◎ 有限の深さの井戸型ポテンシャル

〔表記〕　ベクトル<>　座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu>　内積*　外積#
微分 y;x　2階微分 y;;x　時間微分 y'　積分 ${f(x)*dx}　定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
2^3=8　10^x≡Ten(x)　exp(i*x)≡expi(x)　複素共役 z!　〔物理定数〕- ★.2015/10/26

◎ 井戸型ポテンシャル　特定の位置で V=0　その他の位置で V=V0=定数>0

粒子の全エネルギー E　E<V0　古典的には、特定の位置に閉じ込められている状態

◆ 井戸型ポテンシャル　-L<x<L で V=0　それ以外で V=V0〔V0=有限の正の定数〕

粒子は、x=-L , L でのみ無限大の力を受け、他は力を受けない

1個の粒子　質量 m　1次元　定常状態　粒子のエネルギー E

位置に関する状態関数 φ(x)　E<V0 の場合

　root(2*m*E)/h.≡k0=正の定数　root[2*m*(V0-E)]/h.≡k2=正の定数

● 古典論では、井戸の中だけを等速直線運動する往復運動に限られる

■ 井戸の中で　φ;;x=-(2*m*E/h.^2)*φ=-k0^2*φ

基本解　cos(k0*x) , sin(k0*x)　※ 複素指数関数で表してもよい、規格化されていない

井戸の外で　φ;;x=+[2*m*(V0-E)/h.^2]*φ=+k2^2*φ

φ は、指数関数で表される。x->-∞ , x->∞ で、φ が発散しないようにして、

L<x　A*exp(-k2*x)　　x<-L　B*exp(k2*x)

■ x=L , x=-L の所で　φ の値と φ;x の値が一致するようにする　

φ が偶関数のとき　

　x<-L で φ=A*exp(k2*x)　-L<x<L で φ=cos(k0*x)　L<x で φ=A*exp(-k2*x)　

x=-L で　A*exp(-k2*L)=cos(k0*L)　A*k2*exp(-k2*L)=+k0*sin(k0*L)　�@

x=L で　cos(k0*L)=A*exp(-k2*L)　-k0*sin(k0*L)=-A*k2*exp(-k2*L)　�A

�@と�Aは同じ条件

�@より　A=cos(k0*L)*exp(k2*L)=(k0/k2)*sin(k0*L)*exp(k2*L)

　tan(k0*L)=k2/k0 ★.

φ が奇関数のとき　

　x<-L で φ=-B*exp(k2*x)　-L<x<L で φ=sin(k0*x)　L<x で φ=B*exp(-k2*x)　

x=-L で　-B*exp(-k2*L)=-sin(k0*L)　-B*k2*exp(-k2*L)=k0*cos(k0*L)　�B

x=L で　sin(k0*L)=B*exp(-k2*L)　k0*cos(k0*L)=-B*k2*exp(-k2*L)　�C

�Bと�Cは同じ条件

�Bより　B=sin(k0*L)*exp(k2*L)=-(k0/k2)*cos(k0*L)*exp(k2*L)

　tan(k0*L)=-k0/k2 ★.

　★　井戸型ポテンシャルの中の粒子　★