物理 > 力学  2015/7  Yuji.W

☆摩擦のある水平面を転がる☆

◎ 回転体を摩擦のある水平面を転がす やがて止まる {意外と難しい!2015/7}

「慣性モーメント」 2015/7

■ 面密度一定 半径 R 質量 m I0=m*R^2

円環 Ic/I0=1  円柱 Ic/I0=1/2

円筒 内半径 R1 外半径 R2 Ic=(M/2)*(R2^2+R1^2)

■ 球 密度一定 半径 R 質量 m I0=m*R^2 Ic/I0=2/5

〔表記2015/06/16〕ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数 

◇摩擦のある水平面を転がる◇

◎ 一様な重力場 摩擦のある水平面 回転体を転がす

◆ 回転体(円環or円柱or球) 中身は一様 質量 m 半径 R 慣性モーメント I=k*m*R^2

 ※ k の値(円環 1 円柱 1/2 球 2/5) 回転する角 a

水平面上の移動距離 x=R*a t=0 で x=0 , x'=v0

■ 働く力は、重力 m*g 垂直抗力 N 摩擦力 F

まず、質量の中心(回転体の中心)に対する運動を考える

 水平方向 m*x''=-F …@ 垂直方向 m*g=N …A

@より x''=-F/m …B

質量の中心系の角運動量を考える。質量の中心を原点とする。重力と抗力は質量の中心を通る力だから、そのトルクは 0 。摩擦力がのみ寄与する。 

 トルク=F*R

質量の中心系の角運動量 LG=I*a' だから、

 LG'=F*R I*a''=F*R k*m*R^2*a''=F*R

変数 a を x にして k*m*R^2*(x''/R)=F*R k*m*x''=F

 x''=F/(m*k) …C

BCより F=0 , x''=0 永遠に転がり続ける 

▲ 実際は、永遠には転がり続けないわけだから、以上の考察は不十分である。

■ 水平方向の運動@は成立しないとし、回転の式だけ考える。

摩擦力 F は回転に邪魔になるように働くとする。転がり摩擦係数 μ として、

 F=-μ*m*g

 k*m*R^2*a''=-μ*m*g*R a''=-μ*g/(k*R)

t=0 で a=0 , a'=a0 として a'=a0-[μ*g/(k*R)]*t a=a0*t-[μ*g/(k*R)]*t^2 

a'=0 となるのは t=(a0*R)*k/(μ*g)

★ タイヤ k=1 a0*R=1_m/sec μ=0.01 g=9.81_m/sec^2

止まる時間 t=1*1/(0.01*9.81)~10_sec  {こんなものかな!2015/7}

{ワールドカップ、日本負けました、残念!2015/7}

摩擦のある水平面を転がる 

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