物理 電磁気

2017/7-2012/1 Yuji.W

☆円柱対称電荷☆

_ 円柱対称 円筒対称 _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $

【電磁気.国際単位系】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
 電磁場 <E>,<B> 磁場(光速倍) <cB> ベクトルポテンシャル <A>

【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=<cB> <Acgs>=c*<A>
 B=1_T ⇔ Bcgs=Ten(4)_G 1_A/c=0.1_esu/cm〔電磁気の単位〕〔
物理定数

◇円柱の表面に電荷◇

◎ 無限に長い円柱の表面に電荷が張り付いている

◆ 円柱 半径 R 電荷面密度 σ=一定

円柱座標(r,a,z) 円柱の中心軸:z軸 円柱の外側の電場 <E(r)>=<ru>*E(r)

※ 円柱の内側の電場=0

■ 円柱[半径 r r>R 高さ=1 中心軸:z軸]の領域を考えて、

 ${<E>*<dS>}[円柱]=E(r)*(2Pi*r)

 領域内の総電荷=2Pi*R*1*σ

ガウスの法則より、

 E(r)*(2Pi*r)=4Pi*ke*(2Pi*R*1*σ)

 E(r)=4Pi*ke*σ*R/r

 <E(r)>=<ru>*4Pi*ke*σ*R/r _

『円柱の表面に電荷』 2017/7

◎ 無限に長い円柱の表面に電荷が張り付いている

◆ 円柱 半径 R 電荷面密度 σ=一定

円柱座標(r,a,z) 円柱の中心軸:z軸 円柱の外側の電場 <E(r)>=<ru>*E(r)

■ <E(r)>=<ru>*4Pi*ke*σ*R/r

{復習}電位

『電位』 2017/7

◆ 静電場 <E> 観測点 P 観測点での電位 φ 電位の基準になる位置 P0 P0での電位 φ0

電位(電位差) φ-φ0=-${<E>*<ds>}[P0~P]

 <E>=-<grad(φ)>=-<φ;x φ;y φ;z>

◇一様な電荷密度の円柱の電場◇

◆ 円柱座標(r,a,z) 円柱[半径 R 高さ:無限] 電荷密度 ρ0=一定

円柱の中心軸:z軸 電場 <E(r)>=<ru>*E(r) 電位 φ(r)

■【 電場 】

円柱[中心軸:z軸 半径 r 高さ 1]の表面上の面積分を考える。

ガウスの法則 ${<E>*<dS>}[総電荷を囲む任意の閉曲面上]=4Pi*ke*Q

r>R で、

 左辺=2Pi*r*E(r) 右辺=4Pi*ke*(Pi*R^2*ρ0)

 2Pi*r*E(r)=4Pi*ke*(Pi*R^2*ρ0)

 E(r)=2*Pi*ke*ρ0*R^2/r .

r<R

 左辺=2Pi*r*E(r) 右辺=4Pi*ke*(Pi*r^2*ρ0)

 2Pi*r*E(r)=4Pi*ke*(Pi*r^2*ρ0)

 E(r)=2*Pi*ke*ρ0*r .

▲ div(<ru>*r)=[(r*r);r]/r=2

r<R div<E(r)>=2*Pi*ke*ρ0*div(<ru>*r)=4Pi*ke*ρ0

国際単位系 4Pi*ke=1/ε0 div<E(r)>=ρ0/ε0

CGS静電単位系 ke=1 div<E(r)>=4Pi*ke*ρ0

■【 電位 】r=0 で φ=0

r<R で、

 φ(r)
=-${E(r)*dr}[r:0~r]
=-2*Pi*ke*ρ0*${r*dr}[r:0~r]
=-2*Pi*ke*ρ0*[r^2/2][r:0~r]
=-Pi*ke*ρ0*r^2 
. ※ 積分定数=0

r=R で φ(R)=-Pi*ke*ρ0*R^2

r>R で、

 φ(r)
=-Pi*ke*ρ0*R^2-${E(r)*dr}[r:R~r]
=-Pi*ke*ρ0*R^2-2*Pi*ke*ρ0*R^2*${dr/r}[r:R~r]
=-Pi*ke*ρ0*R^2-2*Pi*ke*ρ0*R^2*[ln(r)][r:R~r]
=-Pi*ke*ρ0*R^2-2*Pi*ke*ρ0*R^2*ln(r/R)
=-Pi*ke*ρ0*R^2*[1+2*ln(r/R)] 
.

----- まとめ -----

r=0 E(0)=0 φ(0)=0

r<R E(r)=2*Pi*ke*ρ0*r φ(r)=-Pi*ke*ρ0*r^2

r=R E(R)=2*Pi*ke*ρ0*R φ(R)=-Pi*ke*ρ0*R^2

r>R E(r)=2*Pi*ke*ρ0*R^2/r φ(r)=-Pi*ke*ρ0*R^2*[1+2*ln(r/R)]

{おもしろいなあ!2016/8}

◇有限な長さの円柱の中心軸での電位◇

◆ 円柱[半径 R 長さ L] 表面にのみ電荷 電荷面密度 σ 総電荷 Q=2Pi*R*L*σ

円柱座標(r,a,z) [z軸:円柱の中心軸 原点:中心軸上の円柱の端] 円柱:[z=0~L]

中心軸上の電位 円柱の端で φ 円柱の中心で φc

● 円電荷 半径 R 全電荷 Q=2Pi*R*λ

観測点:円の中心軸上 円を含む平面からの距離 z z≧0 電位 φ(z)

 φ(z)=ke*Q/root(z^2+R^2)

■【 円柱の端の電位 φ 】

z~z+dz にある円による電位 dφ

 dφ=ke*(2Pi*R*σ)*dz/root[z^2+R^2]=ke*(Q/L)*dz/root[z^2+R^2]

 φ=(ke*Q/L)*${[1/root(z^2+R^2)]*dz}[z:0~L]

● ${[1/root(x^2+A)]*dx}=ln[x+root(x^2+A)]+積分定数

■ ${[1/root(z^2+R^2)]*dz}[z:0~L]=ln[L+root(L^2+R^2)]-ln(R)

 φ/(ke*Q/L)
=ln[L+root(L^2+R^2)]-ln(R)
=ln[L+root(L^2+R^2)]-ln(R)

■【 円柱の中心の電位 φc 】

 φc/(ke*Q/L)=${[1/root(z^2+R^2)]*dz}[z:-L/2~L/2]

 積分
=ln[L/2+root(L^2/4+R^2)]-ln[-L/2+root(L^2/4+R^2)]
=ln{[L+root(L^2+4*R^2)]/[-L+root(L^2+4*R^2)]

 φc/(ke*Q/L)=ln{[L+root(L^2+4*R^2)]/[-L+root(L^2+4*R^2)]

■【 電位差 】

 φc-φ=(ke*Q/L)*ln(~)

 ln の中身の分子=R*[L+root(L^2+4*R^2)]

 ln の中身の分母=[L+root(L^2+R^2)]*[-L+root(L^2+4*R^2)]

『積分値の考察』2016/9

● ${[1/root(x^2+R^2)]*dx}=ln[x+root(x^2+R^2)]+積分定数

◆ 正の定数 R

 @=${[1/root(x^2+R^2)]*dx}[x:-X~X]

 A=${[1/root(x^2+R^2)]*dx}[x:0~X]

対称性より @=A*2

■【 別々に求める 】

 @
=ln[X+root(X^2+R^2)]-ln[-X+root(X^2+R^2)]
=ln{[X+root(X^2+R^2)]/[-X+root(X^2+R^2)]}

 A=ln[X+root(X^2+R^2)]-ln(R)=ln{[X+root(X^2+R^2)]/R}

 [@=A*2] になっているのか?

■ @のlnの中身を有理化すると、{核心!}

 [X+root(X^2+R^2)]^2/{[-X+root(X^2+R^2)][X+root(X^2+R^2)]}
=[X+root(X^2+R^2)]^2/[(X^2+R^2)-X^2]
=[X+root(X^2+R^2)]^2/R^2
={[X+root(X^2+R^2)]/R}^2

そして、対数をとるから、

 @=2*ln{[X+root(X^2+R^2)]/R}=A*2 {よかったよかった!2016/9}

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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