物理　特殊相対性理論　　2017/9　Yuji.W

 ☆ 光のドップラー効果.2次元 ☆

◎ 光の縦ドップラー効果　横ドップラー効果　光行差　宇宙膨張　赤方偏移　ハッブルの法則 ★_〔物理定数〕

◇　光子のエネルギーと運動量のローレンツ変換.2次元　◇

◆ 2つの慣性系 x系,X系　X系のx系に対する速度(対光速比) <x>*b.

1光子xy平面上での運動　速度(対光速比) <bx by>,<Bx By>
　bx^2+by^2=Bx^2+By^2=1

エネルギー E,EK　運動量(光速倍) <pc>=E*<bx by>　<pcK>=EK*<Bx By>

■ E/EK=Γ(b.)*(1+Bx*b.)　bx=(EK/E)*Γ(b.)*(Bx+b.)　by=(EK/E)*By

◇　光のドップラー効果.2次元　◇

◆ 2つの慣性系 x系,X系　X系で静止している光源から、y軸の正の方向に、光が発っせられる　Bx=0　By=1

■ E/EK=Γ(b.)*(1+Bx*b.)=Γ(b.)*(1+0)=Γ(b.) ★_光のドップラー効果(光源が横に動いている場合)

　bx=(EK/E)*Γ(b.)*(Bx+b.)=[1/Γ(b.)]*Γ(b.)*(0+b.)=b.

　by=(EK/E)*By=[1/Γ(b.)]*1=1/Γ(b.)

　bx/by=Γ(b.)*b. ★_光行差

◇ ドップラー効果2次元-ローレンツ変換を使って ◇

◎ 光を、エネルギーと運動量を持つ粒(光子)とみなし、その運動を、２つの慣性系で観測する。

◆ ２つの慣性系　光源が静止している慣性系(光源系)　観測者が静止している系(観測者系)
ふたつの系のx軸とxy平面とが一致している。光子の運動は、その平面上にある。光源系は、観測者系に対して、速さ(対光速比) b. で、x軸の正の方向に動く。

光源系で　エネルギー E0　運動量(光速倍) <p0x p0y>　E0=|<p0x p0y>|
光子の運動する方向とx軸との作る角 a0　p0x=E0*cos(a0)　p0y=E0*sin(a0)

観測者系で　エネルギー E　運動量(光速倍) <px py>　E=|<px py>|
光子の運動する方向とx軸との作る角 a　px=E*cos(a)　py=E*sin(a)

■ ローレンツ変換して、

　E=Γ(b.)*E0+Γ(b.)*b.*p0x　px=Γ(b.)*p0x+Γ(b.)*b.*E0　py=p0y ★.

光子の動く方向を示す a0,a について、考えてみよう。運動量の部分を、エネルギーと角で表すと、

　E=Γ(b.)*E0+Γ(b.)*b.*E0*cos(a0)=Γ(b.)*E0*[1+b.*cos(a0)]
　E*cos(a)=Γ(b.)*E0*cos(a0)+Γ(b.)*b.*E0=Γ(b.)*E0*[cos(a0)+b.]
　E*sin(a)=E0*sin(a0)

E,E0 を消去すると　cos(a)=[cos(a0)+b.]/[1+b.*cos(a0)] ★.

この式を、cos(a0) について解くと、

　cos(a0)=[cos(a)-b.]/[1-b.*cos(a)] ★.

E を、観測者系の値で表せば、

　1+b.*cos(a0)
=1+b.*[cos(a)-b.]/[1-b.*cos(a)]
={[1-b.*cos(a)]+b.*[cos(a)-b.]}/[1-b.*cos(a)]
=(1-b.^2)/[1-b.*cos(a)]
=1/{Γ(b.)^2*[1-b.*cos(a)]}

　E/E0
=Γ(b.)/{Γ(b.)^2*[1-b.*cos(a)]}
=1/{Γ(b.)*[1-b.*cos(a)]} 

※ 観測者系とは、観測者がどこにいるかを特定しない。「その系で観測したら」という意味である。

※ b. の正負と、a0 の関係　次の4パターンがある。

�@ 0<b.<1　&　0<.a0<.Pi/2　光源が、前方(x軸プラス方向)に光子を発する
�A -1<b.<0　&　Pi/2<.a0<.Pi　光源が、前方(x軸マイナス方向)に光子を発する
�B 0<b.<1　&　Pi/2<.a0<.Pi　光源が、後方に光子を発する
�C -1<b.<0　&　0<.a0<.Pi/2　光源が、後方に光子を発する

�@�Aは、光源が観測者に近づいていく場合、�B�Cは、光源が観測者から遠ざかる場合になる。{まぎらわしい、でもここが核心!2015/3}

以下、b. がプラスの場合のみ書いていく。

■ 光源も、光子も、x軸の正の方向に動くとき(光源が観測者に近づく)
0<b.<1　a0=0　p0x=E0　p0y=0

　cos(a)=(1+b.)/(1+b.)=1　a=0

　E/E0
=Γ(b.)*(1+b.)
=(1+b.)/root[(1-b.)*(1+b.)]
=root[(1+b.)/(1-b.)] >1 ★.近づくときの縦ドップラー効果。エネルギーが大きくなる。振動数が大きくなる。波長が短くなる。可視光は、青い光に近づく。

　b.=[(E/E0)^2-1]/[(E/E0)^2+1]

★ b.=3/5 のとき　E/E0=root[(1+3/5)/(1-3/5)]=root4=2

★ b.=12/13 のとき　E/E0=root[(1+12/13)/(1-12/13)]=root(25)=5

★ 赤 70*Ten(-6)_m　緑 55*Ten(-6)_m　赤が緑に見える　E/E0=70/55=14/11

　b.=[(14/11)^2-1]/[(14/11)^2+1]=(14^2-11^2)/(14^2+11^2)=135/287~0.47

■ 光源はx軸の正の方向に、光子はx軸の負の方向にの動くとき(光源が観測者から遠ざかる)
0<b.<1　a0=Pi　p0x=-E0　p0y=0　{p0x<0　盲点!2013/2}

　cos(a)=(-1+b.)/(1-b.)=-1　a=Pi

　E
=Γ(b.)*E0-Γ(b.)*b.*E0
=Γ(b.)*E0*(1-b.)
=E0*(1-b.)/root[(1-b.)*(1+b.)]
=E0*root[(1-b.)/(1+b.)]

　E/E0=root[(1-b.)/(1+b.)] ★.遠ざかるときの縦ドップラー効果。エネルギーが小さくなる。振動数が小さくなる。波長が伸びる。可視光は、赤い光に近づく(赤方偏移)。

　b.=[1-(E/E0)^2]/[1+(E/E0)^2]

★ b.=3/5 のとき　E/E0=root[(1-3/5)/(1+3/5)]=root(1/4)=1/2

★ E/E0=121.6/364.8=1/3　b.=(1-1/9)/(1+1/9)=8/10=4/5

★ 光子ロケット　光子ロケットが出す光子のエネルギー E0　観測したその光子のエネルギー E　ロケットの速さ(対光速比) b

　1-b=1-[1-(m/m0)^2]/[1+(m/m0)^2]=2*(m/m0)^2/[1+(m/m0)^2]

　1+b=1+[1-(m/m0)^2]/[1+(m/m0)^2]=2/[1+(m/m0)^2]

光のドップラー効果　E/E0=root[(1-b)/(1+b)]

　E/E0=m/m0 ★.

■ 光源から真横に光子が発っせられたとき
0<b.<1　a0=Pi/2　p0x=0　p0y=E0

　cos(a)=b.　0<a<Pi/2　E/E0=Γ(b.) ★.エネルギーは大きくなる。

光源は真横に光子を発したのに、観測者系では、斜め前方に光子を発したように観測される。 ★.光行差　ヘッッドライト効果

★ b.=3/5 のとき　cos(a)=3/5　a~53_°

■ E/E0=1 になるとき　光源系の値で　cos(a0)=-[Γ(b.)-1]/[Γ(b.)*b.] ★.

観測者系の値で　cos(a)=[Γ(b.)-1]/[Γ(b.)*b.] ★.

　このとき　cos(a0)+cos(a)=0　a0+a=180_° ★.

★ b.=3/5 のとき　Γ(3/5)=5/4　Γ(3/5)*(3/5)=3/4

　cos(a0)=-(5/4-1)/(3/4)=-1/3　a0~109_°　a~71_°

★ b.=4/5 のとき　Γ(4/5)=5/3　Γ(4/5)*(4/5)=4/3

　cos(a0)=-(5/3-1)/(4/3)=-1/2　a0=120_°　a=60_°

■ 観測者系で真横に動く光子　0<b.<1　a=Pi/2

　cos(a0)=-b.　Pi/2<a0<Pi　E/E0=1/Γ(b.) ★.光の横ドップラー効果。光源と観測者の距離は、ほぼ変わらないのに、ドップラー効果が起きる。特殊相対論効果で、動いている系の時間の進み方は遅くなる。振動数は小さくなる。エネルギーは小さくなる。

★ b.=3/5 のとき　cos(a0)=-3/5　a~127_°　光源から斜め後方に発せられた光子が、観測者系では横向きの光子になる。

■ ロケットから見える宇宙

景色が前方に集まるように見える。前方にある星からの光の波長は、より短くなる。b.=3/5 のとき、前方にある星からの光の波長は半分になる。エネルギーは2倍になる。可視光は紫外線になり、赤外線が可視光になる。後方にある星からの光の波長は、より長くなる。

■ 光源が真っ直ぐにゆっくり観測者に近づくとき　0<b.<<1

　E/E0=root[(1+b.)/(1-b.)]=(1+b./2)^2=1+b.

エネルギーのずれ ΔE=E-E0

　ΔE/E0=E/E0-1=(1+b.)-1=b. ★.レーダーの原理

◇ 光のドップラー効果.2次元 ◇

◆ ２つの慣性系　光源が静止している慣性系(光源系)　観測者が静止している系(観測者系)
ふたつの系のx軸とxy平面とが一致している。光子の運動は、その平面上にある。光源系は、観測者系に対して、速さ(対光速比) b. で、x軸の正の方向に動く。

光源系で　エネルギー E0　運動量(光速倍) <p0x p0y>　E0=|<p0x p0y>|
光子の運動する方向とx軸との作る角 a0　p0x=E0*cos(a0)　p0y=E0*sin(a0)

観測者系で　エネルギー E　運動量(光速倍) <px py>　E=|<px py>|
光子の運動する方向とx軸との作る角 a　px=E*cos(a)　py=E*sin(a)

■ 光源系の値で表せば、

　cos(a)=[cos(a0)+b.]/[1+b.*cos(a0)]　E/E0=Γ(b.)+Γ(b.)*b.*cos(a0)

観測者系の値で表せば、

　cos(a0)=[cos(a)-b.]/[1-b.*cos(a)]　E/E0=1/[Γ(b.)-Γ(b.)*b.*cos(a)]

■ 光源が観測者に近づく　E/E0=root[(1+b.)/(1-b.)]　光の縦ドップラー効果

　b.=[(E/E0)^2-1]/[(E/E0)^2+1]

光源が観測者から遠ざかる　E/E0=root[(1-b.)/(1+b.)]

　b.=[1-(E/E0)^2]/[1+(E/E0)^2]

■ 光源から真横に光子が発っせられたとき　cos(a)=b.　光行差　E/E0=Γ(b.)

■ 観測者系で真横に動く光子　cos(a0)=-b.　E/E0=1/Γ(b.)　光の横ドップラー効果

■ 光源が真っ直ぐにゆっくり観測者に近づくとき　E/E0=1+b.　ΔE/E0=b.

◇ 平面波 ◇

◎ 平面波をローレンツ変換して、光のドップラー効果を導出しよう。 

◆ X系で、Ｘ軸の負の方向に進む平面波 H(X,T)/H0=sin(W*T+K*X)

c=W/K　だから　H(X,T)/H0=sin[W*(T+X/c)]

ローレンツ変換して、x系の t,x で、どのように表されるかを考える。

■ x系の値 <t|x) にローレンツ変換する。

　T=Γ*(t-v.*x/c^2)　 X=Γ*(x-v.*t)

　T+X/c
=Γ*[(t-v.*x/c^2)+(x-v.*t)/c]
=Γ*(t+x/c)*(1-v./c)=root[(1-v./c)/(1+v./c)]*(t+x/c)

　W*(T+X/c)=W*root[(1-v./c)/(1+v./c)]*(t+x/c)　負の方向に進む波

　x系の角振動数 w=W*root[(1-v./c)/(1+v./c)]

振動数の変化 nu/nu0=w/W=root[(1-v./c)/(1+v./c)] ★.
光の縦ドップラー効果(光源が速さ v. で遠ざかるとき)

※ 光源が遠ざかる　v.>0　nu/nu0<1　赤方偏移

◇ 正方形はどう見えるか ◇

横に動く正方形 □ -> は実際どう見えるか。進行方向に短くなって、長方形に見えるのだろうか。実は、正方形が向きを斜めにして ◇ -> 、横に動いていくように見える。