☆ルジャンドル変換Uz

m-d-legendre.htm Yuji.W 2012/11

◇ルジャンドル変換◇

★ 独立変数を変換する

■ベクトル<>　成分: 　内積*　外積#　単位ベクトル<-u>

■e^(i*a)=expi(a)　10^n=Ten(n)

時間微分'　積分${}dx

xによる偏微分 f;x_y (y一定)　全微分 df　過程の量の微分 d'Q

■sin(a)=Sa　cos(x)=Cx　tan(a)=Ta　sin(2x)=S2x　cos(nx)=Cnx

◇独立変数の変換◇

■独立変数を変換する。特に、微分した量を、新しい独立変数にする(ルジャンドル変換)。それに合わせ、新しい関数も導入する。

　元の関数 f　新しい関数 g

以下、4つの場合を考える。

①1変数　f(x)->g(f;x)

②2変数　f(x,y)->g(f;x,y)

③2変数　f(x,y)->g(x,f;y)

④2変数　f(x,y)->g(f;x,f;y)

◇ルジャンドル変換-1変数◇

◆f(x)->g(f;x)

■p=f;x　df=p*dx　g=f-x*p　グラフで言えば、p 傾き　g 切片

　dg=df-p*dx-x*dp=df-df-x*dp=-x*dp　関数 g の独立変数は p

◎ f;x=p　g=f-x*p　dg=-x*dp

◇ルジャンドル変換-2変数のうち1つ◇

◆f(x,y)->g(f;x,y)

■p=f;x　df=p*dx+(f;y)*dy　g=f-x*p

　dg=df-p*dx-x*dp=p*dx+(f;y)*dy-p*dx-x*dp
=-x*dp+(f;y)*dy　関数 g の独立変数は p と y

◎ f(x,y)->g(f;x,y)　p=f;x_y　g=f-x*p　dg=-x*dp+(f;y)*dy

◇ルジャンドル変換-2変数のうち1つ◇

◆f(x,y)->g(x,f;y)

■q=f;y　df=(f;x)*dx+q*dy　g=f-y*q

　dg=df-y*dq-q*dy=(f;x)*dx+q*dy-y*dq-q*dy
=(f;x)*dx-y*dq　関数 g の独立変数は x と q

◎ f(x,y)->g(x,f;y)　q=f;y　g=f-y*q　dg(x,q)=(f;x)*dx-y*dq

◇ルジャンドル変換-2変数◇

◆f(x,y)->g(f;x,f;y)

■p=f;x　q=f;y　df=p*dx+q*dy　g=f-x*p-y*q

　dg=df-p*dx-x*dp-q*dy-y*dq=-x*dp-y*dq　関数 g の独立変数 p,q

◎ f(x,y)->g(f;x,f;y)　p=f;x　q=f;y　g=f-x*p-y*q　dg=-x*dp-y*dq