☆ 熱伝導.円柱対称,球対称 ☆ |
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◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
◇ 2*3=6 6/2=3 3^2=9 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $ |
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〓 熱に関する諸量 〓 . ◇温度 [K] 熱量 [J] cal/J~4.18 J/cal~0.239 W=J/sec ■ 熱流量(単位面積、単位時間あたり) <h> [W/m^2] ■ 熱伝導率 K (W/m^2)/(K/m)=W/(m*K) ■ 熱量(単位体積あたり) q [J/m^3] ■ 比熱(単位体積あたり) Cv [J/(m^3*K)] 1K上げるのに必要な熱量 ■ 拡散定数 D=K/Cv [m^2/sec] ■ 熱源からの熱量(単位時間、単位体積あたり) s [W/m^3)] ■ 熱源の内部エネルギー(単位体積あたり) u [J/m^3] |
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〓 簡単なポアソン方程式 〓 .
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〓 円柱形の熱源 〓 . ●△f(r.)=k f(r.)=(1/4)*k*r.^2+C1*ln(r.)+C2 ■ 円柱形の熱源 円柱全体に熱源量 s 熱伝導率 K 温度 T=T(r.) △T(r.)=-s/K T(r.)=T(0)-(1/4)*(s/K)*r.^2 r.=0 で発散しないように {計算例}r.=1.6*Ten(-2) m K=22.5 W/(mK) 電熱線 1mあたり 電圧 5V 抵抗 7*Ten(-7) s=(25/7)*Ten(7) W/m^3 T(0)-T(r) ▲中心の温度は、表面より100度ほど高い{!} |
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〓 円柱形の熱源2 〓 . ●△f(r.)=-k*δ2(z) f(r.)=-[1/(2Pi)]*k*ln(r.) ※Δln(r.)=+2Pi*δ2(r.) ◎円柱の軸にだけ熱源がある場合の温度分布 ■ 熱源からの熱の総量(円柱の軸の単位長さあたり) G 温度 T=T(r.) △T(r.)=-(G/K)*δ2(z) T(r.)=-[1/(2Pi)]*(G/K)*ln(r.) ★ {苦労した!2012/3}{すっきりわかった!2013/8} |
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〓 円柱形の熱源3 〓 . ◎同心軸の円柱2つ 小さい円柱から大きい円柱に向かって、熱が流れ出る。2つの円柱間には熱源はない。 ●△f(r.)=k f(r.)=(1/4)*k*r.^2+C1*ln(r.)+C2 ※△(r.^2)=4 △ln(r.)=0 ◆ 小さい円柱(半径 a 温度 T1) 大きい円柱(半径 b 温度 T2) その間の空間の熱伝導率 K ■ △T(r.)=0 T(r.)=C1*ln(r.)+C2 ★ 境界条件を代入して、 T1=C1*ln(a)+C2 T2=C1*ln(b)+C2 ⇒ T1-T2=C1*ln(a/b) C1=-(T1-T2)/ln(b/a)=-(T1-T2)/[ln(b)-ln(a)] C2 T(r.)*ln(b/a) {別解}外側に流れ出ていく熱の総量(円柱の軸の単位長さあたり) G [W] 半径r (a<r<b) の円柱で包んで考えると、<h>=h*<ru> 2Pi*r.*h=G <h>=-K*<grad(T(r.))>=-<ru>*K*(T;r.) T;r.=-[G/(2Pi*K)]/r. T(r.)=-[G/(2Pi*K)]*ln(r.)+C2 積分して T1-T2=G*ln(b/a)/(2Pi*K) ★ G=2Pi*K*(T1-T2)/ln(b/a) |
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〓 中心にだけ熱源がある球 〓 . ◎中心に熱源 その温度分布を求めよう。点電荷の電位の式を同じになる。 ■ 熱源 単位時間あたり発生するエネルギー W [J/sec] 温度 T(r) △T(r)=-(W/K)*δ3(<r>) T(r)=[1/(4Pi)]*(W/K)/r |
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〓 熱源が一様に分布した球 〓 . ◎熱源が一様に分布した球の、温度分布を求めよう。 ◆ 半径 a 熱源からの単位時間、単位体積あたりの熱量 s [J/(sec*m^3)] 温度 T=T(r) △T(r<a)=-s/K △T(r>a)=0 ■ T(r<a)=-(1/6)*(s/K)*r^2+T(0) ★ ※r=0 で発散しないように T(r>a)=C1/r ★ ※r=∞ で T=0 になるように 後は、r=a で T と T;r が一致するようにして、 -(1/6)*(s/K)*a^2+T(0)=C1/a -(1/3)*(s/K)*a=-C1/a^2 ⇒ C1=(1/3)*(s/K)*a^3 T(0)=(1/3)*(s/K)*a^2+(1/6)*(s/K)*a^2=(1/2)*(s/K)*a^2 ⇒ T(r<a) T(r>a)=(1/3)*(s/K)*a^3/r ★ 表面で T(a)=(1/3)*(s/K)*a^2 ★ 中心で T(0)/T(a)=1.5 球の内部で T(r<a)/T(a)=3/2-(1/2)*(r/a)^2 球の外部で T(r>a)/T(a)=1/(r/a)
縦軸 T(r)/T(a) 横軸 r/a グラフは、放物線と双曲線が繋がった形 {ポアソン方程式を勉強したら、すっきりわかった!2013/8} |
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〓 地球の熱伝導 〓 . ◎地球の熱伝導について調べよう。熱源が、地球全体に一様に広がっているとする。 ●a=6.4*Ten(6) m year/sec~3.16*Ten(7) 地球の熱エネルギー
8*Ten(20)_J/1年 K=0.03 J/(cm*sec*K)=3 J/(m*sec*K) ◆ 熱流量(単位面積、単位時間あたり) <h>=-K*grad(T) ■ T(r<a)=(1/6)*(s/K)*(3*a^2-r^2) h(r)=-K*grad(T)=(1/3)*s*r h(a)=(1/3)*s*a s=3*h(a)/a 4Pi*a^2*h(a)=2.53*Ten(13) h(a) T(0)=(1/2)*(s/K)*a^2=(3/2)*h(a)*a/K T(0)-T(a) ※地球の中心温度 6000_K |