.★ 複数の導体の電荷と電位　容量係数　電位係数　conductor

◇ クーロン力定数 ke　国際単位系 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)~9*Ten(9)　CGS静電単位系 ke=1　◆ 10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　微分 ;x　積分 $　ベクトル <A>　座標単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　〔物理定数〕.★  ★.

◆ 3枚の平行平面導体　真ん中の導体に電荷 Q を与える　上と下の導体は接地する(無限の厚みがあるとしてもよい)　面積 A　間隔 a,b　無限に広がる平面電荷とみなせるとする(端の効果を考えない)

上下の導体の表面に誘起された電荷 q1,q2　※ a<b であれば　|q1|>|q2|

電場 Ea,Eb　真ん中の導体の電位 V　静電容量 C

■ 平面電荷の電場=2Pi*ke*(電荷面密度)　であるから、

　(真ん中の導体が作る電場)=2Pi*ke*(Q/A)
　(上の導体が作る電場)=2Pi*ke*(q1/A)
　(下の導体が作る電場)=2Pi*ke*(q2/A)

電場の方向に注意して、それぞれの位置の電場は、

　導体内　2Pi*ke*(Q+q1+q2)/A=0　Q+q1+q2=0　�@

　Ea=2Pi*ke*(Q-q1+q2)/A　Eb=2Pi*ke*(Q+q1-q2)/A

　V=Ea*a=Eb*b　だから　(Q-q1+q2):(Q+q1-q2)=b:a　�A

�@�Aより　q1/q2=b/a　q1=-Q*b/(a+b)　q2=-Q*a/(a+b)　q1+q2=-Q

　Q-q1+q2=Q+Q*b/(a+b)-Q*a/(a+b)=Q*2*b/(a+b)
　Q-q1+q2=Q*2*a/(a+b)

　Ea=4Pi*ke*Q*b/[(a+b)*A]　Eb=4Pi*ke*Q*a/[(a+b)*A]

　V=Ea*a=Eb*b=4Pi*ke*Q*a*b/[(a+b)*A]

ここで　1/a+1/b=1/h　と置けば　V=4Pi*ke*Q*h/A

　C=Q/V=[1/(4Pi*ke)]*A/h  ★.

◆ 4枚の平行平面導体　真ん中の導体に電荷 Q1,Q2　上と下の導体は接地(無限の厚みがあるとしてもよい)　面積 A　間隔 a,b,c　a+b+c=s　無限に広がる平面電荷とみなせるとする(端の効果を考えない)

上下の導体の表面に誘起された電荷 q1,q2　電場 Ea,Eb,Ec　導体の電位 V1,V2

■ 平面電荷の電場=2Pi*ke*(電荷)/A

電場の方向に注意して、それぞれの位置の電場は、

　導体内　2Pi*ke*(q1+Q1+Q2+q2)/A=0　q1+Q1+Q2+q2=0　�@

　Ea=2Pi*ke*(-q1+Q1+Q2+q2)/A
　Eb=2Pi*ke*(-q1-Q1+Q2+q2)/A
　Ec=2Pi*ke*(-q1-Q1-Q2+q2)/A

　Ea*a+Eb*b+Ec*c=0

未知数 q1,q2,Ea,Eb,Ec 5つ　式5つ　解ける{!}

　q1+q2=-Q1-Q2　�@

　Ea*[A/(2Pi*ke)]=-q1+Q1+Q2+q2　�A
　Eb*[A/(2Pi*ke)]=-q1-Q1+Q2+q2　�B
　Ec*[A/(2Pi*ke)]=-q1-Q1-Q2+q2　�C

　Ea*a+Eb*b+Ec*c=0　�D

�A�B�Cを�Dに代入して、

　(-q1+Q1+Q2+q2)*a+(-q1-Q1+Q2+q2)*b+(-q1-Q1-Q2+q2)*c=0

　q1-q2=Q1*(a-b-c)/s+Q2*(a+b-c)/s　�E

�Eより、

　Ea*[A/(2Pi*ke)]
=-Q1*(a-b-c)/s-Q2*(a+b-c)/s+Q1+Q2
=2*[Q1*(b+c)+Q2*c]/s

　Eb*[A/(2Pi*ke)]=2*(-Q1*a+Q2*c)/s
　Ec*[A/(2Pi*ke)]=-2*[Q1*a/s+Q2*(a+b)]/s

　Ea=(4Pi*ke/A)*[Q1*(b+c)+Q2*c]/s
　Eb=(4Pi*ke/A)*(-Q1*a+Q2*c)/s
　Ec=-(4Pi*ke/A)*[Q1*a+Q2*(a+b)]/s

　V1=Ea*a=(4Pi*ke/A)*[Q1*(b+c)+Q2*c]*a/s
　V2-V1=Eb*b=(4Pi*ke/A)*(-Q1*a+Q2*c)*b/s
　V2=-Ec*c=(4Pi*ke/A)*[Q1*a+Q2*(a+b)]*c/s ★.

{確かめ}　V2-V1
=(4Pi*ke/A)*{[Q1*a+Q2*(a+b)]*c-[Q1*(b+c)+Q2*c]*a}/s
=-(4Pi*ke/A)*(-Q1*a+Q2*c)*b/s

また�@�Eより、

　q1=-Q1*(b+c)/s-Q2*c/s　q2=-Q1*a/s-Q2*(a+b)/s ★.

◎ Q1,Q2 を V1,V2 で表す

◆ V1=(4Pi*ke/A)*[Q1*(b+c)+Q2*c]*a/s
　V2=(4Pi*ke/A)*[Q1*a+Q2*(a+b)]*c/s

　\V1=V1*s/(4Pi*ke/A)=[Q1*(b+c)+Q2*c]*a
　\V2=V2*s/(4Pi*ke/A)=[Q1*a+Q2*(a+b)]*c

a+b+c=s　1/a+1+b=1/h1　1/b+1/c=1/h2

■ 行列 [A]=[a*(b+c)　a*c | a*c　c*(a+b)]　<\V1 \V2)=[A]*<Q1 Q2)

　det[A]
=a*c*(a+b)*(b+c)-a^2*c^2
=s*a*b*c

　[A]の逆行列 [Ai]=[c*(a+b)　-a*c | -a*c　a*(b+c)]/(s*a*b*c)

　<Q1 Q2)=[Ai]*<\V1 \V2)

　Q1
=[c*(a+b)*\V1-a*c*\V2]/(s*a*b*c)
=\V1*(a+b)/(s*a*b)-\V2/(s*b)
=(\V1/h1-\V2/b)/s

　Q1=[1/(4Pi*ke)]*(A/h1)*V1-[1/(4Pi*ke)]*(A/b)*V2 ★.

同様にして　Q2=-[1/(4Pi*ke)]*(A/b)*V1+[1/(4Pi*ke)]*(A/h2)*V2 ★.

ここで　容量係数 C11,C12,C21,C22　を次のように定めれば、

　[1/(4Pi*ke)]*A/h1=C11　[1/(4Pi*ke)]*A/h2=C22
　-[1/(4Pi*ke)]*A/b=C12=C21

　Q1=C11*V1+C12*V2　Q2=C21*V1+C22*V2　と書ける

◎ 4枚の平行平面導体の場合の容量係数を考える

◆ 1/a+1+b=1/h1　1/b+1/c=1/h2

■ V2=0　のときを考える。

　Q1*a+Q2*(a+b)=0　Q1=-Q2*(a+b)/a　Q2=-Q1*a/(a+b)

このとき、

　Q1*(b+c)+Q2*c=Q1*(b+c)-Q1*a*c/(a+b)=Q1*s*b/(a+b)
　または　Q1*(b+c)+Q2*c=-Q2*s*b/a

　V1=(4Pi*ke/A)*Q1*a*b/(a+b)=(4Pi*ke/A)*Q1*h1
　または　V1=-(4Pi*ke/A)*Q2*b

ここで　容量係数 C11,C21 を次のように定めて、

　C11=Q1/V1=[1/(4Pi*ke)]*A/h1　C21=Q2/V1=-[1/(4Pi*ke)]*A/b ★.

　このとき　Q1=C11*V1　Q2=C21*V1

V1=0　のときを考える。

　Q1*(b+c)+Q2*c=0　Q1=-Q2*c/(b+c)　Q2=-Q1*(b+c)/c

　Q1*a+Q2*(a+b)=Q1*a-Q1*(a+b)*(b+c)/c=-Q1*s*b/c
　または　Q1*a+Q2*(a+b)=Q2*s*b/(b+c)

　V2=-(4Pi*ke/A)*Q1*b　または　V2=(4Pi*ke/A)*Q2*b*c/(b+c)

ここで　容量係数 C12,C22 を次のように定めて、

　C12=Q1/V2=-[1/(4Pi*ke)]*A/b　C22=Q2/V2=[1/(4Pi*ke)]*A/h2 ★.

　このとき　Q1=C12*V2　Q2=C22*V2

上記の２つの状態の重ね合わせを考えて、

　Q1=C11*V1+C12*V2　Q2=C21*V1+C22*V2 ★.

◎ 相反定理　C12=C21　を証明したい。

◆ 2つの導体　電荷 q1,q2　電位 v1,v2　容量係数 C11,C12,C21,C22

　q1=C11*v1+C12*v2　q2=C21*v1+C22*v2

q1=q2=0 , v1=v2=0　から　q1=Q1 , q2=Q2 , v1=V1 , v2=V2　にする

そのときに必要なエネルギー U1,U2　dU1=v1*dq1　dU2=v2*dq2

次の２つの過程を考える。

�@ v2=0 のまま v1=0~V1　その後　v2=0~V2
�A v1=0 のまま v2=0~V2　その後　v1=0~V1

2つの過程のエネルギーを考える事によって　C12=C21　を証明したい。

■【 過程�@ 】

まず　v2=0　v1=0~V1　q1=C11*v1　q2=C21*v1　dq1=C11*dv1　dq2=C21*dv1

　dU1=v1*dq1=v1*C11*dv1
　U1=C11*${v1*dv1}[v1:0~V1]=(1/2)*C11*V1^2　�@

　dU2=v2*dv1=0　U2=0　�A

次に　v1=V1　v2=0~V2　q1=C11*V1+C12*v2　q2=C21*V1+C22*v2

　dq1=C12*dv2　dq2=C22*dv2

　dU1=v1*dq1=V1*C12*dv2
　U1=C12*V1*${dv2}[v2:0~V2]=C12*V1*V2　�B

　dU2=v2*dq2=v2*C22*dv2
　U2=C22*${v2*dv2}[v2:0~V2]=(1/2)*C22*V2^2　�C

�@�A�B�Cより　v1=0~V1　v2=0~V2　で

　U1+U2=(1/2)*C11*V1^2+C12*V1*V2+(1/2)*C22*V2^2 ★.

■【 過程�A 】

　U1+U2=(1/2)*C22*V2^2+C21*V1*V2+(1/2)*C11*V1^2 ★.

■ 2つの過程の結果を比べて　C12=C21 ★.

{やっとできた!苦労した!ひとつひとつ積分を実行すればできる!2016/12}

◆ 導体の殻　その中に3つの導体

次のように電位を定める　殻の電位=0　3つの導体の電位 φ1,φ2,φ3

3つの導体に誘起される電荷 Q1,Q2,Q3　容量係数 Cij

■ 殻を通る閉曲面を考え、ガウスの定理を適用して

　殻の内側に誘起される電荷=-(Q1+Q2+Q3)

■ 状態�@[φ2=φ3=0 のとき]　Q1,Q2,Q3 は φ1 に比例する。それを次のように表す。

　Q1=C11*φ1　Q2=C21*φ1　Q3=C31*φ1　※ C21≠Q2/φ2　C21≠Q1/φ1　普通の静電容量の定義とは違う

同様に　状態�A[φ1=φ3=0 のとき]

　Q1=C12*φ2　Q2=C22*φ2　Q3=C32*φ2

状態�B[φ1=φ2=0 のとき]

　Q1=C13*φ3　Q2=C23*φ3　Q3=C33*φ3

3つの状態の重ね合わせの状態

　Q1=C11*φ1+C12*φ2+C13*φ3
　Q2=C21*φ1+C22*φ2+C23*φ3
　Q3=C31*φ1+C32*φ2+C33*φ3

■ 逆の関係　電位係数 Pij

　φ1=P11*Q1+P12*Q2+P13*Q3
　φ2=P21*Q1+P22*Q2+P23*Q3
　φ3=P31*Q1+P32*Q2+P33*Q3

〔お勉強しようUz〕　物理　電磁気　複数の導体の容量係数