^2/2

★ Avg[Sx][x:0~Pi/2]=(2/Pi)*[-Cx][x:0~Pi/2]=2/Pi~0.64

 M=0.5

★ Avg[exp(-x)][x:0~X]=(1/X)*[-exp(-x)][x:0~X]=[1-exp(-X)]/X

 M=(1/2)*[1+exp(-X)]

X>3 で exp(-X)~0 Avg[exp(-x)][x:0~X]=1/X M~1/2

☆三角形の重心☆

◎ 三角形の重心を、積分を利用して求める 

◆ 次の3点を頂点とする三角形の重心 (X,Y) 原点 , (A,0) , (0,B)

■ 2点(A,0) , (0,B) を結ぶ直線 y=f(x)=-(B/A)*x+B

x軸方向のモーメントを考える

微少量 dx , x>X x~x+dx の部分の右回りのモーメント (x-X)*f(x)*dx

 右回りのモーメントの和=${(x-X)*f(x)*dx}[x:X~A]

同様に 左回りのモーメントの和=${(X-x)*f(x)*dx}[x:0~X]

重心Xで、その2つのモーメントは等しいから、

 ${(X-x)*f(x)*dx}[x:0~X]=${(x-X)*f(x)*dx}[x:X~A]

 ${(x-X)*f(x)*dx}[x:0~A]=0

 ${x*f(x)*dx}[x:0~A]=X*${f(x)*dx}[x:0~A]

 X=${x*f(x)*dx}[x:0~A]/${f(x)*dx}[x:0~A] 

ここで、

 分子
=${x*[-(B/A)*x+B]*dx}[x:0~A]
=${[-(B/A)*x^2+B*x]*dx}[x:0~A]
={[-(B/(3*A)]*x^3+(B/2)*x^2}[x:0~A]
=[-(B/(3*A)]*A^3+(B/2)*A^2
=-A^2*B/3+A^2*B/2
=A^2*B/6

 分母
=${[-(B/A)*x+B]*dx}[x:0~A]
={[-[B/(2*A)]*x^2+B*x}[x:0~A]
=-[B/(2*A)]*A^2+B*A
=-A*B/2+A*B
=A*B/2  面積

 X=(A^2*B/6)/(A*B/2)=A/3 

y軸方向のモーメントを考える

y=f(x)=-(B/A)*x+B x=g(y)=-(A/B)*y+A

 Y=${y*g(y)*dy}[y:0~B]/${g(y)*dy}[y:0~B] 

 分子=${y*[-(A/B)*y+A]*dx}[y:0~B]=A*B^2/6

 分母=${[-(A/B)*y+A]*dy}[y:0~B]=A*B/2  面積

 Y=(A*B^2/6)/(A*B/2)=B/3 

重心 (A/3 , B/3) 

◇面積分での平均◇

◆ 2次元関数 f(x,y) [x1<x<x2 , y1<y<y2 での平均]=Avg{f(x,y)}

■ Avg{f(x,y)}
=$${f(x,y)*dx*dy}[x:x1~x2][y:y1~y2]/$${dx*dy}[x:x1~x2][y:y1~y2]

★ f(x,y)=x^2+3*y^2 0<x<2 , 0<y<1

 $${(x^2+3*y^2)*dx*dy}[x:0~2][y:0~1]
=$[x^2*y+y^3/3][y:0~1]*dx}[x:0~2]
=$(x^2+1/3)*dx}[x:0~2]
=[x^3/3+x/3][x:0~2]
=8/3+2/3
=10/3

 $${dx*dy}[x:0~2][y:0~1]=2

 Avg{f(x,y)}=(10/3)/2=5/3

  積分.平均  

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