◎ 熱力学的平衡状態で、気体分子の速度分布則

☆Maxwell velocity distribution  Maxwell-Bolzmann distribution

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

◎ 速度分布関数とは?

● 気体の数密度関数

一様な重力場　n(z)/n0=exp[-m*g*z/(k*T)]

1次元の位置エネルギー U(x)　n(x)/n0=exp[-U/(k*T)]

◆ マックスウェル分布　熱力学的平衡状態　質量 m の気体

　v^2=vx^2+vy^2+vz^2　dvx*dvy*dvz=4Pi*v^2*dv

　(1/2)*m*v^2/(k*T)=A*v^2　A=(1/2)*m/(k*T)

■ 速度分布(確率)関数 f(vx,vy,vz)

あるひとつの気体分子が、速度 vx〜vx+dvx  vy〜vy+dvy  vz〜vz+dvz
である確率

  ∝ exp(-A*v^2)*dvx*dvy*dvz　★・

■ 等方的であるとき、(普通はそうである)、あるひとつの気体分子が、
速度 v〜v+dvである確率

  ∝ v^2*exp(-A*v^2)*dv　★・

■ あるひとつの気体分子が、速度 vx〜vx+dvx である確率

  ∝ exp(-A*vx^2)*dvx　★・

※確率ではなく、実際の分子の数で定義することもある。{紛らわしい!}

※数学では、分布関数というと、累積分布関数を言う場合が多い。物理では違う。

◎ 一様な重力場  気体の数密度 n(z) ∝ exp[-m*g*z/(k*T)]  より、

  気体分子の速度分布(確率)関数 f(vx) ∝ exp(-A*vx^2)  を導出しよう。

◆ 鉛直方向 x軸  一様な重力場  高さ z
高さ z までちょうど到達できる分子の、z=0 での鉛直方向の速さ u
 (1/2)*m*u^2=m*g*z

平面 z=0 の下から上へ、鉛直方向の速さ u 以上早さを持って、通り抜ける抜ける分子の数(単位面積、単位時間) n(z=0,v>u)

平面 z の下から上へ、鉛直方向の速さ 0 以上早さを持って、通り抜ける抜ける分子の数(単位面積、単位時間) n(z,v>0)

  n(z=0,v>u)=n(z,v>0)

平面 z=0 の下から上へ、鉛直方向の速さ 0 以上早さを持って、通り抜ける抜ける分子の数(単位面積、単位時間) n(z=0,v>0)

  n(z,v>0)/n(z=0,v>0) ∝ n(z) ∝ exp[-m*g*z/(k*T)]  だから、

  n(z=0,v>u)/n(z=0,v>0) ∝ exp[-m*g*z/(k*T)]=exp[-m*u^2/(2*k*T)]

高さ z=0 の基準面は、どこにでも設定できるから、高さに関係なく、

  n(v>u)/n(v>0) ∝ exp[-m*u^2/(2*k*T)]　★・

{やっと、まとまった！2013/5}

◎ 一様な重力場  気体の数密度 n(z) ∝ exp[-m*g*z/(k*T)]  より、

  気体分子の速度分布(確率)関数 f(vx) ∝ exp(-A*vx^2)  を導出しよう。

◆ 鉛直方向 x軸  一様な重力場  高さ z
高さ z までちょうど到達できる分子の、z=0 での鉛直方向の速さ u
 (1/2)*m*u^2=m*g*z

平面 z=0 の下から上へ、鉛直方向の速さ u 以上早さを持って、通り抜ける抜ける分子の数(単位面積、単位時間) n(z=0,v>u)

平面 z の下から上へ、鉛直方向の速さ 0 以上早さを持って、通り抜ける抜ける分子の数(単位面積、単位時間) n(z,v>0)

  n(z=0,v>u)=n(z,v>0)

平面 z=0 の下から上へ、鉛直方向の速さ 0 以上早さを持って、通り抜ける抜ける分子の数(単位面積、単位時間) n(z=0,v>0)

  n(z,v>0)/n(z=0,v>0) ∝ n(z) ∝ exp[-m*g*z/(k*T)]  だから、

  n(z=0,v>u)/n(z=0,v>0) ∝ exp[-m*g*z/(k*T)]=exp[-m*u^2/(2*k*T)]

高さ z=0 の基準面は、どこにでも設定できるから、高さに関係なく、

  n(v>u)/n(v>0) ∝ exp[-m*u^2/(2*k*T)]　★・

{やっと、まとまった！2013/5}

　★　ボルツマン分布-導出　★