ポアソン方程式.Uz

〔お勉強しよう〕　物理.電磁気

2016/9　Yuji.W

☆ポアソン方程式☆

◎ 時間的変化のない電場

◇ ベクトル<A>　単位ベクトル<Au>　内積*　外積#　〔物理定数〕.★ ★.
◆ ネイピア数 e　虚数単位 i　exp(i*x)=expi(x)　微分;x　積分$　10^x=Ten(x)

{復習}距離の微分

◆ デカルト座標 (x,y,z)　原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)

　<r>=<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z　<ru>=<r>/r

■ r;x=x/r　(1/r);x=-x/r^3　(x/r);x=1/r-x^2/r^3　[ln(r)];x=x/r^2

■ <r>;x=<xu>　<ru>;x=[<xu>*(y^2+z^2)-<yu>*x*y-<zu>*x*z]/r^3

■ <grad(r)>=<ru>　<grad(1/r)>=-<ru>/r^2

■ div<r>=3　div<ru>=2/r

■ <curl<r>>=0

◆ 球座標 (r,a,b)　球対称スカラー関数 f(r)

球対称ベクトル関数 <A>=<ru>*Ar(r)

■ <grad[f(r)]>=<ru>*(f;r)　div<A>={(r^2*Ar);r}/r^2

　<curl<A>>=0　△f={[r^2*(f;r)];r}/r^2

{復習}ガウスの法則

『ガウスの法則』　2016/9

◆ 電荷密度 ρ　電場 <E>　任意の閉曲面　その領域内の電荷 Q

■ ${<E>*<dS>}[閉曲面上]=4Pi*ke*Q　&　div<E>=4Pi*ke*ρ

国際単位系　4Pi*ke=1/ε0　CGS静電単位系　ke=1

◇電位φ◇

◇ 時間微分 '　ラプラシアン △

◆ 静電場　電荷密度 ρ　それが作る電場

Maxwell's equations　① div<E>=4Pi*ke*ρ　② <curl<E>>=-<B>'=0

<curl<E>>=0　いたる所　⇒　電場の任意の閉曲線の循環が0　⇒　<E> は場所の関数　⇒　次のように、電位 φ を定義することができる

　<E>=-<grad(φ)>=-<φ;x　φ;y　φ;z>　φ(r)=-${<E>*<ds>}[s:a~b]

■ <E>=-<grad(φ)>　div をとると、

ガウスの法則を使って　左辺=div<E>=4Pi*ke*ρ

　右辺=-div<grad(φ)>=-△φ

　△φ=-4Pi*ke*ρ ★.電荷密度と電位の関係

★ 球内に電荷 ρ　球内で　△φ=-4Pi*ke*ρ　球外で　△φ=0　という意味

{わかってなかった!}

※ 静電場でないとき　△φ-φ''/c^2=-ρ/ε0

◆ 観測点 1　その電位 φ(1)　他の位置の電荷密度 ρ(2)　1から2までの距離 r12

■ φ(1)=ke*$$${[ρ(2)/r12]*dV2} ★.

■ 等電位面は、電場の方向に垂直である。

{∵}等電位面では、エネルギーの一定のまま、電荷を自由に動かすことができる。
すなわち、等電位面は、力の方向の成分が0でなければならない。等電位面が、力の方向に垂直であればよい。力の方向は、静電場では、電場の方向と一致するから、等電位面と電場の方向は垂直である。

{復習}簡単なポアソン方程式の解

『Δf=定数』　2016/3　〔C1,C2:積分定数〕

◆ Δf=k=定数　(周囲の値の平均値)-f(x,y,z)=一定

■ 解　1次元　(1/2)*k*x^2+C1*x+C2

軸対称　(1/4)*k*r.^2+C1*ln(r.)+C2

球対称　(1/6)*k*r^2+C1/r+C2

■

◇デルタ関数の利用-ポアソン方程式を解く◇

◎ デルタ関数を利用し、ポアソン方程式を解こう。

■ 3次元デルタ関数 δ3(<r>)

r=0 でない所で δ3(<r>)=0　δ3(0)=∞　$$${δ3(<r>)*dV}[全空間]=1

■ δ3(<r>)=-(1/4Pi)*Δ(1/r)

『簡単なポアソン方程式の解』　2016/1

■ △f=k=定数　の場合　〔C1,C2:積分定数〕

1次元　f(x)=(1/2)*k*x^2+C1*x+C2

円柱座標(r,a,z)　△f(r)=k=定数　f(r)=(1/4)*k*r^2+C1*ln(r)+C2

球座標(r,a,b)　△f(r)=k=定数　f(r)=(1/6)*k*r^2+C1/r+C2

■ 円柱座標(r.,a,z)　△f(r)=-k*δ2(r.)　解 f(r.)=-[k/(2Pi)]*ln(r.)

球座標(r,a,b)　△f(r)=-k*δ3(r)　解 f(r)=[k/(4Pi)]/r

◆ 原点に電荷 Q　電位 φ

■ ポアソン方程式　電位と電荷密度の関係　△φ=-ρ/ε0

原点に点電荷 Q がある場合を考える。

原点以外で　ρ=0　　原点で　ρ=電荷/体積=定数/0->∞　発散してしまう。普通の関数では扱えない。そこで、デルタ関数を使う。

3次元デルタ関数を使えば　ρ=Q*δ3(<r>)　と表す事ができる。

ポアソン方程式　△φ=-(Q/ε0)*δ3(<r>)

　解 φ=[Q/(4pi*ε0)]/r=ke*Q/r ★.

◆ z軸に直線電荷　電荷線密度 λ　λ*

■ ポアソン方程式 △f(r.)=-λ*δ2(r.)/ε0

　△f(r.)=[1/(4Pi*ε0)]*2*λ*Δln(r.)

　f(r.)=-2*ke*λ*ln(r.) ★.

{やっとわかった!2014/3}

◇電位 φ=x^2◇

◆ 1次元　電位 φ=V0*x^2　質点　質量 m　電荷 q

■ 電荷が受ける力 F=-q*[(V0*x^2);x]=-2*q*V0*x

　運動方程式 m*x''=-2*q*V0*x　x=x0*cos[root(2*q*V0/m)*t]

　★　ポアソン方程式　★　