◎ 1次元シュレディンガー方程式　量子力学の始まり　プランク定数 h　h/2Pi≡h. ディラック定数　[エネルギー*時間]

◇ ベクトル<A>　座標単位ベクトル<xu>　縦ベクトル<A)　内積*　外積#
微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　〔物理定数〕 ★.

■ Erwin Rudolf Josef [A]lexander Schödinger
　1887-1961　オーストリアの物理学者　1933ノーベル物理学賞

■ 物理は、なぜそうなるのかを追求する学問だと思うと、行き詰まる。ニュートンの法則はなぜそうなるのか　なぜ　力=質量*加速度　になるのか。自然は、ニュートンの法則を知っていて、それに従って動くのか。

自然は、ニュートンの法則なんて知らない。なんだかよくわからないが、何らかの原因によって、「自然に」動いているだけだ。その動きを、ニュートンの法則が成り立っていると解釈しているだけに過ぎない。膨大な事例を通して、ニュートンの法則が成り立っていると解釈するとうまくいく事がわかったので、それは正しいと信じている。

ニュートン力学が正しいと思える範囲で、その法則を適用すると考えてもよい。正しいと思えない範囲では、別の原理を考えればよい。例えば、相対性理論、量子力学などだ。

■ 量子力学も同じだ。なぜ、そうなるのかは、だれにもわからない。ただそう解釈すると、多くの事例を都合よく説明できるから、その法則が正しいと信じているだけだ。量子力学が適用できそうな事例を選んで、考えるのだ。

■ 量子力学の原理

・粒子がいつどこにあるかは計算できない、予言できない。

・全体的な、平均的な物理量、エネルギーや運動量、平均の位置などは、計算できる。

・状態関数(波動関数) ψ(x,t) は、系の状態を表す。位置や時刻の関数であって、複素数の値をとる。この関数から、必要な物理量を計算することができる。

・状態関数は、次のシュレディンガー方程式を満たす。

　i*h.*[ψ(x,t);t]=[H]ψ(x,t) ★ ★ ★ 　虚数単位 i　ハミルトン演算子 [H]

　状態関数が、時間によってどう変化するかを表す。

　あとは、問題に応じて、[H] を定めればよい。

・物理量に対応した演算子 [A]

　[A]ψ(x,t)=a*ψ(x,t)　を満たす値 a が、その物理量の1つとなる。

・物理量 [A] の期待値(平均値)　[@A]=${ψ!*([A]ψ)*dx}/${ψ!*ψ*dx}

・粒子が、x~x+dx にある確率は、|ψ|^2*dx

・粒子を表す量　エネルギー E　運動量 p

・波を表す量　角振動数 w　波数 k　※ 「波数」は本当は「角波数」と呼ぶべき量

・両者を結びつける関係　E=h.*w　&　p=h.*k ★.

・量子化　p ⇒ -i*h.*[;x]　E ⇒ i*h.*[;t]　x ⇒ x

・波を表す関数

　ψ(x,t)=expi(k*x-w*t)=expi[p*x/h.-E*t/h.]=expi[p*x/h.]*expi[-E*t/h.]

★ エネルギーを求めたければ、

　i*h.*[ψ(x,t);t]=+E*ψ(x,t)　E が、実際にとることのできる物理量

★ 運動量を求めたければ、

　-i*h.*[ψ(x,t);x]=+p*ψ(x,t)　p が、実際にとることのできる物理量

■ 定常状態(存在確率が時間に依らない場合)　ψ(x,t)=φ(x)*f(t)　と置くと、

　ψ(x,t);t=φ(x)*[f(t);t]

シュレディンガー方程式　i*h.*φ(x)*[f(t);t]=f(t)*{[H]φ(x)}

　i*h.*[f(t);t]/f(t)={[H]φ(x)}/φ(x)

左辺は x に依らない量、右辺は t に依らない量、それらが等しいのだから、

x や t に依らない、ある一定の値 E をとる　i*h.*[f(t);t]/f(t)={[H]φ(x)}/φ(x)=E=一定

　�@ [f(t);t]/f(t)=-i*E/h.　�A [H]φ(x)=E*φ(x)

�@より　f(t) ∝ expi[-(E/h.)*t]=expi(-w*t)

�Aより　E は、エネルギーを表す事がわかる

-----　まとめ　-----

定常状態(存在確率が時間に依らない場合)

　状態関数 ψ(x,t)=φ(x)*expi(-w*t) ★.〔E=h.*w〕

　φ(x) が満たすべきシュレディンガー方程式　[H]φ(x)=E*φ(x) ★.

◆ 1個の粒子が定常状態にある

質量 m　位置エネルギー V(x)　状態関数 ψ(x,t)=φ(x)*expi(-w*t)

■ E=p^2/(2*m)+V　量子化して　[H]=-[h.^2/(2*m)]*[;;x]+V(x)

シュレディンガー方程式　-[h.^2/(2*m)]*[φ(x);;x]+V(x)*φ(x)=E*φ(x)

　φ(x);;x+(2*m/h.^2)*[E-V(x)]*φ(x)=0 ★.非相対論.1次元.1個の粒子.空間部分に対するシュレディンガー方程式

{やっとわかってきた!ひとつずつていねいに追っていけば難しくないんだな!2015/10}

▲ 粒子の存在確率密度 |ψ(x,t)|^2=|φ(x)|^2*|expi(-w*t)|^2=|φ(x)|^2 ★

存在確率が時間に依らないことになる{!}

▲ 演算子 [A] の時刻 t での期待値

　[@A]
=$$${ψ(x,t)!*[[A]ψ(x,t)]*dV}
=$$${φ(x)!*expi(+E*t/h.)*[[A]φ(x)]*expi(-E*t/h.)*dV}
=$$${φ(x)!*[[A]φ(x)]*dV}　時間に依らない、一定値

※ 時間によって変化する状態関数は φ(x)*expi(-w*t) と置くことができない。

◎ シュレディンガー方程式、いろいろな形で書かれるので、混乱しやすい。次の3種類を区別する必要がある。

{以上、3つの式の関係を理解しないで、無理矢理覚えてもダメ!2013/4}

★ φ(x) ∝ sin(x)　[-Pi~Pi]

　|sin(x)|^2=[1-cos(2*x)]/2

　${|sin(x)|^2*dx}[-Pi~Pi]
=2*${|sin(x)|^2*dx}[0~Pi]
=${[1-cos(2*x)]*dx}[0~Pi]
=[x-sin(2*x)/2][0~Pi]
=Pi

　φ(x)=sin(x)/root(Pi)

★ n:整数　φ(x) ∝ expi(n*x)　[-Pi~Pi]

　|expi(n*x)|^2=expi(n*x)*expi(-n*x)=expi(0)=1

　${|expi(n*x)|^2*dx}[-Pi~Pi]
=2*${1*dx}[0~Pi]
=2*[x][0~Pi]
=2Pi

　φ(x)=expi(n*x)/root(2Pi)

★ φ(x) ∝ |x|　[-Pi~Pi]

　|x|^2=x^2

　${|x|^2*dx}[-Pi~Pi]
=2*${x^2*dx}[0~Pi]
=2*[x^3/3][0~Pi]
=2*Pi^3/3

　φ(x)=|x|/root(2*Pi^3/3)

　★　シュレディンガー方程式　★