◎ 温度の定義

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

◆ 自由の動くピストンに仕切られた左右の部屋　平衡状態にある

左の部屋の気体　P,V1,N1_個,T　数密度 n1=N1/V1　分子1個の平均並進運動エネルギー kt1

右の部屋も同様に　P,V2,N2_個,T　n2=N2/V2　kt2

■ 気体分子運動論より　P=(2/3)*n1*kt1　P=(2/3)*n2*kt2　だから　n1*kt1=n2*kt2

状態方程式より　P=n1*kB*T　P=n2*kB*T　だから　n1=n2

まとめて　n1=n2　&　kt1=kt2=(3/2)*kB*T ★.

■ 温度の定義を考えたい。次の2条件を満たしてもらいたい。

�@熱平衡状態にある2つの系で等しくなる

�A温度の高い物体から、低い物体へ熱が流れる

温度の定義には、3種類ある。

�@気体分子の平均運動エネルギーを考える

�A統計力学的温度　エントロピーを考える

�B熱力学的温度　カルノーサイクルの熱効率を考える

このページでは、�@を扱う。

◇ 気体分子の数密度 n＝N/V　気体分子1個の平均並進運動エネルギー kt

■ 理想気体の状態方程式　P=n*k*T　を温度の定義として使いたい。ところで、気体分子運動論より単原子分子で　P=(2/3)*n*kt　だから、

　圧力が等しいとき　T ∝ kt ★.

温度の指標として、平均並進運動エネルギーを使うためには、
熱平衡状態にある2つの系の気体の平均並進運動エネルギーが等しくならないと困る。

このページでは以下、次の事を証明することを目指す。

「熱平衡状態にある2つの系の気体の平均並進運動エネルギーは等しい」 ★.

◎ 2種類の単原子分子の気体が混合し平衡状態に達しているときの、平均並進運動エネルギーを比較しよう。

2質点の衝突　相対座標<r12>と、質量の中心<G> を使う。

◆ 気体1　1個の粒子の質量 m1　数密度 n1
　分子の速さ v1　その平均 @v1　平均の運動エネルギー kt1

気体2　1個の粒子の質量 m2　数密度 n2
　分子の速さ v2　その平均 @v1　平均の運動エネルギー kt2

m1+m2=M

● <r12>=<r1>-<r2>　<G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

　<r1>=<G>+(m2/M)*<r12>　<r2>=<G>-(m1/M)*<r12>

　<v12>=<v1>-<v2>　<G>'=(m1*<v1>+m2*<v2>)/M

　<v1>=<G>'+(m2/M)*<v12>　<v2>=<G>'-(m1/M)*<v12>

■ 相対速度と質量の中心の速さの内積を考える。

　<v12>*<G>'
∝ (<v1>-<v2>)*(m1*<v1>+m2*<v2>)
=(m1*v1^2-m2*v2^2)+(m2-m1)*<v1>*<v2>

十分に長い時間平均をとると、等方的になり、

　@(<v12>*<G>')=0　@(<v1>*<v2>)=0　だから、

　m1*@(v1^2)=m2*@(v2^2)

　kt1=kt2 ★-

▲ 混合している2種類の分子の、平均並進運動エネルギーは等しい。

※ 質量の中心系で等方的になるかどうかは、簡単には証明できないらしい。
「ファインマン物理学�U　光 熱 波動」p191脚注

◎ 2種類の単原子分子の気体が、動きうるピストンで分離されている。十分な時間がたち、平衡状態になった。圧力が等しくなる。そのときの、2種類の気体分子の平均並進運動を比較しよう。

◆ 気体1　1個の粒子の質量 m1　数密度 n1
　分子の速さ v1　その平均 @v1　平均の運動エネルギー kt1

気体2　1個の粒子の質量 m2　数密度 n2
　分子の速さ v2　その平均 @v1　平均の運動エネルギー kt2

ピストンの平均運動エネルギー Ktp

■ kt1=Ktp　kt2=Ktp　が成り立つだろうから、

　kt1=kt2 ★-

{やっとたどりついた!2013/5}

▲ 平均並進運動エネルギーを温度の指標として使うことができることになる。

　k*T=(2/3)*kt ★-　温度の定義

★ 温度の高い気体ほど、軽い気体ほど、速く動いている。

T=300　窒素分子 v=520_m/sec　水素分子 v~2_km/sec

　★　温度と運動エネルギー　★