お勉強しよう 〕 物理.電磁気

2016/9-2012/1 Yuji.W

☆円柱対称電荷☆

◎ 円柱対称 円筒対称

◇ クーロン力定数 ke 国際単位系 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9) CGS静電単位系 ke=1 ◆ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ;x 積分 $ ベクトル <A> 座標単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 〔物理定数〕.  .

{復習}ガウスの法則

『ガウスの法則』 2016/9

◆ 電荷密度 ρ 電場 <E> 任意の閉曲面 その領域内の電荷 Q

■ ${<E>*<dS>}[閉曲面上]=4Pi*ke*Q & div<E>=4Pi*ke*ρ

国際単位系 4Pi*ke=1/ε0 CGS静電単位系 ke=1

◇一様な電荷密度の円柱の電場◇

◆ 円柱座標(r.,a,z) 円柱[半径 R 高さ:無限] 電荷密度 ρ0=一定

円柱の中心軸:z軸 電場 <E(r.)>=<r.u>*E(r.) 電位 φ(r.)

■【 電場 】

円柱[中心軸:z軸 半径 r 高さ 1]の表面上の面積分を考える。

ガウスの法則 ${<E>*<dS>}[総電荷を囲む任意の閉曲面上]=4Pi*ke*Q

r>R で、

 左辺=2Pi*r.*E(r.) 右辺=4Pi*ke*(Pi*R^2*ρ0)

 2Pi*r.*E(r.)=4Pi*ke*(Pi*R^2*ρ0)

 E(r.)=2*Pi*ke*ρ0*R^2/r. .

r<R

 左辺=2Pi*r.*E(r.) 右辺=4Pi*ke*(Pi*r.^2*ρ0)

 2Pi*r.*E(r.)=4Pi*ke*(Pi*r.^2*ρ0)

 E(r.)=2*Pi*ke*ρ0*r. .

▲ div(<r.u>*r.)=[(r.*r.);r.]/r.=2

r<R div<E(r.)>=2*Pi*ke*ρ0*div(<r.u>*r.)=4Pi*ke*ρ0

国際単位系 4Pi*ke=1/ε0 div<E(r.)>=ρ0/ε0

CGS静電単位系 ke=1 div<E(r.)>=4Pi*ke*ρ0

■【 電位 】r=0 で φ=0

r<R で、

 φ(r.)
=-${E(r.)*dr.}[r.:0~r.]
=-2*Pi*ke*ρ0*${r.*dr.}[r.:0~r.]
=-2*Pi*ke*ρ0*[r.^2/2][r.:0~r.]
=-Pi*ke*ρ0*r.^2 
. ※ 積分定数=0

r=R で φ(R)=-Pi*ke*ρ0*R^2

r>R で、

 φ(r.)
=-Pi*ke*ρ0*R^2-${E(r.)*dr.}[r.:R~r.]
=-Pi*ke*ρ0*R^2-2*Pi*ke*ρ0*R^2*${dr./r.}[r.:R~r.]
=-Pi*ke*ρ0*R^2-2*Pi*ke*ρ0*R^2*[ln(r.)][r.:R~r.]
=-Pi*ke*ρ0*R^2-2*Pi*ke*ρ0*R^2*ln(r./R)
=-Pi*ke*ρ0*R^2*[1+2*ln(r./R)] 
.

----- まとめ -----

r=0 E(0)=0 φ(0)=0

r<R E(r.)=2*Pi*ke*ρ0*r. φ(r.)=-Pi*ke*ρ0*r.^2

r=R E(R)=2*Pi*ke*ρ0*R φ(R)=-Pi*ke*ρ0*R^2

r>R E(r.)=2*Pi*ke*ρ0*R^2/r. φ(r.)=-Pi*ke*ρ0*R^2*[1+2*ln(r./R)]

{おもしろいなあ!2016/8}

◇有限な長さの円柱の中心軸での電位◇

◆ 円柱[半径 R 長さ L] 表面にのみ電荷 電荷面密度 σ 総電荷 Q=2Pi*R*L*σ

円柱座標(r.,a,z) [z軸:円柱の中心軸 原点:中心軸上の円柱の端] 円柱:[z=0~L]

中心軸上の電位 円柱の端で φ 円柱の中心で φc

● 円電荷 半径 R 全電荷 Q=2Pi*R*λ

観測点:円の中心軸上 円を含む平面からの距離 z z≧0 電位 φ(z)

 φ(z)=ke*Q/root(z^2+R^2)

■【 円柱の端の電位 φ 】

z~z+dz にある円による電位 dφ

 dφ=ke*(2Pi*R*σ)*dz/root[z^2+R^2]=ke*(Q/L)*dz/root[z^2+R^2]

 φ=(ke*Q/L)*${[1/root(z^2+R^2)]*dz}[z:0~L]

● ${[1/root(x^2+A)]*dx}=ln[x+root(x^2+A)]+積分定数

■ ${[1/root(z^2+R^2)]*dz}[z:0~L]=ln[L+root(L^2+R^2)]-ln(R)

 φ/(ke*Q/L)
=ln[L+root(L^2+R^2)]-ln(R)
=ln[L+root(L^2+R^2)]-ln(R)

■【 円柱の中心の電位 φc 】

 φc/(ke*Q/L)=${[1/root(z^2+R^2)]*dz}[z:-L/2~L/2]

 積分
=ln[L/2+root(L^2/4+R^2)]-ln[-L/2+root(L^2/4+R^2)]
=ln{[L+root(L^2+4*R^2)]/[-L+root(L^2+4*R^2)]

 φc/(ke*Q/L)=ln{[L+root(L^2+4*R^2)]/[-L+root(L^2+4*R^2)]

■【 電位差 】

 φc-φ=(ke*Q/L)*ln(~)

 ln の中身の分子=R*[L+root(L^2+4*R^2)]

 ln の中身の分母=[L+root(L^2+R^2)]*[-L+root(L^2+4*R^2)]

『積分値の考察』2016/9

● ${[1/root(x^2+R^2)]*dx}=ln[x+root(x^2+R^2)]+積分定数

◆ 正の定数 R

 @=${[1/root(x^2+R^2)]*dx}[x:-X~X]

 A=${[1/root(x^2+R^2)]*dx}[x:0~X]

対称性より @=A*2

■【 別々に求める 】

 @
=ln[X+root(X^2+R^2)]-ln[-X+root(X^2+R^2)]
=ln{[X+root(X^2+R^2)]/[-X+root(X^2+R^2)]}

 A=ln[X+root(X^2+R^2)]-ln(R)=ln{[X+root(X^2+R^2)]/R}

 [@=A*2] になっているのか?

■ @のlnの中身を有理化すると、{核心!}

 [X+root(X^2+R^2)]^2/{[-X+root(X^2+R^2)][X+root(X^2+R^2)]}
=[X+root(X^2+R^2)]^2/[(X^2+R^2)-X^2]
=[X+root(X^2+R^2)]^2/R^2
={[X+root(X^2+R^2)]/R}^2

そして、対数をとるから、

 @=2*ln{[X+root(X^2+R^2)]/R}=A*2 {よかったよかった!2016/9}

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