◎ 日本での質点の運動　地球の自転の効果を考える

◇ベクトル<>　座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu>　内積*　外積#
微分;　時間微分'　積分$　10^x=Ten(x)　e^(i*x)=expi(x)　物理定数 ★ 2015/08/14

◎ 地球の赤道上で観測する。[＋]慣性系と[○]回転系の原点が同じ場合とは異なることに注意{!}

◆ 地球　球とみなす　半径 A

[+]慣性系(x,y,z)　地球の中心 原点　自転軸 z軸　赤道面 xy平面

　位置ベクトル <r>=<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z

[○]回転系2(X,Y,Z)　赤道上の1点 原点　地表面 XY平面　東 X軸　北 Y軸
鉛直線 Z軸　角速度 <w.>=<Yu>*w.

[○]回転系の原点の位置([＋]慣性系で) <Zu>*A

　位置 <R>=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*Z
　速度 <V>=<Xu>*X'+<Yu>*Y'+<Zu>*Z'
　加速度 <Ac>=<Xu>*X''+<Yu>*Y''+<Zu>*Z''

　自転軸からの距離 <r.>=<Xu>*X+<Zu>*(Z+A)

　<r>=<R>+<Zu>*A=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*(Z+A)〔★〕

■ <Xu>,<Yu>,<Zu> の t~t+dt における変化量を考えて、

　<Xu>'=-<Zu>*w.　<Yu>'=0　<Zu>'=<Xu>*w. 〔★〕

◎ 地球の赤道上で観測する。[＋]慣性系と[○]回転系の原点が同じ場合とは異なることに注意{!}

◆ 地球　球とみなす　半径 A

[+]慣性系(x,y,z)　地球の中心 原点　自転軸 z軸　赤道面 xy平面

　位置ベクトル <r>=<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z

[○]回転系2(X,Y,Z)　赤道上の1点 原点　地表面 XY平面　東 X軸　北 Y軸
鉛直線 Z軸　角速度 <w.>=<Yu>*w.

[○]回転系の原点の位置([＋]慣性系で) <Zu>*A

　位置 <R>=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*Z
　速度 <V>=<Xu>*X'+<Yu>*Y'+<Zu>*Z'
　加速度 <Ac>=<Xu>*X''+<Yu>*Y''+<Zu>*Z''

　自転軸からの距離 <r.>=<Xu>*X+<Zu>*(Z+A)

　<r>=<R>+<Zu>*A=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*(Z+A)〔★〕

■ <Xu>,<Yu>,<Zu> の t~t+dt における変化量を考えて、

　<Xu>'=-<Zu>*w.　<Yu>'=0　<Zu>'=<Xu>*w. 〔★〕

◎ 地球の赤道上で観測する。[＋]慣性系と[○]回転系の原点が同じ場合とは異なることに注意{!}

◆ 地球　球とみなす　半径 A

[+]慣性系(x,y,z)　地球の中心 原点　自転軸 z軸　赤道面 xy平面

　位置ベクトル <r>=<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z

[○]回転系2(X,Y,Z)　赤道上の1点 原点　地表面 XY平面　東 X軸　北 Y軸
鉛直線 Z軸　角速度 <w.>=<Yu>*w.

[○]回転系の原点の位置([＋]慣性系で) <Zu>*A

　位置 <R>=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*Z
　速度 <V>=<Xu>*X'+<Yu>*Y'+<Zu>*Z'
　加速度 <Ac>=<Xu>*X''+<Yu>*Y''+<Zu>*Z''

　自転軸からの距離 <r.>=<Xu>*X+<Zu>*(Z+A)

　<r>=<R>+<Zu>*A=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*(Z+A)〔★〕

■ <Xu>,<Yu>,<Zu> の t~t+dt における変化量を考えて、

　<Xu>'=-<Zu>*w.　<Yu>'=0　<Zu>'=<Xu>*w. 〔★〕

◆ <F>=m*<r>''

■ <r>'
=[<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*(Z+A)]'
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y'+<Zu>*Z')+w.*[-<Zu>*X+<Xu>*(Z+A)]

　<r>''
=(<Xu>*X''+<Yu>*Y''+<Zu>*Z'')
+2*w.*(-<Zu>*X'+<Xu>*Z')-w.^2*[<Xu>*X+<Zu>*(Z+A)]

左辺=<F>/m

　m*<Ac>=<F>
+2*m*w.*(-<Xu>*Z'+<Zu>*X')+m*w.^2*[<Xu>*X+<Zu>*(Z+A)]

ここで、

　2*m*<V>#<w.>
=2*m*w.*(<Xu>*X'+<Yu>*Y'+<Zu>*Z')#<Yu>
=2*m*w.*(-<Xu>*Z'+<Zu>*X')

　<Xu>*X+<Zu>*(Z+A)=<r.> 回転軸からの距離

　m*<Ac>=<F>+2*m*<V>#<w.>+<r.>*m*w.^2〔★〕赤道上

第2項 コリオリ力　ZX平面上にある　<V>の、ZX平面への射影に対して右

第3項 遠心力

{きれいにまとまった!2013/10}

★ 赤道上での自由落下　X'<<1 のとき、

コリオリ力は赤道面上で、落下の方向に対して右向き、東向き

★ 単振り子

振れの幅が小さく、XY平面上を動くと見なせば、コリオリ力は<Zu>方向に働く。振り子の振動面になんの影響も与えない。赤道上のフーコーの振り子は、その振動面は変化しない。〔★〕

■

◎ 回転する球の表面上の、小さな運動を考えよう。地球の地表面を想定する。

◆ 地球　半径 A　角速度 w.　緯度(xy平面と作る角) e

[+]慣性系(x,y,z)　地球の中心 原点　自転軸 z軸　赤道面 xy平面　位置 <r>

[○]回転系3(X,Y,Z)　緯度 e の1点 原点

地表面で東 X軸　北 Y軸　地表面に対する鉛直線 Z軸　位置 <R>

地表面の小さな動きに限定する　Z=0　|X|<<A　|Y|<<A

■ [○]回転系で　<R>=<Xu>*X+<Yu>*Y　<V>=<Xu>*X'+<Yu>*Y'
　加速度 <Ac>=<Xu>*X''+<Yu>*Y''〔★〕

※ 慣性系でないから　<R>'=<V>,<V>'=<Ac>にはならない

　<r>=<R>+<Zu>*A=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*A

　<r.u>=<Zu>*Ce-<Yu>*Se　回転軸から外に向かう単位ベクトル
　<r.>=(<Zu>*Ce-<Yu>*Se)*A*Ce

　<zu>=<Yu>*Ce+<Zu>*Se

■ [○]回転系の座標単位ベクトルの時間微分を考えよう。

赤道上　e=0

　<Xu>'=-<Zu>*w.　<Yu>'=0　<Zu>'=<Xu>*w.

北極　e=Pi/2

　<Xu>'=<Yu>*w.　<Yu>'=-<Xu>*w.　<Zu>'=0

緯度 e の地点で、

　<Xu>'=-<r.u>*w.=(<Yu>*Se-<Zu>*Ce)*w.
　<Yu>'=-<Xu>*w.*Se　<Zu>'=<Xu>*w.*Ce〔★〕

{実際に球を手にとって考えるべし!2014/6}

● <r.u>=<Zu>*Ce-<Yu>*Se

　<r.u>'
=<Zu>'*Ce-<Yu>'*Se
=<Xu>*w.*Ce^2+<Xu>*w.*Se^2
=<Xu>*w.

■ <r>'
=(<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*A)'
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y')
+w.*[(<Yu>*Se-<Zu>*Ce)*X-<Xu>*Se*Y+<Xu>*Ce*A]
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y')
+w.*[<Xu>*(A*Ce-Y*Se)+X*(<Yu>*Se-<Zu>*Ce)]
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y')+<Xu>*(A*Ce-Y*Se)*w.-<r.u>*X*w.

　第1項の時間微分
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y')'
=(<Xu>*X''+<Yu>*Y'')-(<r.u>*X'+<Xu>*Y'*Se)*w.

　第2項の時間微分
=-<Xu>*Y'*Se*w.-<r.u>*(A*Ce-Y*Se)*w.^2

　第3項の時間微分
=-(<r.u>*X*w.)'
=-<r.u>*X'*w.-<Xu>*X*w.^2

3つ足して、

　<r>''
=(<Xu>*X''+<Yu>*Y'')-(<r.u>*X'+<Xu>*Y'*Se)*w.
-<Xu>*Y'*Se*w.-<r.u>*(A*Ce-Y*Se)*w.^2
-<r.u>*X'*w.-<Xu>*X*w.^2
=(<Xu>*X''+<Yu>*Y'')

-2*(<r.u>*X'+<Xu>*Y'*Se)*w.-[<r.u>*(A*Ce-Y*Se)+<Xu>*X]*w.^2

　左辺=<F>/m

また　<V>#<w.>
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y')#<zu>*w.
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y')#(<Yu>*Ce+<Zu>*Se)*w.
=<Zu>*X'*Ce-<Yu>*X'*Se+<Xu>*Y'*Se
=(<Zu>*Ce-<Yu>*Se)*X'+<Xu>*Y'*Se
=<r.u>*X'+<Xu>*Y'*Se

|X|<<A　|Y|<<A　を考えて　右辺第3項=-<r.u>*A*Ce*w.^2

まとめて、

　m*<Ac>=<F>+2*m*<V>#<w.>+<r.u>*A*Ce*w.^2〔★〕

{やったあ!まとまった!再挑戦2014/6}

▲ |<V>#<w.>|=|<V>のxy平面への射影|*w.

● 地球自転角速度 2Pi/(24*3600)=7.27*Ten(-5)_rad/sec

◎ 赤道で物を自由落下させる。真下に落ちない。コリオリ力の影響を受け、東にわずかずれる。

◆ 赤道　鉛直方向下向き z　地表 z=0　東 x軸

高さ h から自由落下　落下にかかる時間 T　東にずれる量 X

■ z軸方向　働く力は重力のみ

　z''=g　z'=g*t　z=(1/2)*g*t^2

　h=(1/2)*g*T^2　T=root(2*h/g)

x軸方向　働く力はコリオリ力のみ　Fco=2*m*z'*w.=2*m*w.*(g*t)

※ 本当は、質点の速さを考えるとき、z軸方向成分だけでなく、x軸方向成分を考えなくてはいけないのだが、それは非常に小さいとして無視する。

　x''=Fco/m=2*z'*w.=2*w.*g*t　x'=w.*g*t^2　x=(1/3)*w.*g*t^3

　X
=(1/3)*w.*g*T^3
=(1/3)*w.*g*root(2*h/g)^3
=(2/3)*root(2/g)*w.*h^(3/2)

　X
=(2/3)*root(2/g)*w.*h^(3/2)
=(2/3)*0.45*7.27*Ten(-5)*h^(3/2)
~2.2*Ten(-5)*h^(3/2)〔★〕

★ h=10_m　10^(3/2)~31.6　X=2.2*Ten(-5)*31.6~0.7_mm

★ h=100_m　X=2.2*Ten(-5)*1000~2.2_cm

◎ 地球上での物の自由落下を考える。地球は完全な球であって、重力は中心に向かうとする。空気抵抗はないとする。

地球の自転を考えないと、物体は地球の中心に向かって落ちる。

地球の自転を考えると、高い所ほど、東に向かう速さが大きいから、物は、東側にずれて落ちる。

◆ 赤道の上 h_m から物を落とす　初速度=0　地球の半径 r　ｈ<<r

地球の自転角速度 W=2Pi/1_day=7.27*Ten(-5)_rad/sec

■ 高さ h の所と、地表での回転速度(東方向)の差 Δv

　Δv=(r+h)*W-r*W=h*W　物を落としたときに、横向きにこの速さでずれていくとする。

落下時間 T=root(2*h/g)　だから、

　ずれ s
=Δv*T
=h*W*root(2*h/g)
=root(2/g)*W*h^(3/2)
~0.45*[7.27*Ten(-5)]*h^(3/2)
~3.3*Ten(-5)*h^(3/2)_m

★ h=100_m　s~0.03_m~3_cm

★　回転系.日本　★