☆お勉強しようUz☆ 数学.図形

2016/8-2013/9 Yuji.W

点と直線の距離

◎ 点と直線との距離 点から直線への垂線の長さ

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇原点と直線との距離◇

◆ 直線 y=a*x+1 この直線と原点との距離 D

■ この直線と垂直で、原点を通る直線 y=-x/a

2直線の交点を求める

 a*x+1=-x/a

 x=-a/(a^2+1) y=1/(a^2+1)

この交点と原点との距離が D になるから、

 D^2=a^2/(a^2+1)^2+1/(a^2+1)^2=1/(a^2+1)

 D=1/root(a^2+1) .

{これを覚えるとよい!2016/8}

★ y=x+1 a=1 D=root2/2

◆ 直線 y=a*x+b この直線と原点との距離 D

■ 直線 y=a*x+1 とx軸とy軸とが作る三角形と、

直線 y=a*x+b とx軸とy軸とが作る三角形とは相似になる。相似比 |b|

 D=|b|/root(a^2+1) .

★ y=2*x+5 D=5/root5=root5

◇点と直線との距離◇

◎ 直線と原点との距離

◆ 任意の直線は次の形にできる a*x+b*y+c=0

原点と直線との距離(原点から直線への垂線の長さ) d0

■ x切片 x=-c/a y切片 y=-c/b

 x切片とy切片の距離=|c/(a*b)|*root(a^2+b^2)

直角三角形の面積の2倍を考えて、

 |c/a|*|c/b|=d0*|c/(a*b)|*root(a^2+b^2)

 d0=|c|/root(a^2+b^2)

{いろいろな証明方法があるが、これが一番簡単だと思う!2014/1}

★ 3*x+4*y=12 d0=12/root(3^2+4^2)=12/5


● 直線 y=x+3 を y軸方向に +1 移動すると y-1=x+3 y=x+4

◎ 直線と任意の点との距離

◆ 直線 a*x+b*y+c=0 任意の点 (X,Y) それらの距離 d

■ 直線を、x軸方向に -X、y軸方向に -Y 平行移動すると、点(X,Y)が、原点になる。平行移動した直線は a*(x+X)+b*(y+Y)+c=0

 a*x+b*y+(a*X+b*Y+c)=0

この直線と原点との距離が d になるから、

 d=|a*X+b*Y+c|/root(a^2+b^2)

{いい方法で解いていると思う!2014/1}

★ 4*x+3*y=23 (2,1) 距離 d ▼

 d=|4*2+3*1-23|/root(4^2+3^2)=12/5

◇{別解}ベクトルを使って◇

◎ せっかくベクトルを使うのだから、ベクトルらしい証明を考えたい。

◆ 直線 a*x+b*y+c=0 原点Oとの距離 d0

直線上の任意の点 Q 直線に垂直な単位ベクトル <nu>

ベクトルの内積の定義より d0=|<OQ>*<nu>| {核心!}
{ベクトルと言ったら、内積を使わないと!2014/1}

■ 直線の傾き -a/b 傾きを表すベクトル <1,-a/b> 分母を払って <b,-a>

そのベクトルと垂直なベクトルの例 <a,b> その単位ベクトル <nu>

 <nu>=<a,b>/root(a^2+b^2)

直線上の任意の点、例えばy切片(0,-c/b) <OQ>=<0,-c/b>

 d0
=|<OQ>*<nu>|
=|<0,-c/b>*<a,b>/root(a^2+b^2)|
=|c|/root(a^2+b^2)
{素晴らしい!2014/1}


◆ 直線 a*x+b*y+c=0 任意の点 P(X,Y) それらの距離 d

直線上の任意の点 Q 直線に垂直な単位ベクトル <nu>

ベクトルの内積の定義より d=|<PQ>*<nu>|

■ 直線の傾き -a/b 傾きを表すベクトル <1,-a/b> 分母を払って <b,-a>

直線上の任意の点、例えばy切片(0,-c/b) <OQ>=<0,-c/b>

 <PQ>=<OQ>-<OP>=<0,-c/b>-<X,Y>=-<X,Y+c/b>

<b,-a>*t-<X,Y+c/b>

また <nu>=<a,b>/root(a^2+b^2)

 d
=|<X,Y+c/b>)*<a,b>/root(a^2+b^2)|
=|a*X+b*Y+c|/root(a^2+b^2)
{うまくできた!2014/1}

  点と直線の距離  

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