物理 電磁気 2018/4-2012/1 Yuji.W

☆ 円柱対称電荷

◎ 電荷 電場 電位 円柱対称 円筒対称 _

◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
 
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

◇ 電磁気.国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) 〔 物理定数
 磁場 <B> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>
CGS静電単位系 ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
 
[国際単位系B=1_T]⇔[CGS静電単位系Bcgs=10000_G] 〔 電磁気単位

〓 {計算例} 微分演算子 h のみの関数に対して 〓 .

■ <grad(h)>=<hu> <grad(1/h)>=-<hu>/h^2 <grad[ln(h)]>=<hu>/h

■ div<h>=div(<hu>*h)=[(h^2);h]/h=2*h/h=2

■ <curl<h>>=<curl(<hu>*h)>=0

■ △h={(h*1)];h}/h=1/h

 △h^2={[h*(2*h)];h}/h=4*h/h=4

{別解} △h^2=△(x^2+y^2)=(x^2);;z+(y^2);;y=2+2=4

 △(1/h)={[h*(-1/h^2];h}/h=1/h^3

 △ln(h)={[h*(1/h)];h}/h=0

〓 円柱の表面に電荷 〓 .

◎ 無限に長い円柱の表面に電荷が張り付いている

◆ 円柱座標(h,a,z) 円柱[半径 R 中心軸:z軸 高さ無限] 

円柱の表面に電荷 電荷面密度 σ=一定

対称性より 円柱の外側の電場 <E(h)>=<hu>*E(h) 電位 φ(h) と表せる

※ 円柱の内側の電場=0

■ 円柱[半径 h h>R 高さ=1 中心軸:z軸]の領域を考えて、

 ${<E>*<dS>}[円柱]=E(h)*(2Pi*h)

 領域内の総電荷=2Pi*R*1*σ

ガウスの法則より、

 E(h)*(2Pi*h)=4Pi*ke*(2Pi*R*1*σ)

 E(h)=4Pi*ke*σ*R/h

 <E(h)>=<hu>*4Pi*ke*σ*R/h _

■ φ(h)
=-${<E(h)>*<ds>}
=-4Pi*ke*σ*R*${dh/h}

 φ(h)=-4Pi*ke*σ*R*ln(h)+積分定数

〓 一様な電荷分布の球が作る電場 〓 .

◆ 球[半径 R 中心:原点] 一様な電荷密度 ρ=一定 総電荷 Q=(4/3)*Pi*ρ*R^3

球[半径 r 中心:原点]内の電荷 q(r)=Q*(r/R)^3

電場 <E>=<ru>*E(r) 電位 φ(r)

■ 球電荷の内部で <E(r)>=<ru>*ke*(Q/R^3)*r=<ru>*(4Pi*ke/3)*ρ*r

 φ(r)=(1/2)*ke*(Q/R^3)*(3*R^2-r^2)=(2Pi*ke/3)*ρ*(3*R^2-r^2)

国際単位系で クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)

▲一様な電荷分布の球が作る電位
縦軸の単位 ke*Q/R 横軸の単位 R

〓 一様な電荷密度の円柱の電場 〓 .

◆ 円柱座標(h,a,z) 円柱[半径 R 中心軸:z軸 高さ:無限]

円柱全体に電荷 電荷密度 ρ=一定

対称性より 電場 <E(h)>=<hu>*E(h) 電位 φ(h) と表せる

【 円柱電荷の外側で 】

円柱[半径 h h>R 高さ 1 中心軸:z軸]を考える。ガウスの法則より、

 $${<E>*<dS>}[円柱の表面積]=4Pi*ke*(Pi*R^2*ρ)

 左辺=E(h)*(2Pi*h)

 E(h)*(2Pi*h)=4Pi*ke*(Pi*R^2*ρ)

 E(h)=2Pi*ke*ρ*R^2/h

 <E(h)>=<hu>*2Pi*ke*ρ*R^2/h _

 φ(h)=-2Pi*ke*ρ*R^2*ln(h)+積分定数 _

【 円柱電荷の内側で 】

円柱[半径 h h<R 高さ 1 中心軸:z軸]を考える。ガウスの法則より、

 $${<E>*<dS>}[円柱の表面積]=4Pi*ke*(Pi*h^2*ρ)

 左辺=E(h)*(2Pi*h)

 E(h)*(2Pi*h)=4Pi*ke*(Pi*h^2*ρ)

 E(h)=2Pi*ke*ρ*h

 <E(h)>=<hu>*2Pi*ke*ρ*h _

 φ(h)=-Pi*ke*ρ*h^2+積分定数 _

中心軸での電位を φ0 とすれば φ(0)=φ0 積分定数=φ0

 φ(h)=-Pi*ke*ρ*h^2+φ0

【 h=R での電位 】

内側から φ(R)=-Pi*ke*ρ*R^2+φ0

外側から φ(R)=-2Pi*ke*ρ*R^2*ln(R)+積分定数 _

 -Pi*ke*ρ*R^2+φ0=-2Pi*ke*ρ*R^2*ln(R)+積分定数

 積分定数=Pi*ke*ρ*R^2*[2*ln(R)-1]+φ0

外側の電位 φ(h)
=-2Pi*ke*ρ*R^2*ln(h)+Pi*ke*ρ*R^2*[2*ln(R)-1]+φ0
=-Pi*ke*ρ*R^2*[2*ln(h)-2*ln(R)+1]+φ0
=-Pi*ke*ρ*R^2*[2*ln(h/R)+1]+φ0

----- まとめ -----

中心軸で <E(0)>=0 φ(0)=φ0

円柱電荷の内側で <E(h)>=<hu>*2Pi*ke*ρ*h φ(h)=-Pi*ke*ρ*h^2+φ0

円柱電荷の表面で <E(R)>=<hu>*2Pi*ke*ρ*R φ(h)=-Pi*ke*ρ*R^2+φ0

円柱電荷の外側で <E(h)>=<hu>*2Pi*ke*ρ*R^2/h

 φ(h)=-Pi*ke*ρ*R^2*[2*ln(h/R)+1]+φ0

※ 国際単位系で クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)

{おもしろいなあ!2016/8}

〓 一様な電荷密度の円柱の電場 〓 .

◆ 円柱座標(h,a,z) 円柱[半径 R 中心軸:z軸 高さ:無限]

円柱全体に電荷 電荷密度 ρ=一定

対称性より 電場 <E(h)>=<hu>*E(h) 電位 φ(h) と表せる

円柱電荷の内側で <E(h)>=<hu>*2Pi*ke*ρ*h

 φ(h)=-Pi*ke*ρ*h^2+φ0

※ 国際単位系で クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)

〓 有限な長さの円柱の中心軸での電位 〓 .

◆ 円柱[半径 R 長さ L] 表面にのみ電荷 電荷面密度 σ 総電荷 Q=2Pi*R*L*σ

円柱座標(h,a,z) [z軸:円柱の中心軸 原点:中心軸上の円柱の端] 円柱:[z=0~L]

中心軸上の電位 円柱の端で φ 円柱の中心で φc

● 円電荷 半径 R 全電荷 Q=2Pi*R*λ

観測点:円の中心軸上 円を含む平面からの距離 z z≧0 電位 φ(z)

 φ(z)=ke*Q/root(z^2+R^2)

■【 円柱の端の電位 φ 】

z~z+dz にある円による電位 dφ

 dφ=ke*(2Pi*R*σ)*dz/root[z^2+R^2]=ke*(Q/L)*dz/root[z^2+R^2]

 φ=(ke*Q/L)*${[1/root(z^2+R^2)]*dz}[z:0~L]

● ${[1/root(x^2+A)]*dx}=ln[x+root(x^2+A)]+積分定数

■ ${[1/root(z^2+R^2)]*dz}[z:0~L]=ln[L+root(L^2+R^2)]-ln(R)

 φ/(ke*Q/L)
=ln[L+root(L^2+R^2)]-ln(R)
=ln[L+root(L^2+R^2)]-ln(R)

■【 円柱の中心の電位 φc 】

 φc/(ke*Q/L)=${[1/root(z^2+R^2)]*dz}[z:-L/2~L/2]

 積分
=ln[L/2+root(L^2/4+R^2)]-ln[-L/2+root(L^2/4+R^2)]
=ln{[L+root(L^2+4*R^2)]/[-L+root(L^2+4*R^2)]

 φc/(ke*Q/L)=ln{[L+root(L^2+4*R^2)]/[-L+root(L^2+4*R^2)]

■【 電位差 】

 φc-φ=(ke*Q/L)*ln(~)

 ln の中身の分子=R*[L+root(L^2+4*R^2)]

 ln の中身の分母=[L+root(L^2+R^2)]*[-L+root(L^2+4*R^2)]

『積分値の考察』2016/9

● ${[1/root(x^2+R^2)]*dx}=ln[x+root(x^2+R^2)]+積分定数

◆ 正の定数 R

 @=${[1/root(x^2+R^2)]*dx}[x:-X~X]

 A=${[1/root(x^2+R^2)]*dx}[x:0~X]

対称性より @=A*2

■【 別々に求める 】

 @
=ln[X+root(X^2+R^2)]-ln[-X+root(X^2+R^2)]
=ln{[X+root(X^2+R^2)]/[-X+root(X^2+R^2)]}

 A=ln[X+root(X^2+R^2)]-ln(R)=ln{[X+root(X^2+R^2)]/R}

 [@=A*2] になっているのか?

■ @のlnの中身を有理化すると、{核心!}

 [X+root(X^2+R^2)]^2/{[-X+root(X^2+R^2)][X+root(X^2+R^2)]}
=[X+root(X^2+R^2)]^2/[(X^2+R^2)-X^2]
=[X+root(X^2+R^2)]^2/R^2
={[X+root(X^2+R^2)]/R}^2

そして、対数をとるから、

 @=2*ln{[X+root(X^2+R^2)]/R}=A*2 {よかったよかった!2016/9}

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