☆ 円柱対称電荷 ☆

☆ お勉強しよう　電磁気　2022.4-2012.1　Yuji.W

〇 電荷　電場　電位　円柱対称　円筒対称　☆ 　★　

【数学】2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　　　000　py-　0table
微分 ;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)　

ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #　　

【電磁気】(1.6|=1.6021766208　素電荷 qe=(1.6|*Ten(-19)_C　
クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)=(1.6)^2*Ten(9)_N*m^2/C^2　
μ0=1/(ε0*c^2)=4*Pi*ke/c^2=4*Pi*Ten(-7)_N/A^2

【CGS静電単位系】ke=1　1_C=(1.6|*Ten(9)_esu　
　[国際単位系の磁場 1_T] ⇔ [CGS静電単位系の磁場 Ten(4)_G]　
　[国際単位系の電流 1_A] ⇔ [(CGS静電単位系の電流)/c 0.1_esu/cm]　

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▢ {計算例} 微分演算子 h のみの関数に対して　〓 .
■ <grad(h)>=<hu>　<grad(1/h)>=-<hu>/h^2　<grad[ln(h)]>=<hu>/h
■ div<h>=div(<hu>*h)=[(h^2);h]/h=2*h/h=2
■ <curl<h>>=<curl(<hu>*h)>=0
■ △h={(h*1)];h}/h=1/h
　△h^2={[h*(2*h)];h}/h=4*h/h=4
{別解}　△h^2=△(x^2+y^2)=(x^2);;z+(y^2);;y=2+2=4
　△(1/h)={[h*(-1/h^2];h}/h=1/h^3
　△ln(h)={[h*(1/h)];h}/h=0

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▢ 円柱の表面に電荷　〓 .
◎ 無限に長い円柱の表面に電荷が張り付いている
◆ 円柱座標(h,a,z)　円柱[半径 R　中心軸:z軸　高さ無限]　
円柱の表面に電荷　電荷面密度 σ=一定
対称性より　円柱の外側の電場 <E(h)>=<hu>*E(h)　電位 φ(h)　と表せる
※ 円柱の内側の電場=0
■ 円柱[半径 h　h>R　高さ=1　中心軸:z軸]の領域を考えて、
　${<E>*<dS>}[円柱]=E(h)*(2Pi*h)
　領域内の総電荷=2Pi*R*1*σ
ガウスの法則より、
　E(h)*(2Pi*h)=4Pi*ke*(2Pi*R*1*σ)
　E(h)=4Pi*ke*σ*R/h
　<E(h)>=<hu>*4Pi*ke*σ*R/h ★_
■ φ(h)
=-${<E(h)>*<ds>}
=-4Pi*ke*σ*R*${dh/h}
　φ(h)=-4Pi*ke*σ*R*ln(h)+積分定数

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▢ 一様な電荷密度の円柱の電場　〓 .
◆ 円柱座標(h,a,z)　円柱[半径 R　中心軸:z軸　高さ:無限]
円柱全体に電荷　電荷密度 ρ=一定
対称性より　電場 <E(h)>=<hu>*E(h)　電位 φ(h)　と表せる
【 円柱電荷の外側で 】
円柱[半径 h　h>R　高さ 1　中心軸:z軸]を考える。ガウスの法則より、
　$${<E>*<dS>}[円柱の表面積]=4Pi*ke*(Pi*R^2*ρ)
　左辺=E(h)*(2Pi*h)
　E(h)*(2Pi*h)=4Pi*ke*(Pi*R^2*ρ)
　E(h)=2Pi*ke*ρ*R^2/h
　<E(h)>=<hu>*2Pi*ke*ρ*R^2/h ★_
　φ(h)=-2Pi*ke*ρ*R^2*ln(h)+積分定数 ★_
【 円柱電荷の内側で 】
円柱[半径 h　h<R　高さ 1　中心軸:z軸]を考える。ガウスの法則より、
　$${<E>*<dS>}[円柱の表面積]=4Pi*ke*(Pi*h^2*ρ)
　左辺=E(h)*(2Pi*h)
　E(h)*(2Pi*h)=4Pi*ke*(Pi*h^2*ρ)
　E(h)=2Pi*ke*ρ*h
　<E(h)>=<hu>*2Pi*ke*ρ*h ★_
　φ(h)=-Pi*ke*ρ*h^2+積分定数 ★_
中心軸での電位を φ0 とすれば　φ(0)=φ0　積分定数=φ0
　φ(h)=-Pi*ke*ρ*h^2+φ0
【 h=R　での電位 】
内側から　φ(R)=-Pi*ke*ρ*R^2+φ0
外側から　φ(R)=-2Pi*ke*ρ*R^2*ln(R)+積分定数 ★_
　-Pi*ke*ρ*R^2+φ0=-2Pi*ke*ρ*R^2*ln(R)+積分定数
　積分定数=Pi*ke*ρ*R^2*[2*ln(R)-1]+φ0
外側の電位　φ(h)
=-2Pi*ke*ρ*R^2*ln(h)+Pi*ke*ρ*R^2*[2*ln(R)-1]+φ0
=-Pi*ke*ρ*R^2*[2*ln(h)-2*ln(R)+1]+φ0
=-Pi*ke*ρ*R^2*[2*ln(h/R)+1]+φ0
----- まとめ -----
中心軸で　<E(0)>=0　φ(0)=φ0
円柱電荷の内側で　<E(h)>=<hu>*2Pi*ke*ρ*h　φ(h)=-Pi*ke*ρ*h^2+φ0
円柱電荷の表面で　<E(R)>=<hu>*2Pi*ke*ρ*R　φ(h)=-Pi*ke*ρ*R^2+φ0
円柱電荷の外側で　<E(h)>=<hu>*2Pi*ke*ρ*R^2/h
　φ(h)=-Pi*ke*ρ*R^2*[2*ln(h/R)+1]+φ0
※ 国際単位系で　クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)
{おもしろいなあ!2016/8}

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▢ 一様な電荷密度の円柱の電場　〓 .
◆ 円柱座標(h,a,z)　円柱[半径 R　中心軸:z軸　高さ:無限]
円柱全体に電荷　電荷密度 ρ=一定
対称性より　電場 <E(h)>=<hu>*E(h)　電位 φ(h)　と表せる
■ 円柱電荷の内側で　<E(h)>=<hu>*2Pi*ke*ρ*h
　φ(h)=-Pi*ke*ρ*h^2+φ0
※ 国際単位系で　クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)

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▢ 有限な長さの円柱の中心軸での電位　〓 .
◆ 円柱[半径 R　長さ L]　表面にのみ電荷　電荷面密度 σ　総電荷 Q=2Pi*R*L*σ
円柱座標(h,a,z) [z軸:円柱の中心軸　原点:中心軸上の円柱の端]　円柱:[z=0~L]
中心軸上の電位　円柱の端で　φ　円柱の中心で　φc
● 円電荷　半径 R　全電荷 Q=2Pi*R*λ
観測点:円の中心軸上 円を含む平面からの距離 z　z≧0　電位 φ(z)
　φ(z)=ke*Q/root(z^2+R^2)
■【 円柱の端の電位 φ 】
z~z+dz にある円による電位 dφ
　dφ=ke*(2Pi*R*σ)*dz/root[z^2+R^2]=ke*(Q/L)*dz/root[z^2+R^2]
　φ=(ke*Q/L)*${[1/root(z^2+R^2)]*dz}[z:0~L]
● ${[1/root(x^2+A)]*dx}=ln[x+root(x^2+A)]+積分定数
■ ${[1/root(z^2+R^2)]*dz}[z:0~L]=ln[L+root(L^2+R^2)]-ln(R)
　φ/(ke*Q/L)
=ln[L+root(L^2+R^2)]-ln(R)
=ln[L+root(L^2+R^2)]-ln(R)
■【 円柱の中心の電位 φc 】
　φc/(ke*Q/L)=${[1/root(z^2+R^2)]*dz}[z:-L/2~L/2]
　積分
=ln[L/2+root(L^2/4+R^2)]-ln[-L/2+root(L^2/4+R^2)]
=ln{[L+root(L^2+4*R^2)]/[-L+root(L^2+4*R^2)]
　φc/(ke*Q/L)=ln{[L+root(L^2+4*R^2)]/[-L+root(L^2+4*R^2)]
■【 電位差 】
　φc-φ=(ke*Q/L)*ln(~)
　ln の中身の分子=R*[L+root(L^2+4*R^2)]
　ln の中身の分母=[L+root(L^2+R^2)]*[-L+root(L^2+4*R^2)]
『積分値の考察』2016/9
● ${[1/root(x^2+R^2)]*dx}=ln[x+root(x^2+R^2)]+積分定数
◆ 正の定数 R
　①=${[1/root(x^2+R^2)]*dx}[x:-X~X]
　②=${[1/root(x^2+R^2)]*dx}[x:0~X]
対称性より　①=②*2
■【 別々に求める 】
　①
=ln[X+root(X^2+R^2)]-ln[-X+root(X^2+R^2)]
=ln{[X+root(X^2+R^2)]/[-X+root(X^2+R^2)]}
　②=ln[X+root(X^2+R^2)]-ln(R)=ln{[X+root(X^2+R^2)]/R}
　[①=②*2] になっているのか?
■ ①のlnの中身を有理化すると、{核心!}
　[X+root(X^2+R^2)]^2/{[-X+root(X^2+R^2)][X+root(X^2+R^2)]}
=[X+root(X^2+R^2)]^2/[(X^2+R^2)-X^2]
=[X+root(X^2+R^2)]^2/R^2
={[X+root(X^2+R^2)]/R}^2
そして、対数をとるから、
　①=2*ln{[X+root(X^2+R^2)]/R}=②*2　{よかったよかった!2016/9}

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