物理 力学 2019.4-2018.3 Yuji.W
【演算】積 * 商 / 10^x=Ten(x) ネイピア数
e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
微分 ;x 時間微分
;t 時間微分
' 積分 $ 2019.03.31
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 内積
* 外積 # |<A>|=A <A>/A=<Au>
【座標】デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu>
円柱座標 (h,a,z)_C <Ah Aa
Az>_C 座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>
球座標 (r,a,b)_S <Ar Aa
Ab>_S 座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu>
♡ 質点系剛体の角運動量、慣性テンソル ♡ 19.4
◆ 質点系剛体 質量が複数の質点に集中している。他の部分の質量は非常に小さく、無視できるとする。
各質点の質量 mi 剛体内の任意の点 O O に対する質点の位置 (xi,yi,zi)
観測時刻における、剛体の角速度 <w> ※ どの質点も同じ値
剛体の点Oに対する角運動量 <L> 点Oに対する運動エネルギー K
※ 任意のベクトル <A> の縦ベクトルを <A) と表す。意味は同じ。
■ 点Oに対する慣性テンソル〚I〛=〚Ixx Ixy Ixz|Ixy Iyy Iyz|Ixz Iyz Izz〛
Ixx=Σ{mi*(yi^2+zi^2)} Ixy=-Σ{mi*xi*yi} Ixz=-Σ{mi*xi*zi}
Iyy=Σ{mi*(xi^2+zi^2)} Iyz=-Σ{mi*yi*zi} Izz=Σ{mi*(xi^2+yi^2)}
とすると、
<L>=<w>*〚I〛 または <L)=〚I〛*<w)
K=(1/2)*<w>*<L)
■ Ixy=Ixz=Iyz=0 のとき、
<L>=<Ixx*wx Iyy*wy Izz*wz> 2*K=Ixx*wx^2+Iyy*wy^2+Izz*wz^2
■ <w>=<zu>*wz のとき、
z軸に対する慣性モーメント <Iz>=<Ixz Iyz Izz>
<L>=<Iz>*wz & K=(1/2)*Izz*wz^2
♡ 同質量2質点剛体の運動 ♡ 19.4
@ xy平面上 z軸の回り
◆
2質点剛体 質点はxy平面上、z軸の周りを等速円運動
角速度 <w>=<zu>*wz=一定
質量(同質量) m M=2*m 2質点間の距離 2*l=一定
観測時刻での位置 (l,0,0) , (-l,0,0) <r1>=<xu>*l <r2>=-<r1>
速度 <v1> , <v2>=-<v1>
z軸に対する慣性モーメント <Iz>=<Ixz Iyz Izz> 角運動量 <L>
■
<L>
=m*<r1>#<v1>+m*<r2>#<v2>
=m*<r1>#<v1>+m*(-<r1>)#(-<v1>)
=m*<r1>#<v1>+m*<r1>#<v1>
=2*m*<r1>#<v1>
=M*<r1>#<v1>
<v1>=<w>#<r1>=(<zu>*wz)#(<xu>*l)=<yu>*l*wz
<r1>#<v1>=(<xu>*l)#(<yu>*l*wz)=<zu>*l^2*wz
<L>=<zu>*M*l^2*wz ★_
{別解} <Iz>=<Ixz Iyz Izz>=<zu>*M*l^2 ★_
<L>=<Iz>*wz=<zu>*M*l^2*wz
♡ 同質量2質点剛体の運動-2- ♡ 19.4
@ 2質点が原点に対して点対称の位置にある場合
◆ 2質点剛体 質点はz軸の周りを等速円運動 角速度 <w>=<zu>*wz=一定
質量(同質量) m M=2*m 2質点間の距離 2*l=一定
観測時刻での位置 (R,0,Z) , (-R,0,-Z) <r1>=<R 0 Z> <r2>=-<r1>
〔 R=root(l^2-Z^2 〕
速度 <v1> , <v2>=-<v1>
z軸に対する慣性モーメント <Iz>=<Ixz Iyz Izz> 角運動量 <L>
■ <L>
=m*<r1>#<v1>+m*<r2>#<v2>
=m*<r1>#<v1>+m*(-<r1>)#(-<v1>)
=2*m*<r1>#<v1>
=M*<r1>#<v1>
》<L>=M*<r1>#<v1>
<L>は、<r1>と<v1>が作る平面に垂直だから、z軸方向から傾いている。z軸を軸として回転しているのだが、角運動量の方向はz軸ではない。 ★_
<v1>=<w>#<r1>=(<zu>*wz)#<R 0
Z>=<yu>*R*wz
<r1>#<v1>=<R 0
Z>#(<yu>*R*wz)=<-R*Z 0 R^2>*wz
<L>=M*<r1>#<v1>=M*<-R*Z 0 R^2>*wz ★_x成分がある
また |<-R*Z 0 R^2>|^2=R^2*(Z^2+R^2)=R^2*l^2=(l*R)^2
|<-R*Z 0 R^2>|=l*R
L=M*l*R*wz ★_
{別解} <Iz>=<Ixz Iyz Izz>=M*<-R*Z 0 R^2>
<L>=<Iz>*wz=M*<-R*Z 0 R^2>*wz
▲ 以上の値は、観測時刻、すなわち、2質点がxz平面にあったときの値である。剛体がz軸の周りを回転することによって、<L> は、z軸の周りをぐるっと一周するように、その方向を変えていく。
■ 2*K=<w>*<L)=(<zu>*wz)*(M*<-R*Z 0 R^2>*wz)=M*R^2*wz^2
♡ 同質量2質点剛体の運動の力、トルク- ♡ 19.4
@ 2質点が原点に対して点対称の位置にある場合
◆ 2質点剛体 質点はz軸の周りを等速円運動 角速度 <w>=<zu>*wz=一定
質量(同質量) m M=2*m 2質点間の距離 2*l=一定
観測時刻での位置 (R,0,Z) , (-R,0,-Z) <r1>=<R 0 Z> <r2>=-<r1>
〔 R=root(l^2-Z^2 〕
角運動量 <L>=M*<-R*Z 0 R^2>*wz
外力による、原点に対するトルクの和 <N>
■ <L>=M*<-R*Z 0 R^2>*wz
この値は、観測時刻における値である。微小時間 Δt 後、z軸の周りに wz*Δt だけ回転するから、
Δ<L>=-<yu>*(M*R^2*wz)*(wz*Δt)=-<yu>*M*R^2*wz^2*Δt
<L>'=-<yu>*M*R^2*wz^2 ★_
剛体の運動方程式 <N>=<L>' より、
<N>=-<yu>*M*R^2*wz^2 ★_
▲ 考えている回転を起こすには、y軸負の方向へのトルクが必要である事がわかった。剛体が回転するにつれて、トルクの方向も、z軸をぐるっと一周する。そのトルクを、例えば、回転軸の周りの円柱の壁で作ろうとすると、剛体の回転につれて、壁にかかる力も、z軸の周りをぐるっと一周することになる。軸受はガタガタする。 ★_
▲ また、外力がなければ、こういう回転は起きない。 ★_
♡ {別解}同質量2質点剛体の運動 ♡
@ 2質点が原点に対して点対称の位置にある場合 角速度の方向がz軸でない
◆ 2質点剛体 質量(同質量) m M=2*m 2質点間の距離 2*l=一定
観測時刻での位置 (l,0,0) , (-l,0,0) 角速度
<w>=w0*<Z
0 R>/l
〔 R=root(l^2-Z^2 〕
慣性テンソル〚I〛=〚Ixx Ixy Ixz|Ixy Iyy Iyz|Ixz Iyz Izz〛
■ Ixx=Ixy=Ixz=Iyz=0 Iyy=Izz=M*l^2
<L>=<0 Iyy*wy Izz*wz>=<zu>*M*l^2*(w0*R/l)=<zu>*M*l*R*w0 ★_
■ 2*K=<w>*<L)=(w0*<Z 0 R>/l)*(<zu>*M*l*R*w0)=M*R^2*w0^2 ★_
{別解} 各質点の速度 <v1> , <v2>=-<v1>
<v1>=<w>#(<xu>*l)=(w0*<Z 0 R>/l)#(<xu>*l)=<yu>*w0*R
<L>
=m*(<xu>*l)#<v1>+m*(-<xu>*l)#(-<v1>)
=2*m*(<xu>*l)#(<yu>*w0*R)
=<zu>*2*m*l*R*w0
★ Z=l R=0 <w>=<xu>*w0 のとき <L>=0
★ Z=0 R=l <w>=<zu>*w0 のとき <L>=<zu>*2*m*l^2*w0
♡ 同質量2質点剛体の運動 ♡
@ 同質量2質点剛体が、回転しつつ横滑りしていく
◆ 2質点剛体 質量(同質量) m M=2*m 2質点間の距離 l=一定
xy平面上を回転しつつ、x軸方向に横滑りしていく
質量の中心の速度 <VG>=<x>*VG 剛体の角速度
<w>=<z>*w
観測時刻における2質点の位置 <r1>=0 <r2>=<y>*l
原点に対して 運動量
<p1>,<p2> 角運動量 <L>
質量の中心の位置 <G>=<y>*l/2
質量の中心系で <r1G>=-<y>*l/2 <r2G>=<y>*l/2
運動量
<p1G>,<p2G> 角運動量 <LG>
■ <p1G>/m=<w>#<r1G>=(<z>*w)#(-<y>*l/2)=<x>*l*w/2
<p2G>/m=-<x>*l*w/2
<LG>
=<r1G>#<p1G>+<r2G>#<p2G>
=(-<y>*l/2)#(<x>*m*l*w/2)+(<y>*l/2)#(-<x>*m*l*w/2)
=<z>*m*l^2*w/4+<z>*m*l^2*w/4
=<z>*m*l^2*w/2
》<LG>=<z>*m*l^2*w/2 ★_
■ <p1>/m=<VG>+<w>#<r1G>=<x>*VG+<x>*l*w/2=<x>*(VG+l*w/2)
<p2>/m=<VG>+<w>#<r2G>=<x>*(VG-l*w/2)
<L>
=<r1>#<p1>+<r2>#<p2>
=0+(<y>*l)#[<x>*m*(VG-l*w/2)]
=<z>*m*(l^2*w/2-l*VG)
》<L>=<z>*m*(l^2*w/2-l*VG) ★_
■ M*<G>#<VG>=(M)*(<y>*l/2)#(<x>*VG)=-<z>*m*l*VG
----- まとめ -----
<LG>=<z>*m*l^2*w/2 <L>=<z>*m*(l^2*w/2-l*VG)
M*<G>#<VG>=-<z>*m*l*VG
<L>=<LG>+M*<G>#<VG> ★_
♡ 同質量2質点剛体の慣性モーメント ♡
◆ 2質点剛体 質量(同質量) m M=2*m 2質点間の距離 l=一定
xy平面上を回転しつつ、x軸方向に横滑りしていく
質量の中心の速度 <VG>=<x>*VG 剛体の角速度
<w>=<z>*w
観測時刻における2質点の位置 <r1>=0 <r2>=<y>*l
角運動量 原点に対して <L> 質量の中心系で <LG>
■ <LG>=<z>*m*l^2*w/2 であったから、
質量の中心に対する慣性モーメント Ic=M*(l/2)^2=m*l^2/2 を使えば、
<LG>=Ic*<z>*w=Ic*<w> と表す事ができる ★_
■ <L>=<z>*m*(l^2*w/2-l*VG) であって、質量の中心の速さ VG を含む式だから、
<L>=I*<w> と表す事はできない ★_
※ 剛体内で任意の1点に対する角運動量は、慣性テンソル 〚I〛 を使って、
<L>=〚I〛*<w> と表す事ができる。
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