物理 力学 2018/12-2015/7 Yuji.W
☆ 質量の中心(重心) ☆
◎ 質量の中心 重心 ★_
【ベクトル】ベクトル <A> 単位ベクトル
<-u> 内積
* 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) 虚数単位 i ネイピア数
e e^(i*x)=expi(x)
【微分積分】微分
; 積分 $ 【行列テンソル】行列 [A]=[a b|c d] テンソル〚〛
〓 2質点の運動 〓
◇ 時間微分 '
◤ 2質点 質量 m1,m2 m1+m2=M 位置 <r1>,<r2>
運動量 <p1>=m1*<r1>' <p2>=m2*<r2>'
原点に対する角運動量 <L1>=<r1>#<p1> <L2>=<r2>#<p2>
質点への外力 <F1>,<F2>
外力による原点に対するトルク <N1>=<r1>#<F1> <N2>=<r2>#<F2>
質点②から質点①への内力
<f1> 質点①から質点②への内力 <f2>
内力による原点に対するトルク <n1>=<r1>#<f1> <n2>=<r2>#<f2>
<f1>+<f2>=0 & <n1>+<n2>=0
〓 2質点の運動 〓
■ (<p1>+<p2>)'=<F1>+<F2> & (<L1>+<L2>)'=<N1>+<N2>
どちらも外力のみ考えればよい
〓 質量の中心(重心) 〓 .
◇ 時間微分 '
■ 質量の中心の位置 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M
▲ 2点<r1>と<r2>を m2:m1 に内分する点
■ 一様な重力場 <g> で、
<2質点にかかる重力の、質量の中心に対するトルク>
=m1*<g>#(<r1>-<G>)+m2*<g>#(<r2>-<G>)
=<g>#(m1*<r1>+m2*<r2>)-M*<g>#<G>
=M*<g>#<G>-M*<g>#<G>
=0
》 <2質点にかかる重力の、質量の中心に対するトルク>=0 ★_
▲ 一様な重力場では、質量の中心で釣り合う。質量の中心を「重心」とも言う。
■ M*<G>=m1*<r1>+m2*<r2>
M*<G>'=m1*<r1>'+m2*<r2>'=<p1>+<p2>
》M*<G>'=<p1>+<p2> ★_左辺は、質量の中心の運動量とみなすことができる
▲ 質量の中心の定義とともに重要な性質である
〓 質量の中心の運動 〓
■ 運動方程式より (<p1>+<p2>)'=<F1>+<F2> ※ 外力のみ考えればよい
質量の中心の性質 M*<G>'=<p1>+<p2>
M*<G>''=(<p1>+<p2>)'=<F1>+<F2> ★_外力のみ考えればよい
》M*<G>''=<F1>+<F2> ★_外力のみ考えればよい
▲ 力はそれぞれの質点にかかるのだが、あたかも質量の中心にかかっているとして計算できる
■
(M*<G>#<G>')'
=M*<G>'#<G>'+M*<G>#<G>''
=0+<G>#(<F1>+<F2>)
=<G>#(<F1>+<F2>)
》(M*<G>#<G>')'=<G>#(<F1>+<F2>) ★_
▲ 左辺は、質量の中心の角運動量の時間変化量とみなせる
右辺は、力が、あたかも質量の中心にかかっているとして計算したトルクとみなせる
{おもしろいなあ!2018/12}
〓 質量の中心の運動 〓 ◇ 時間微分 ' ベクトルの外積 #
◤ 2質点 質量の和 M 質量の中心 <G> 外力 <F1>,<F2>
■ M*<G>''=<F1>+<F2> & (M*<G>#<G>')'=<G>#(<F1>+<F2>)
〓 4質点の質量の中心 〓 .
◤ 3質点 質量 m1,m2,m3 m1+m2+m3=M 位置 <r1>,<r2>,<r3>
■【 質量の中心 】質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M
■【 一様な重力場で 】一様な重力場 <g>
<3質点にかかる重力の、質量の中心に対するトルク>
=m1*<g>#(<r1>-<G>)+m2*<g>#(<r2>-<G>)+m3*<g>#(<r3>-<G>)
=<g>#(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)-(m1+m2+m3)*<g>#<G>
=M*<g>#<G>-M*<g>#<G>
=0
》 <3質点にかかる重力の、質量の中心に対するトルク>=0 ★_
一様な重力場では、質量の中心で釣り合う。質量の中心を「重心」とも言う。
■ <質点①②の質量の中心>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/(m1+m2)そこに、質量が集まっているとみなして、質点③との質量の中心 <G> を求めると、
<G>=[(m1+m2)*<質点①②の質量の中心>+m3*<r3>]/[(m1+m2)+m3]
=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M
=<3質点の質量の中心>
3質点の質量の中心を求めるのに、質点①と②の質量の中心を求めて、そこに質量が集まっているとみなして、質点③との質量の中心を求めてもよい。 ★_{教科書には載ってなかった!たぶんそうなるだろうと思って、使っていた!}
▲ 同様にして、4つの質点だったら、①と②の質量の中心、③と④の質量の中心を求めて、両方の質量の中心を求めれば、４つの質点の質量の中心になる ★_
〓 3質点の質量の中心 〓 .
◤ 3質点 質量 m1,m2,m3 m1+m2+m3=M 位置 <r1>,<r2>,<r3>
■【 質量の中心 】質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M
■【 一様な重力場で 】一様な重力場 <g>
<3質点にかかる重力の、質量の中心に対するトルク>
=m1*<g>#(<r1>-<G>)+m2*<g>#(<r2>-<G>)+m3*<g>#(<r3>-<G>)
=<g>#(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)-(m1+m2+m3)*<g>#<G>
=M*<g>#<G>-M*<g>#<G>
=0
》 <3質点にかかる重力の、質量の中心に対するトルク>=0 ★_
一様な重力場では、質量の中心で釣り合う。質量の中心を「重心」とも言う。
■ <質点①②の質量の中心>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/(m1+m2)そこに、質量が集まっているとみなして、質点③との質量の中心 <G> を求めると、
<G>=[(m1+m2)*<質点①②の質量の中心>+m3*<r3>]/[(m1+m2)+m3]
=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M
=<3質点の質量の中心>
3質点の質量の中心を求めるのに、質点①と②の質量の中心を求めて、そこに質量が集まっているとみなして、質点③との質量の中心を求めてもよい。 ★_{教科書には載ってなかった!たぶんそうなるだろうと思って、使っていた!}
▲ 同様にして、4つの質点だったら、①と②の質量の中心、③と④の質量の中心を求めて、両方の質量の中心を求めれば、４つの質点の質量の中心になる ★_
〓 三角形の重心 〓 .
◤ 三角形 ABC 辺BCの中点 M 線分 AM を 2:1 に内分する点 G 原点 O
■ <OM>=(<OB>+<OC>)/2
<OG>
=<OA>/3+<OM>*2/3
=<OA>/3+[(<OB>+<OC>)/2]*2/3
=<OA>/3+(<OB>+<OC>)/3
=(<OA>+<OB>+<OC>)/3 ★_
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