数学 複素数  2017/12-2012  Yuji.W

☆ 複素指数関数の微分,積分

複素指数関数=指数が複素数である関数 complex exponential _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
10^x=Ten(x) 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

〓 expi(x)の微分、接線 〓 

■ 関数expi(x) x軸との成す角 x 複素平面上で、半径 1 の円

■ 関数expi(x) の接線の傾き=expi(x)'=i*expi(x)
=expi[(pi)/2]*expi(x)=expi[x+Pi/2]

複素平面上で、元の関数を、左回りに90°回転させた量

■ expi(a*x)'=i*a*expi(a*x) .微分が、i*a の積に置き代わっている。

〓 積分 〓 

■ ${x*exp(a*x)*dx}=x*exp(a*x)/a-exp(a*x)/a^2

${x^2*exp(a*x)*dx}
=x^2*exp(a*x)/a-2*x*exp(a*x)/a^2+2*exp(a*x)/a^3

■ ${expi(x)*dx}=(1/i)*expi(x)=-i*expi(x)

■ ${expi(a*x)*dx}=-(i/a)*expi(a*x) .積分が、-(i/a) の積に置き代わっている。

■ ${x*expi(a*x)*dx}
=x*expi(a*x)/(i*a)-expi(a*x)/(i*a)^2
=-i*x*expi(a*x)/a+expi(a*x)/a^2
.

▲ x:実数 として、

実数部をとると ${x*cos(a*x)*dx}=x*sin(a*x)/a+cos(a*x)/a^2

虚数部をとると ${x*sin(a*x)*dx}=-x*cos(a*x)/a+sin(a*x)/a^2

{うまくできてる!2015/10}

■ ${x*expi(-a*x)*dx}=i*x*expi(-a*x)/a+expi(-a*x)/a^2 .

■ ${x^2*expi(a*x)*dx}
=x^2*expi(a*x)/(i*a)-2*x*expi(a*x)/(i*a)^2+2*expi(a*x)/(i*a)^3
=-i*x^2*expi(a*x)/a+2*x*expi(a*x)/a^2+i*2*expi(a*x)/a^3 

■ ${x^2*expi(-a*x)*dx}
=i*x^2*expi(-a*x)/a+2*x*expi(-a*x)/a^2-i*2*expi(-a*x)/a^3 

『指数関数、複素指数関数の積分』 2015/10 ◇ exp(i*x)=expi(x)

■ ${x*exp(a*x)*dx}=x*exp(a*x)/a-exp(a*x)/a^2

 ${x*expi(a*x)*dx}=-i*x*expi(a*x)/a+expi(a*x)/a^2

 ${x*expi(-a*x)*dx}=i*x*expi(-a*x)/a+expi(-a*x)/a^2

■ ${x^2*exp(a*x)*dx}
=x^2*exp(a*x)/a-2*x*exp(a*x)/a^2+2*exp(a*x)/a^3

 ${x^2*expi(a*x)*dx}
=-i*x^2*expi(a*x)/a+2*x*expi(a*x)/a^2+i*2*expi(a*x)/a^3 

 ${x^2*expi(-a*x)*dx}
=i*x^2*expi(-a*x)/a+2*x*expi(-a*x)/a^2-i*2*expi(-a*x)/a^3 

■ ${expi(x)}[x:X1->X2]
={expi(X1)+expi(X1+Δx)+expi(X1+2*Δx)+…+expi(X2)}*Δx
=expi(X1){1+expi(Δx)+expi(2*Δx)+expi(3*Δx)+…}*Δx
={expi(X1)/[1-expi(Δx)]}*Δx

{注}expi(x) は、単調増加とか単調減少ではなく、周期関数である。定積分の範囲に注意する必要がある。

■ ${x^2*exp(a*x)*dx}
=${x^2*[exp(a*x)/a];x*dx}
=x^2*exp(a*x)/a-(2/a)*${x*exp(a*x)*dx}
=x^2*exp(a*x)/a-(2/a)*[-i*x*expi(a*x)/a+expi(a*x)/a^2]
=x^2*exp(a*x)/a+i*2*x*expi(a*x)/a^2-2*expi(a*x)/a^3

■ ${x*expi(a*x)*dx}=-i*x*expi(a*x)/a+expi(a*x)/a^2

 ${x*sin(a*x)*dx}=-x*cos(a*x)/a+sin(a*x)/a^2

 ${x*cos(a*x)*dx}=x*sin(a*x)/a+cos(a*x)/a^2

${x^2*exp(a*x)*dx}
=x^2*exp(a*x)/a+i*2*x*expi(a*x)/a^2-2*expi(a*x)/a^3

〓 複素指数関数の定積分 〓 

◎ [x:-Pi~Pi]

■ n:整数

 ${expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]
=-i*[expi(n*x)/n][x:-Pi~Pi]
=-i*[expi(n*Pi)-expi(-n*Pi)]/n
=+2*sin(n*Pi)/n

n:偶数 ${expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0 .

n:奇数 ${expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=2/n .

■ n:整数

 ${x*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]
=[-i*x*expi(n*x)/n+expi(n*x)/n^2][x:-Pi~Pi]
=[-i*Pi*expi(n*Pi)/n+expi(n*Pi)/n^2]
-[i*Pi*expi(-n*Pi)/n+expi(-n*Pi)/n^2]
=-i*Pi*[expi(n*Pi)+expi(-n*Pi)]/n+[expi(n*Pi)-expi(-n*Pi)]/n^2
=-i*2*Pi*cos(n*Pi)/n+i*2*sin(n*Pi)/n^2

n:偶数 ${x*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=-i*2*Pi/n .

n:奇数 ${x*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=i*2*(Pi/n+1/n^2) .

■ n:整数

 ${x^2*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]
=[-i*x^2*expi(n*x)/n+2*x*expi(n*x)/n^2+i*2*expi(n*x)/n^3][x:-Pi~Pi]
=[-i*Pi^2*expi(n*Pi)/n+2*Pi*expi(n*Pi)/n^2+i*2*expi(n*Pi)/n^3]
-[-i*Pi^2*expi(-n*Pi)/n-2*Pi*expi(-n*Pi)/n^2+i*2*expi(-n*Pi)/n^3]
=-i*Pi^2*expi(n*Pi)/n+2*Pi*expi(n*Pi)/n^2+i*2*expi(n*Pi)/n^3
+i*Pi^2*expi(-n*Pi)/n+2*Pi*expi(-n*Pi)/n^2-i*2*expi(-n*Pi)/n^3
=-i*Pi^2*[expi(n*Pi)-expi(-n*Pi)]/n
+2*Pi*[expi(n*Pi)+expi(-n*Pi)]/n^2
+i*2*[expi(n*Pi)-expi(-n*Pi)]/n^3
=2*Pi^2*sin(n*Pi)/n+4*Pi*cos(n*Pi)/n^2-i*4*sin(n*Pi)/n^3 

n:偶数 ${x^2*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=4*Pi/n^2 .

n:奇数 ${x^2*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]
=2*Pi^2/n-4*Pi/n^2-i*4/n^3
.

■ n:偶数 ${expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=0

n:奇数 ${expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=2/n

■ n:偶数 ${x*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=-i*2*Pi/n

n:奇数 ${x*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=i*2*(Pi/n+1/n^2)

■ n:偶数 ${x^2*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=4*Pi/n^2

n:奇数 ${x^2*expi(n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]=2*Pi^2/n-4*Pi/n^2-i*4/n^3

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