数学 図形
ベクトル 2019.3-2013.9 Yuji.W
☆ 点と直線の距離 ☆
◎ 点と直線との距離 点から直線への垂線の長さ ★_
◇
積 * 商 / ベクトル <A> 内積
* 外積 # 微分 ;x 積分 $
10^x=Ten(x) e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
❖ デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu>
円柱座標 (h,a,z)_C <Ah Aa
Az>_C 座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>
球座標 (r,a,b)_S <Ar Aa
Ab>_S 座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu>
〓 直角三角形の高さ 〓 .
◆ 直角三角形 斜辺の長さ c 他の2辺の長さ a,b 斜辺を底辺としたときの高さ h
■ 三平方の定理より c=root(a^2+b^2)
面積の関係より (1/2)*c*h=(1/2)*a*b
h=a*b/root(a^2+b^2) ★_
〓 原点と直線との距離 〓 .
◆ xy平面上 直線 y=a*x+b 原点からこの直線への垂線の足 H
■ 直線、x軸、y軸に囲まれた直角三角形を考えて、
斜辺でない2辺の長さは |b| , |b/a| だから、
OH=|b*(b/a)|/root[b^2+(b/a)^2]=|b|/root(a^2+1) ★_
★ y=x+1 OH=1/root2=root2/2
★ y=root3*x+2*root3 OH=(2*root3)/root(3+1)=root3
★ y=2*x+5 OH=5/root(4+1)=root5
◆ xy平面上 直線 a*x+b*y+c=0 原点からこの直線への垂線の足 H
■ (傾き)=-a/b (y切片)=-c/b
OH=|-c/b|/root(a^2/b^2+1)=|c|/root(a^2+b^2) ★_
★ 2*x+3*y=6 OH=6/root(4+9)=6*root13/13~1.66
★ 3*x+4*y=12 OH=12/root(9+16)=12/5=2.4
〓 {別解}原点と直線との距離.ベクトルを使って 〓 .
◆ xy平面上 原点 O 直線 直線上の任意の2点 P,Q <PQ>=<a b>
<\PQ>=<b -a> PQ=\PQ=root(a^2+b^2)
原点から直線への垂線の足 H
■ <PO>*<\PO>=a*b-a*b=0 <\PO> は <PQ> の垂線
<OH>/OH=<\PQ>/PQ
OH は、<OP>の<OH>方向成分だから、
OH=|<OP>*(<OH>/OH)|=|<OP>*<\PQ>|/PQ ★_
★ 3*x+4*y=12
例えば P(4,0) , Q(0,3) として <PQ>=<-4 3> PQ=root(16+9)=5
<\PQ>=<3 4>
OH=|<OP>*<\PQ>|/PQ=|<0 3>*<3 4>|/5=12/5 ★_
◆ 直線 a*x+b*y+c=0
■ 例えば P(-c/a,0) , Q(0,-c/b) として <PQ>=<c/a -c/b>=c*<1/a -1/b>
PQ=root[(c/a)^2+(c/b)^2]=|c/(a*b)|*root(a^2+b^2)
<\PQ>=-c*<1/b 1/a>
OH
=|<-c/a 0>*[-c*<1/b 1/a>]|/[|c/(a*b)|*root(a^2+b^2)]
=(c^2/|a*b|)/|c/(a*b)|*root(a^2+b^2)]
=|c|/root(a^2+b^2)
OH=|c|/root(a^2+b^2) ★_
★ 3*x+4*y=12
OH=12/root(9+16)=12/5
〓 点と直線との距離 〓 .
◆ xy平面上 直線 a*x+b*y+c=0 任意の点 P(X,Y) 点Pと直線との距離 PH
■ 点P が原点になるように平行移動すれば、
直線 a*(x+X)+b*(y+Y)+c=0
a*x+b*y+(a*X+b*Y+c)=0この直線と原点との距離が PH になるから、
PH=|a*X+b*Y+c|/root(a^2+b^2) ★_
★ 直線 y=x+3 x-y+3=0 P(2,1)
PH=|2-1+3|/root2=2*root2
☆ お勉強しよう 2019-2011 Yuji.W ☆