物理 力学

2017/5-2015/7 Yuji.W

☆質量の中心(重心)☆

3質点 質量の中心 重心 質量の中心の運動 一様な重力場 トルク _

物理定数

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 #
 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 y;x 時間微分 x' 積分 ${f(x)*dx}

◇表記.3質点の運動◇

『表記.3質点の運動』 2016/9

■ 質量 m1,m2,m3 全質量 M=m1+m2+m3 位置 <r1>,<r2>,<r3>

運動量 <p1>,… 角運動量 <L1>,… 運動エネルギー K1,…

全運動量 <P> 全角運動量 <L> 全運動エネルギー K

■ 質点Aから質点@への内力 <f21>,…

それぞれの質点に働く外力 <F1>,… 外力によるトルク <N1>,…

全外力 <F> 外力による全トルク <N>

◇質量の中心◇

■ 3質点@ABの質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M

■ 2質点@Aの質量の和 M12=m1+m2

2質点@Aの質量の中心 <G12>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M12 を使うと、

 <G>=(M12*<G12>+m3*<r3>)/(M12+m3) _2質点@Aの質量の中心に、その2つの質量があると考えて計算する事ができる

■ 運動方程式

 (<p1>+<p2>+<p3>)'
=(<F1>+<F2>+<F3>)+(<f13>+<f23>+<f21>+<f31>+<f32>+<f12>)

作用反作用の法則により、内力の和は 0 になるから、

 <P>'=<F(外力)>

また M*<G>'=m1*<r1>'+m2*<r2>'+m3*<r3>'=<p1>+<p2>+<p3>=<P>

≫ M*<G>'=<P> _

⇒ M*<G>''=<F(外力)> _

■ (<G>#(M*<G>')'
=M*<G>'#<G>'+M*<G>#(M*<G>'')
=0+<G>#<F(外力)>
=<G>#<F(外力)>

≫ (<G>#(M*<G>')'=<G>#<F(外力)> _

◇一様な重力場での質量の中心◇

◆ 一様な重力場 重力加速度 <g>

■ <F(外力)>=m1*<g>+m2*<g>+m3*<g>=M*<g> だから、

 M*<G>''=M*<g>

 <G>''=<g> _質量の中心は等加速度運動

■ 質量の中心を支点とするトルク <NG>

 <NG>
=(<r1>-<G>)#(m1*<g>)
+(<r2>-<G>)#(m2*<g>)
+(<r3>-<G>)#(m3*<g>)
=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)#<g>-<G>#[(m1+m2+m3)*<g>]
=M*<G>#<g>-M*<G>#<g>
=0

≫ <NG>=0 _質量の中心を支えにするとつり合う。質量の中心を「重心」と呼ぶ。

◇中点、三角形の重心◇

◆ 3点@<r1>,A<r2>,B<r3> を結ぶ三角形の重心

■ 2つの頂点@Aの中点=(<r1>+<r2>)/2

その中点と頂点Bを結ぶ線分を 1:2 に内分する点

 [(2つの頂点@Aの中点)*2+(頂点B)*1]/3
={[(<r1>+<r2>)/2]*2+<r3>}/3
=(<r1>+<r2>+<r3>)/3

≫ 三角形の重心=(<r1>+<r2>+<r3>)/3 _

{まとめ}質量の中心(重心)

『質量の中心(重心)』

■ 3質点@ABの質量の和 M=m1+m2+m3

3質点@ABの質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M

■ M12=m1+m2 <G12>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M12

 <G>=(M12*<G12>+m3*<r3>)/(M12+m3)

■ 全運動量 <P>=M*<G>' M*<G>''=<F(外力)>

■ 質量の中心の角運動量 (<G>#(M*<G>')'=<G>#<F(外力)>

■ 一様な重力場 重力加速度 <g>

 <G>''=<g> 質量の中心を支点とするトルク <NG>=0

■ 3点@<r1>,A<r2>,B<r3> を結ぶ三角形の重心=(<r1>+<r2>+<r3>)/3

{まとまりました!2017/5}

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